2018年度普通高等学校招生全国统一考试.理科数学全国卷2试题.及其答案内容.doc

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1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的112i 12iA43i55 B43i55 C34i55 D34i552已知集合223Axy xyxyZZ，则A中元素的个数为 A9B8C5D43函数 2eexx f xx 的图像大致为 4已知向量a，b满足|1a，1 a b，则(2)aabA4B3C2D05双曲线22221

2、(0,0)xyabab 的离心率为3，则其渐近线方程为A2yx B3yx C2 2yx D3 2yx 6在ABC中，5cos25C ，1BC ，5AC ，则AB A4 2B30C29D2 57为计算11111123499100S ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A1ii B2ii C3ii D4ii 8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是A1 12B1 14C1 15D1 189在长方体1111ABCDABC D中，1

3、ABBC，13AA ，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为A1 5B5 6C5 5D2 210若( )cossinf xxx在, a a是减函数，则a的最大值是A 4B 2C3 4D11已知( )f x是定义域为(,) 的奇函数，满足(1)(1)fxfx若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffffA50B0C2D5012已知1F，2F是椭圆22221(0)xyCabab： 的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为3 6的直线上，12PFF为等腰三角形，12120FF P，则C的离心率为A2 3B1 2C1 3D1 4二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分1

4、3曲线2ln(1)yx在点(0,0)处的切线方程为_开始0,0NTSNTS输出1i 100i 1NNi1 1TTi结束是否14若, x y满足约束条件250 230 50xy xy x ， ， ，则zxy的最大值为_15已知sincos1，cossin0，则sin()_16已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为7 8，SA与圆锥底面所成角为45，若SAB的面积为5 15，则该圆锥的侧面积为_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答学科*网（一）必考题：共 60 分。1

5、7（12 分）记nS为等差数列na的前n项和，已知17a ，315S （1）求na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值18（12 分）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1 217， ，）建立模型：30.413.5yt ；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1 27， ，）建立模型：9917.5yt（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的

6、预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由19（12 分）设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)k k 的直线l与C交于A，B两点，|8AB （1）求l的方程；学科&网（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程20（12 分）如图，在三棱锥PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点（1）证明：PO 平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值PAOCBM21（12 分）已知函数2( )exf xax（1）若1a ，证明：当0x 时，( )1f x ；（2）若( )f x在(0,)只有一个零点，求

7、a（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos 4sinx y ，（为参数），直线l的参数方程为1cos 2sinxt yt ，（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1, 2)，求l的斜率23选修 45：不等式选讲（10 分）设函数( )5|2|f xxax（1）当1a 时，求不等式( )0f x 的解集；（2）若( )1f x ，求a的取值范围2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答

8、案一、选择题1D2A3B4B5A6A7B8C9C10A11C12D二、填空题132yx149151 21640 2三、解答题17解：（1）设na的公差为 d，由题意得13315ad 由17a 得 d=2所以na的通项公式为29nan（2）由（1）得228(4)16nSnnn所以当 n=4 时，nS取得最小值，最小值为1618解：（1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为30.4 13.5 19226.1y (亿元)利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为99 17.5 9256.5y (亿元)（2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（）从折线图可以

9、看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线30.4 13.5yt 上下这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型99 17.5yt可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠学科*网（）从计算结果看，相对于 2016 年

10、的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分19解：（1）由题意得(1,0)F，l 的方程为(1)(0)yk xk设1221( ,), (,)AyxyxB，由2(1),4yk xyx 得2222(24)0k xkxk216160k ，故122224 kxkx所以122244| | (1)(1)xkABAFBFkx由题设知22448k k，解得1k （舍去） ，1k 因此 l 的方程为1yx（2）由（1）得 AB 的中点坐

11、标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为2(3)yx ，即5yx 设所求圆的圆心坐标为00(,)xy，则002 200 05,(1)(1)16.2yxyxx 解得003,2xy 或0011,6.xy 因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy20解：（1）因为4APCPAC，O为AC的中点，所以OPAC，且2 3OP 连结OB因为2 2ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，122OBAC由222OPOBPB知POOB由,OPOB OPAC知PO 平面ABC（2）如图，以O为坐标原点，OBuu u r 的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Ox

12、yz由已知得(0,0,0), (2,0,0), (0, 2,0),(0,2,0), (0,0,2 3),(0,2,2 3),OBACPAPuu u r 取平面PAC的法向量(2,0,0)OB uu u r 设( ,2,0)(02)M aaa，则( ,4,0)AMaauuur 设平面PAM的法向量为( , , )x y zn由0,0APAMuu u ruuur nn得22 30 (4)0yz axa y，可取( 3(4), 3 ,)aaan，所以2222 3(4)cos, 2 3(4)3aOB aaa uu u r n由已知可得3|cos,|2OBuu u r n所以2222 3 |4|3=22

13、 3(4)3aaaa解得4a （舍去） ，4 3a 所以8 3 4 34(,)333 n又(0,2, 2 3)PC uu u r ，所以3cos,4PCuu u r n所以PC与平面PAM所成角的正弦值为3 421解：（1）当1a 时，( )1f x 等价于2(1)e10xx 设函数2( )(1)e1xg xx，则22( )(21)e(1) exxg xxxx 当1x 时，( )0g x ，所以( )g x在(0,)单调递减而(0)0g，故当0x 时，( )0g x ，即( )1f x （2）设函数2( )1exh xax ( )f x在(0,)只有一个零点当且仅当( )h x在(0,)只有一

14、个零点（i）当0a 时，( )0h x ，( )h x没有零点；（ii）当0a 时，( )(2)exh xax x当(0,2)x时，( )0h x ；当(2,)x时，( )0h x 所以( )h x在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增故24(2)1eah 是( )h x在0,)的最小值若(2)0h，即2e 4a ，( )h x在(0,)没有零点；若(2)0h，即2e 4a ，( )h x在(0,)只有一个零点；若(2)0h，即2e 4a ，由于(0)1h，所以( )h x在(0,2)有一个零点，由（1）知，当0x 时，2exx，所以33342241616161(4 )11110e(e )(

15、2 )aaaaahaaa 故( )h x在(2,4 )a有一个零点，因此( )h x在(0,)有两个零点综上，( )f x在(0,)只有一个零点时，2e 4a 22解：（1）曲线C的直角坐标方程为22 1416xy 当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx，当cos0时，l的直角坐标方程为1x （2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程22(1 3cos)4(2cossin)80tt因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为1t，2t，则120tt又由得1224(2cossin) 1 3costt ，故2cossin0，于是直线l的斜率tan2k 23解：（1）当1a 时，24,1,( )2, 12,26,2.xxf xxxx 可得( )0f x 的解集为 | 23xx （2）( )1f x 等价于|2| 4xax而|2| |2|xaxa，且当2x 时等号成立故( )1f x 等价于|2| 4a由|2| 4a可得6a 或2a ，所以a的取值范围是(, 62,)