2018年度普通高等学校招生全国统一考试.理科数学(全国3卷.).doc

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1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合|10Ax x ，012B ，则AB A 0B1C12，D012，21i2iA3i B3i C3iD3i3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部

2、分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4若1sin3，则cos2A8 9B7 9C7 9D8 955 22xx的展开式中4x的系数为A10B20C40D806直线20xy分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆2222xy上，则ABP面积的取值范围是A26，B48，C23 2，D2 23 2，7函数422yxx 的图像大致为8某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，2.4DX ，46P XP X，则p A0.7

3、B0.6C0.4D0.39ABC的内角ABC，的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为2224abc，则C A 2B 3C 4D 610设ABCD，是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9 3，则三棱锥DABC体积的最大值为A12 3B18 3C24 3D54 3 11设12FF，是双曲线22221xyCab：（00ab，）的左、右焦点，O是坐标原点过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P若16PFOP，则C的离心率为A5B2C3D2 12设0.2log0.3a ，2log 0.3b ，则A0ababB0ababC0ababD0abab二、填空题：本题共 4 小题，每

4、小题 5 分，共 20 分13已知向量= 1,2a，= 2, 2b，= 1,c若2ca + b，则_14曲线1 exyax在点01，处的切线的斜率为2，则a _15函数 cos 36f xx在0，的零点个数为_16已知点1 1M ，和抛物线24Cyx：，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若90AMB ，则k _三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17 （12 分）等比数列 na中，15314aaa，（1）求 na的通项公式；（2）记nS为 n

5、a的前n项和若63mS，求m18 （12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种

6、生产方式的效率有差异？附： 22n adbcKabcdacbd， 2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819 （12 分）如图，边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧ACD所在平面垂直，M是ACD上异于C，D 的点（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值20 （12 分）已知斜率为k的直线l与椭圆22 143xyC：交于A，B两点，线段AB的中点为10Mmm ，（1）证明：1 2k ；（2）设 F 为C的右焦点，P为C上一点,且FPFAFB 0 证明：FA ， FP ， FB 成等差数

7、列，并求该数列的公差21 （12 分）已知函数 22ln 12f xxaxxx（1）若0a ，证明：当10x 时， 0f x ；当0x 时， 0f x ；（2）若0x 是 f x的极大值点，求a（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为cossinxy ，（为参数） ，过点02，且倾斜角为的直线l与O交于AB，两点（1）求的取值范围；学.（2）求AB中点P的轨迹的参数方程23选修 45：不等式选讲（10 分）设函数 211f xxx（1）画出 yf x的

8、图像；（2）当0x ， f xaxb，求ab的最小值参考答案：123456789101112CDABCADBCBCB13.1 214.3 15.3 16.217.(12 分)解：（1）设na的公比为q，由题设得1n naq.由已知得424qq，解得0q （舍去） ，2q 或2q .故1( 2)nna 或12nna.（2）若1( 2)nna ，则1 ( 2) 3nnS .由63mS 得( 2)188m ，此方程没有正整数解.若12nna，则21n nS .由63mS 得264m，解得6m .综上，6m .18.（12 分）解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种

9、生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完

10、成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.*网以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知7981802m.列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515（3）由于2 240(15 155 5)106.63520 20 20 20K ，

11、所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19.（12 分）解：（1）由题设知,平面 CMD平面 ABCD,交线为 CD.因为 BCCD,BC平面 ABCD,所以BC平面 CMD,故 BCDM.因为 M 为ACD上异于 C，D 的点,且 DC 为直径，所以 DMCM.又 BCCM=C,所以 DM平面 BMC.而 DM平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC.（2）以 D 为坐标原点,DA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.当三棱锥 MABC 体积最大时，M 为ACD的中点.由题设得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1

12、)DABCM，( 2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AMABDA 设( , , )x y zn是平面 MAB 的法向量,则0,0.AMAB nn即20, 20.xyz y 可取(1,0,2)n.DA 是平面 MCD 的法向量,因此5cos,5|DADADA nnn，2 5sin,5DA n，所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是2 5 5.20.（12 分）解：（1）设1221( ,), (,)AyxyxB，则2222 12121,14343yxyx.两式相减，并由1221y xykx得1122043yxykx.由题设知12121,22xyxym，于是3 4km .由题设

13、得302m，故1 2k .（2）由题意得(1,0)F，设33(,)P xy，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)yxxyxy.由（1）及题设得3321213()1,()20yyxxyxm .又点 P 在 C 上，所以3 4m ，从而3(1,)2P，3|2FP .于是2 222 111 11|(1)(1)3(1)242xxFAxxy .同理2| 22xFB .所以121| 4()32FAFBxx .故2| |FPFAFB ，即|,|,|FAFPFB 成等差数列.设该数列的公差为 d，则1122 212112| |()422FBFAxxxxx xd .将3 4m 代入得1k .所以 l

14、 的方程为7 4yx ，代入 C 的方程，并整理得2171404xx.故121212,28xxx x，代入解得3 21|28d .所以该数列的公差为3 21 28或3 21 28.21.(12 分)解：（1）当0a 时，( )(2)ln(1)2f xxxx，( )ln(1)1xfxxx.设函数( )( )ln(1)1xg xfxxx，则2( )(1)xg xx.当10x 时，( )0g x；当0x 时，( )0g x.故当1x 时，( )(0)0g xg，且仅当0x 时，( )0g x ，从而( )0fx，且仅当0x 时，( )0fx.所以( )f x在( 1,) 单调递增.学#又(0)0f，

15、故当10x 时，( )0f x ；当0x 时，( )0f x .（2） （i）若0a ，由（1）知，当0x 时，( )(2)ln(1)20(0)f xxxxf，这与0x 是( )f x的极大值点矛盾.（ii）若0a ，设函数22( )2( )ln(1)22f xxh xxxaxxax.由于当1| min1,| |xa时，220xax，故( )h x与( )f x符号相同.又(0)(0)0hf，故0x 是( )f x的极大值点当且仅当0x 是( )h x的极大值点.2222222212(2)2 (12)(461)( )1(2)(1)(2)xaxxaxxa xaxah xxxaxxaxx.如果61

16、0a ，则当6104axa ，且1| min1,| |xa时，( )0h x，故0x 不是( )h x的极大值点.如果610a ，则224610a xaxa 存在根10x ，故当1( ,0)xx，且1| min1,| |xa时，( )0h x，所以0x 不是( )h x的极大值点.如果610a ，则322(24)( )(1)(612)xxh xxxx.则当( 1,0)x 时，( )0h x；当(0,1)x时，( )0h x.所以0x 是( )h x的极大值点，从而0x 是( )f x的极大值点综上，1 6a .22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）【解析】 （1）OA的直角坐标方程为22

17、1xy当2 时，l与OA交于两点当2 时，记tank，则l的方程为2ykxl与OA交于两点当且仅当22| 1 1k ，解得1k 或1k ，即(,)4 2 或(,)24 综上，的取值范围是(,)44 （2）l的参数方程为cos,(2sinxttyt 为参数，44)设A，B，P对应的参数分别为At，Bt，Pt，则2AB Pttt ，且At，Bt满足22 2 sin10tt 于是2 2sinABtt，2sinPt又点P的坐标( , )x y满足cos,2sin.PPxtyt 所以点P的轨迹的参数方程是2sin2 ,2 22cos222xy (为参数，44)23选修 45：不等式选讲（10 分）【解析】 （1）13 ,2 1( )2,1,2 3 ,1.x xf xxxx x ( )yf x的图像如图所示（2）由（1）知，( )yf x的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a 且2b 时，( )f xaxb在0,)成立，因此ab的最小值为5