《极限的概念全》PPT课件.ppt

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1、第一章函数极限连续第一章函数极限连续第一章函数极限连续第一章函数极限连续第二节极限的概念第二节极限的概念第二节极限的概念第二节极限的概念一、数列的极限一、数列的极限一、数列的极限一、数列的极限二、函数的极限二、函数的极限二、函数的极限二、函数的极限三、无穷大量三、无穷大量三、无穷大量三、无穷大量定定义义设设函函数数 un=f(n),其其中中 n 为为正正整整数数,一、数列的极限一、数列的极限那那么么按按自自变变量量 n 增增大大的的顺顺序序排排列列的的一一串串数数 f(1),f(2),f(3),f(n),称称为为数数列列,记记作作 un 或数列或数列 un.若若存存在在一一个个常常数数 M 0

2、，使使得得|un|M(n=1,2,)恒成立，恒成立，或或存存在在两两个个数数 M 和和 m，使使得得 m un M(M 称为上界称为上界,m 称为下界称为下界)，若若数数列列 un 满满足足 un un+1(n=1,2,)或或 un un+1(n=1,2,)则则分分别别称称 un 为为单调递增数列或单调递减数列单调递增数列或单调递减数列，则则称称数数列列 un 为为有有界数列，或称界数列，或称数列有界数列有界；这两种数这两种数列统称为列统称为单调数列单调数列.例如例如 un:为单调递减数列为单调递减数列;为单调递增数列；为单调递增数列；是有界数列，是有界数列，但不是单调数列但不是单调数列.又如

3、又如而而前前面面三三个个数数列列都都有有一一种种共共同同的的现现象象，即即当当 n 无无限限变变大大时时，它它们们都都无无限限地地接接近近于于 1，这这就就是是极极限现象限现象.显显然然，数数列列 un 无无限限地地接接近近于于 1，可可用用数数列列 un与与 1 之差的绝对值可以任意地小来描述之差的绝对值可以任意地小来描述.如如果果用用符符号号 e e 表表示示任任意意小小的的正正数数，那那么么就就可可用用|un 1|e e 表示表示.于是于是,数列数列 un 的极限现象的极限现象可表述为：当可表述为：当 n 无限变大时，就有无限变大时，就有|un 1|e e.一般地，当一般地，当 n 无限

4、变大时，数列无限变大时，数列 un 无限接近无限接近于一个常数于一个常数 A 的极限现象可定义如下：的极限现象可定义如下：定定义义如如果果当当 n 无无限限变变大大时时，数数列列 un 与与 A 之之差的绝对值小于任意小正数差的绝对值小于任意小正数 e e，即即|un A|N 就表示了这个意思，就表示了这个意思，N 表示了表示了n 无限变大无限变大的程度，的程度，恒有恒有|un A|N 时时，点点 un 都都落落在在点点 A 的的 e e 邻域内，而不管邻域内，而不管 e e 有多么小有多么小(如图如图)，形形 象象 一一点讲，数列点讲，数列 un 会密集在点会密集在点 A 的周围的周围.AA

5、 e eA+e euN+1uN+2Ox如如果果把把数数列列 un 中中每每一一项项都都用用数数轴轴 Ox 上上一一个个点来表示，那么数列点来表示，那么数列 un 趋向于趋向于 A 可解释为可解释为:定理定理若数列收敛若数列收敛，则数列有界则数列有界.并非所有数列都是有极限的，并非所有数列都是有极限的，例如例如当当 n 时时,它它们们均均不不与与一一个个常常数数 A 无无限限接接近近，所所以以这这些些数数列列没没有有极极限限,没没有有极极限限的的数数列列称称为为发发散散数列或称数列发散数列或称数列发散.二、函数的极限二、函数的极限二、函数的极限二、函数的极限当当 x 无限接近于无限接近于 1 时

6、，时，显显然然，当当 x 1 时时,趋趋向向于于什什么么？函数函数一一般般地地，当当 x 无无限限接接近近于于 x0 时时，函函数数 f(x)趋向于趋向于 A 的定义如下：的定义如下：定义定义如果当如果当 x 无限接近于无限接近于 x0 时，时，恒有恒有|f(x)-A|e e(e e 是任意小的正数是任意小的正数)，则则称称当当自自变变量量 x 趋趋向向于于 x0 时时，函函数数 f(x)趋趋向向于于 A，记作记作几点说明：几点说明：(1)与与数数列列极极限限相相似似，f(x)趋趋向向于于 A 的的过过程程中中，可可以以有有大大于于 A 的的，可可以以有有小小于于 A 的的，也也可可以以有等于

7、有等于 A 的的.(2)x 是是不不能能等等于于 1 的的，因因为为 x=1 处处函函数数没没有有定定义义.一一般般地地，在自变量在自变量 xx0 过程中是不能等于过程中是不能等于 x0 的的.(3)自变量自变量 x x0 也可以用不等式表示也可以用不等式表示.如如果果用用 d d 记记作作充充分分小小的的正正数数.那那么么 x 无无限限接接近近 x0，可由可由 x0 的的 d d 空心邻域表示，即空心邻域表示，即 0|x-x 0|d d.d d 表示表示 x 与与 x0 接近的程度接近的程度.这样这样 ，就是指，当就是指，当 0|x-x 0|d d 时时恒有恒有|f(x)-A|e e.A A

8、 e e f(x)A+e e(4)几何解释几何解释.AA+e eA A e ey=f(x)x0 d dx0+d dx0yxO 不不管管它它们们之之间间的的距距离离有有多多么么小小.只只要要 x 进入进入 U(是是指指：当当 0|x-x0|d d 时，时，恒有恒有|f(x)-A|N(N 是是充充分分大大的的正正数数)时时，恒恒有有|f(x)A|N 时，曲线时，曲线 y=f(x)落在这两条直线之间落在这两条直线之间.前者是指当前者是指当 x 无限变大时，无限变大时，f(x)趋向于趋向于 A，而后者是指而后者是指例如例如例例 3解解例例 4解解解解例例 5例例 3,4 和和 5 说明了下列几种重要现

9、象：说明了下列几种重要现象：(1)函函数数 f(x)在在 x0 处处极极限限存存在在，但但函函数数 f(x)在在 x0 处可以没有定义处可以没有定义(如例如例 3).(2)函数函数 f(x)在在 x0 处虽然有定义，且在处虽然有定义，且在 x0 处有处有极限，极限，但两者不等，但两者不等，(3)函函数数 f(x)在在 x0 处处有有定定义义，也也有有极极限限且且两两者相等者相等.定定理理 若若 x x0(或或 x )时时，函函数数 f(x)的的极极限限存存在在,则则函函数数 f(x)在在 x0 的的一一个空心小邻域内个空心小邻域内(或或|x|充分大范围内充分大范围内)有界有界.三、无穷大量三、无穷大量若若函函数数 y=f(x)的的绝绝对对值值|f(x)|在在 x 的的某某种种趋趋向向下下无无限限增增大大，则则称称 y=f(x)为为在在 x 的的这种趋向下的无穷大量这种趋向下的无穷大量，简称为无穷大简称为无穷大.当当 x x0 时，时，f(x)为无穷大量，为无穷大量，记记作作当当 x 时，时，f(x)为无穷大量，为无穷大量，记记作作若若在在 x 的的某某种种趋趋向向下下，f(x)恒恒正正地地无无限限变变大大，或者恒负，但绝对值无限变大，则记为或者恒负，但绝对值无限变大，则记为有时，所研究的无穷大量具有确定的符号，有时，所研究的无穷大量具有确定的符号，