《矿业系统可靠性教学课件》k2-讲义.ppt

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1、第二章第二章 常用的寿命分布常用的寿命分布 第一节第一节 统计方法在可靠性中应统计方法在可靠性中应用的前提用的前提第二节第二节 可靠性特征量可靠性特征量 第三节第三节 常用的寿命分布常用的寿命分布习题习题2/12/20231中国矿业大学工业工程系传统的假设变异的性质(平均、扩展等)不随时间改变以特定的方式分布，可用一个数学函数。即大家都知道的统计正态分布来描述；2/12/20232中国矿业大学工业工程系工程中变异的特点零部件供应商可能在某个过程中做了小的改动。而导致了可靠性方面的大变化(更好或更坏）可能是有意的或意外的，可能是已知的或未知的。零部件可能是根据诸如尺寸或其他可测量参数的准则选样的

2、，这并不符合大多数统计方法所基于的统计正态分布假定某个过程或参数可能随时间连续地或周期性地变化，故在其一时间获取的统汁数字与其他时间获取的统汁数字可能并不相关2/12/20233中国矿业大学工业工程系某些变异就性质而论往往是确定性的：如弹簧的变形是力的函数，对这种情况运用统计技术不一定总是很适合的；工程中的变异可能会难于进行数学处理。例如：自动凋温器失效会导致某个过程以不同于通过早期测量确定的方式变化，或者操作人员或测试人员也有可能出现失误变异可能是大变异，而不仪仅是连续的；例如电平这样的参数可能在一个范围内变化，也可能变到零2/12/20234中国矿业大学工业工程系结论 工程中的变异很大程度

3、上是由人(如设计者、制造者、操作者及维修者)所引起的这一事实。必须总要把人的因素考虑进去，必须重视能动性、培训、管理 牢记：在任何应用统计方法处理科学和工程问题的过程中，所有的因果关系最终都在科学理论、工程设计、过程或人的行为等方面有所解释。我们必须去寻求变异的原因，因为只有了解原因，才算真正地受控。2/12/20235中国矿业大学工业工程系变异的类型确定性的或因果性的功能性的。它包括诸如操作程序改变、人为错误、校准误差等的影响之类的关系原理上这些关系是可以被考虑到的但是经常并非如此而因果关系并不总是易于识别或量化的随机性的。是各种过程和使用条件的固有变异性的影响。它们可被认为是当所有确定性的

4、和功能性的原因已经被排除后，所遗留的无法解释的变异。（难于解释的变异）2/12/20236中国矿业大学工业工程系变异是正态分布的吗1.截尾数据:零件尺寸、人体尺寸2/12/20237中国矿业大学工业工程系2.选择的结果:产品的分类销售2/12/20238中国矿业大学工业工程系3.倾斜的数据2/12/20239中国矿业大学工业工程系4.双峰数据:人为的调整2/12/202310中国矿业大学工业工程系正态分布?相同的平均值和标准差2/12/202311中国矿业大学工业工程系结论1.大部分有关统计过程控制的教科书和教学都强调把工态分布的应用作为制作图表和决策的基础.2.对处于临界应力使用条件下的机械

5、零件(如飞机和民用工程结构零件)有着典型的设计规定，都要求在最大预计应力和预计强度的较低的3值之间一定要有一个安全系数.(极值分布)3.达到高质量的所谓的“6”方法2/12/202312中国矿业大学工业工程系第二节第二节 可靠性特征量可靠性特征量 一、系统失效分布函数一、系统失效分布函数 系统（复杂产品）系统（复杂产品）:是完成特定功能的综合体，是完成特定功能的综合体，是若干协调工作部件的有机组合。是若干协调工作部件的有机组合。工作部件工作部件:是具有可靠性的数量指标、具有被独是具有可靠性的数量指标、具有被独立地加以考虑的系统的组合部分立地加以考虑的系统的组合部分 系统失效系统失效:系统丧失规

6、定的功能系统丧失规定的功能 2/12/202313中国矿业大学工业工程系环境造成系统失效可分为两类：环境造成系统失效可分为两类：永久性损坏，如机械损坏永久性损坏，如机械损坏 功能故障。所谓功能故障指系统的各种功功能故障。所谓功能故障指系统的各种功能出现不利的变化，或受环境条件的影响能出现不利的变化，或受环境条件的影响功能不能正常发挥，一旦外界条件变好，功能不能正常发挥，一旦外界条件变好，系统功能仍能恢复。系统功能仍能恢复。2/12/202314中国矿业大学工业工程系据失效的性质，系统失效又可以分为两类据失效的性质，系统失效又可以分为两类:（1）突然失效。）突然失效。在大多数情况下，元器件在大多

7、数情况下，元器件的机械或电器的失效是突然发生的，称为的机械或电器的失效是突然发生的，称为突然失效。突然失效通常使系统完全丧失突然失效。突然失效通常使系统完全丧失规定的功能。规定的功能。（2）退化失效。）退化失效。由于老化而使得元器件、由于老化而使得元器件、材料的参数逐渐变化而引起的失效，称为材料的参数逐渐变化而引起的失效，称为退化失效。退化失效多半仅仅使系统的输退化失效。退化失效多半仅仅使系统的输出特性变坏，而系统可以继续保持工作能出特性变坏，而系统可以继续保持工作能力。力。2/12/202315中国矿业大学工业工程系失效判据（或失效标准）失效判据（或失效标准）:为了判断失效，必须制定判断失效

8、的技术为了判断失效，必须制定判断失效的技术指标指标.u 为了研究系统失效的规律，以下面的实验为了研究系统失效的规律，以下面的实验为例进行分析。为例进行分析。系统的工作部件失效并不能引起系统的不可靠 2/12/202316中国矿业大学工业工程系 例例2-1 测得某型号的测得某型号的N=110（个）集成电路块的失（个）集成电路块的失效时间（从开始工作到失效之间的时间）如表效时间（从开始工作到失效之间的时间）如表2-1所示。此表是对所测得的数据进行了初步整理，所示。此表是对所测得的数据进行了初步整理，按从小到大的顺序排列后，再进行分组处理，比按从小到大的顺序排列后，再进行分组处理，比如分为如分为8组

9、，计算每组中的失效数据的个数（称组，计算每组中的失效数据的个数（称为频率），记第为频率），记第 组的频率为组的频率为 ，再除以总数，再除以总数N即得该组的频率即得该组的频率 ，列表如表，列表如表2-2所示。所示。2/12/202317中国矿业大学工业工程系表表2-1 110个集成块的失效时间数据个集成块的失效时间数据 16020026030035039045046048050051053054056058060060061063064065065067069070071073073075077077078079080081083084084085086087088090092092093094

10、09509709809901000 1000 1010 1030 1040 1050 1070 1070 10801100 1100 1130 1140 1150 1180 1180 1180 1190 12001200 1210 1220 1230 1240 1240 1260 1260 1270 12901290 1300 1330 1380 1400 1430 1450 1490 1500 15001530 1550 1570 1590 1640 1700 1730 1750 1790 18001820 1870 1890 2050 2070 2180 2250 2380 2750 31

11、002/12/202318中国矿业大学工业工程系表表2-2 失效数据的频数分布表失效数据的频数分布表 组中值频数频率累计频率组组 号号 范范 围围1540520560.050.052405805605280.250.30380512051005370.340.064412051605 1405230.210.85516052005 180590.080.93620052405 220550.050.98724052805 260510.010.99828053205 300510.011.00合合计计1101.002/12/202319中国矿业大学工业工程系 以失效时间以失效时间 为横坐标，以

12、频率为横坐标，以频率 除以组除以组 距距 所得的商所得的商 （2-1）为纵坐标，画出失效频率直方图如图为纵坐标，画出失效频率直方图如图2-1所所示。示。2/12/202320中国矿业大学工业工程系图2-1 频率直方图2/12/202321中国矿业大学工业工程系 此直方图的面积值正是失效的频率值，全此直方图的面积值正是失效的频率值，全部矩形面积的总和为部矩形面积的总和为1，由此可以看出为什，由此可以看出为什么坐标不取频率，而取为频率除以组距的么坐标不取频率，而取为频率除以组距的商。从失效频率直方图中，可以看到商。从失效频率直方图中，可以看到=110个集成模块的失效时间分布情况：个集成模块的失效时

13、间分布情况：分布分布范围是从范围是从5h到到3205h：分布集中在分布集中在1005h左右为最多；左右为最多；每个小的区间所占整个分每个小的区间所占整个分布的比例不等。布的比例不等。若将图若将图2-1中的组距分得更小些、组数分中的组距分得更小些、组数分得更多一些，比如将组距得更多一些，比如将组距=400h缩小一倍，缩小一倍，此时的频率直方图如图此时的频率直方图如图2-2所示。所示。2/12/202322中国矿业大学工业工程系图2-2 频率直方图2/12/202323中国矿业大学工业工程系其图形与图其图形与图2-1是一致的，只是由于组距缩小了，是一致的，只是由于组距缩小了，分得更细了，因此更接近

14、真实情况。可以设想，分得更细了，因此更接近真实情况。可以设想，如果试验个数越来越多，分组越来越细，那么相如果试验个数越来越多，分组越来越细，那么相邻矩形的高度差别就会越来越小，最后折线就趋邻矩形的高度差别就会越来越小，最后折线就趋于一条光滑的曲线，这条曲线就表示失效时间在于一条光滑的曲线，这条曲线就表示失效时间在理论上的分布曲线，称为失效密度曲线。它的数理论上的分布曲线，称为失效密度曲线。它的数学表达式为：学表达式为：(2-2)式中式中 失效密度函数。失效密度函数。-概率论中的概率密度函数概率论中的概率密度函数2/12/202324中国矿业大学工业工程系对于失效密度曲线而言，失效密度曲线与对于

15、失效密度曲线而言，失效密度曲线与横坐标轴之间的面积等于横坐标轴之间的面积等于1。用积分表示为：。用积分表示为：(2-3)此式表明，失效时间随机变量在此式表明，失效时间随机变量在0,范范围内取值的概率等于围内取值的概率等于1。2/12/202325中国矿业大学工业工程系若将上例中第若将上例中第1组到第组到第 组所有失效频率累组所有失效频率累加，称为第加，称为第 组的累积频率，记为组的累积频率，记为 。即。即 （2-4）由此可得由此可得 。以失效时间以失效时间 为横坐标，以累计频率为横坐标，以累计频率 为纵为纵坐标画出的直方图如图坐标画出的直方图如图2-3，称为失效累计，称为失效累计频率图。频率图

16、。2/12/202326中国矿业大学工业工程系当数据个数很多，分组又很细，则图形的当数据个数很多，分组又很细，则图形的顶部折线将趋于一条光滑的曲线，这条曲顶部折线将趋于一条光滑的曲线，这条曲线就表示时间线就表示时间 在理论上的累积分布曲线。在理论上的累积分布曲线。其表达式为：其表达式为：(2-5)或或 (2-6)式中式中 失效累积分布函数或失效概率失效累积分布函数或失效概率分布函数，简称分布函数，简称失效分布函数失效分布函数。2/12/202327中国矿业大学工业工程系失效分布函数与失效密度函数之间有失效分布函数与失效密度函数之间有下述关系：下述关系：(2-7)(2-8)2/12/202328

17、中国矿业大学工业工程系图图2-3 累积失效分布函数曲线累积失效分布函数曲线 2/12/202329中国矿业大学工业工程系失效分布函数具有如下性质：失效分布函数具有如下性质：1）为非降函数；）为非降函数；2）；3）。2/12/202330中国矿业大学工业工程系二、系统可靠性指标二、系统可靠性指标 常将产品分为可修复与不可修复两类。常将产品分为可修复与不可修复两类。对于不可修复的产品常用可靠度、失效率、对于不可修复的产品常用可靠度、失效率、平均寿命等可靠性指标进行描述；平均寿命等可靠性指标进行描述；对于可修复产品常用维修度、可用度、平对于可修复产品常用维修度、可用度、平均修复时间等指标进行描述。均

18、修复时间等指标进行描述。2/12/202331中国矿业大学工业工程系1可靠度可靠度可靠度是产品在规定条件下和规定时间内，可靠度是产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的概率，一般记为完成规定功能的概率，一般记为 。它是。它是时间的函数，故也记为时间的函数，故也记为 ,称为可靠度函数。称为可靠度函数。由于系统失效与不失效是两个对立事件，由于系统失效与不失效是两个对立事件，因此可借助于系统的失效分布函数来表示因此可借助于系统的失效分布函数来表示系统的可靠度函数。即系统的可靠度函数。即 2/12/202332中国矿业大学工业工程系可靠度函数具有下述性质：可靠度函数具有下述性质：1）是非增函数；）

19、是非增函数；2），；3）。2/12/202333中国矿业大学工业工程系如果用随机变量如果用随机变量 表示产品从开始工作到表示产品从开始工作到发生失效或故障的时间，其概率密度为发生失效或故障的时间，其概率密度为 图图2-2所示，若用所示，若用 表示某一指定时刻，则表示某一指定时刻，则该产品在该时刻的可靠度该产品在该时刻的可靠度 可靠性函数可靠性函数 与失效分布函数与失效分布函数 及失效及失效密度函数密度函数 之间的关系，如图之间的关系，如图2-4及图及图2-5所示。所示。2/12/202334中国矿业大学工业工程系图2-4 与的关系2/12/202335中国矿业大学工业工程系图2-5 与的关系2

20、/12/202336中国矿业大学工业工程系2失效率失效率（1）失效率的定义）失效率的定义 衡量系统可靠性的另一个重要的指标是衡量系统可靠性的另一个重要的指标是失效率，其定义为：系统工作到时刻失效率，其定义为：系统工作到时刻 尚尚未失效的系统，在时刻未失效的系统，在时刻 后的单位时间内后的单位时间内发生失效的概率，称为系统在时刻发生失效的概率，称为系统在时刻 的失的失效率（或故障率），也称为失效函数，记效率（或故障率），也称为失效函数，记为为 。即。即 （2-9）2/12/202337中国矿业大学工业工程系其含义为：系统失效率近似等于系统在时刻其含义为：系统失效率近似等于系统在时刻 以以后的单位

21、时间后的单位时间 ,内的失效率内的失效率 与尚与尚在工作的系统数（系统残存数）在工作的系统数（系统残存数）之比值。之比值。即即 （2-10）由失效率的定义可见，失效率由失效率的定义可见，失效率 愈大，则系统愈大，则系统在时间区间在时间区间 ,内失效的可能性就愈大，内失效的可能性就愈大，可靠性就愈小。因此，失效率可靠性就愈小。因此，失效率 是表示可靠性是表示可靠性大小的局部指标。大小的局部指标。2/12/202338中国矿业大学工业工程系 失效率失效率 常用的单位是：常用的单位是：“”、“”。对于高可靠性产品常用。对于高可靠性产品常用“”作单位，称为一个作单位，称为一个“菲特菲特”，简记，简记为

22、为Fit(Failure unit)。即。即1菲特菲特=，其意，其意义是：义是：1000个产品工作一百万小时，个产品工作一百万小时，只有只有1个可能发生失效。个可能发生失效。2/12/202339中国矿业大学工业工程系 （2）失效率）失效率 与可靠度与可靠度 及失效密度及失效密度函数之间的关系函数之间的关系 由由 两边对两边对t微分，得微分，得 即即 代入式（代入式（2-9），得），得 （2-11）2/12/202340中国矿业大学工业工程系将等式两端对将等式两端对t积分，得积分，得 由于初始条件由于初始条件R(0)=1，即当，即当t=0时时N个产品个产品全是好的，从而得全是好的，从而得 （2

23、-12）2/12/202341中国矿业大学工业工程系 此式表明了失效率此式表明了失效率 与可靠度与可靠度 之间的关之间的关系。系。特别是当特别是当 =时，即失效率时，即失效率 为常数时，为常数时，有有 即即 为常数时，可靠性为常数时，可靠性 按时间按时间 的指的指数分布。数分布。2/12/202342中国矿业大学工业工程系又由：又由：可得可得 (2-13)此式表明了失效率此式表明了失效率 、失效密度、失效密度 及可靠及可靠度函数度函数 之间的关系，即系统在时刻之间的关系，即系统在时刻 的的失效率失效率 是到时刻是到时刻 尚未发生失效的可靠尚未发生失效的可靠度度R(t)的条件下，在下一个单位时间

24、内可能的条件下，在下一个单位时间内可能发生失效的条件概率，从而失效率发生失效的条件概率，从而失效率 可用可用失效密度失效密度 、可靠密度、可靠密度R(t)来表达。来表达。2/12/202343中国矿业大学工业工程系3平均寿命平均寿命 在系统的寿命特征中，最常用的是在系统的寿命特征中，最常用的是“平均平均寿命寿命”。平均寿命，顾名思义就是寿命的。平均寿命，顾名思义就是寿命的平均数，即随机变量寿命的期望值。平均数，即随机变量寿命的期望值。u 对于不可修复系统，系统的寿命是指系对于不可修复系统，系统的寿命是指系统发生失效前的工作（或贮存）时间或工统发生失效前的工作（或贮存）时间或工作次数。作次数。u

25、 对于可修复系统，系统的寿命是指两次对于可修复系统，系统的寿命是指两次相邻失效（故障）之间的工作时间相邻失效（故障）之间的工作时间 2/12/202344中国矿业大学工业工程系 例例2-2 设测得设测得18台某种电子设备从工作开始到初台某种电子设备从工作开始到初次失效的时间数据（单位：次失效的时间数据（单位：h）如下：）如下：16,29,50,68,100,130,140,190,210,270,280,340,410,450,520,620,800,1100 则得这则得这18台电子设备的平均寿命（平均初次失效台电子设备的平均寿命（平均初次失效间隔间隔MTBF）为）为 式中式中 为单个值。为单

26、个值。2/12/202345中国矿业大学工业工程系若子样本较大，即若子样本较大，即N较大，这时用分组处理，较大，这时用分组处理，得平均寿命为：得平均寿命为：（2-14）式中式中 数据的个数；数据的个数；分组数；分组数；第第 组的组中值；组的组中值；第第 组的频数；组的频数；=/第第 组的频率。组的频率。2/12/202346中国矿业大学工业工程系如果数据愈多，分组愈多，即当如果数据愈多，分组愈多，即当 时，时，平均寿命为平均寿命为 (2-15)式中式中 系统失效密度函数。系统失效密度函数。2/12/202347中国矿业大学工业工程系由由 得得 故故 由于由于 ，所以，所以 (2-16)2/12

27、/202348中国矿业大学工业工程系 特别是当失效率特别是当失效率 为常数时，为常数时，=,平均寿命通常记为平均寿命通常记为 。则。则即即 (2-17)含义为，在失效率为常数的情况下，平均含义为，在失效率为常数的情况下，平均寿命等于失效率的倒数。寿命等于失效率的倒数。2/12/202349中国矿业大学工业工程系 此时，产品按平均寿命工作的可靠性为此时，产品按平均寿命工作的可靠性为 =时，时，。即对于即对于 的情况，产品能工作到平的情况，产品能工作到平均寿命的仅占均寿命的仅占37%。2/12/202350中国矿业大学工业工程系第三节第三节 常用的寿命分布常用的寿命分布 一、指数分布一、指数分布

28、在可靠性理论中，指数分布是最基本、在可靠性理论中，指数分布是最基本、最常用的分布，适合于失效率为常数的情最常用的分布，适合于失效率为常数的情况。它不但在电子元器件偶然失效期普遍况。它不但在电子元器件偶然失效期普遍使用，而且在复杂系统和整机方面以及机使用，而且在复杂系统和整机方面以及机械技术的可靠性领域也得到使用。械技术的可靠性领域也得到使用。指数分布常用于描述由于偶然因素冲击，指数分布常用于描述由于偶然因素冲击，引起系统失效的失效规律引起系统失效的失效规律 2/12/202351中国矿业大学工业工程系可以证明在可以证明在 内发生的冲击次数内发生的冲击次数 服从服从以以 为参数的泊松分布，即为泊

29、松过程。为参数的泊松分布，即为泊松过程。其概率分布为其概率分布为 如果在如果在 内无冲击，即冲击次数内无冲击，即冲击次数 =0时时的概率，也就是产品的可靠度为的概率，也就是产品的可靠度为从而可得失效分布为从而可得失效分布为 （2-18）2/12/202352中国矿业大学工业工程系失效密度为失效密度为 （2-19）若产品寿命若产品寿命 具有失效分布式（具有失效分布式（2-18），），或者具有失效密度式（或者具有失效密度式（2-19），则称产品），则称产品寿命寿命 服从参数为服从参数为 的指数分布。的指数分布。2/12/202353中国矿业大学工业工程系根据可靠性指标间的相互关系，可求出指根据可靠

30、性指标间的相互关系，可求出指数分布场合下的可靠性特征量如下：数分布场合下的可靠性特征量如下：可靠度：可靠度：（2-20）失效率：失效率：(2-21)平均寿命平均寿命:MTBT或或MTTF=(2-22)寿命方差：寿命方差：（2-23）2/12/202354中国矿业大学工业工程系 综上可知，指数分布的重要特征有：综上可知，指数分布的重要特征有：失效率失效率 为常数，反之，当失效率为常数为常数，反之，当失效率为常数时，其寿命服从指数分布；时，其寿命服从指数分布；平均寿命与失效率互为倒数；平均寿命与失效率互为倒数；平均寿命在数值上等于特征寿命。平均寿命在数值上等于特征寿命。此外，指数分布还有一个很重要

31、的性质就此外，指数分布还有一个很重要的性质就是所谓是所谓“无记忆性无记忆性”，即若寿命，即若寿命 服从指服从指数分布数分布2/12/202355中国矿业大学工业工程系则对任意时间则对任意时间 ，有，有 （2-24）由条件概率公式很容易得到证明。因为由条件概率公式很容易得到证明。因为2/12/202356中国矿业大学工业工程系 这意味着，若工作到这意味着，若工作到 时刻仍然正常的产时刻仍然正常的产品，就像产品由时刻品，就像产品由时刻 开始工作一样，开始工作一样，以以后，其寿命仍为指数分布。后，其寿命仍为指数分布。由于指数分布的失效率不随时间变化，由于指数分布的失效率不随时间变化，因此对由指数分布

32、的部件组成的系统，不因此对由指数分布的部件组成的系统，不能采用提前替换经过工作考验的部件来提能采用提前替换经过工作考验的部件来提高系统的可靠性。高系统的可靠性。2/12/202357中国矿业大学工业工程系例例2-3 某台仪器，在某种应力条件下，其某台仪器，在某种应力条件下，其失效时间服从指数分布。有资料表明，此失效时间服从指数分布。有资料表明，此种仪器在种仪器在1000h工作时间内将有工作时间内将有20%失效，失效，试求其平均寿命。试求其平均寿命。解解 由由 得得 则平均寿命则平均寿命 2/12/202358中国矿业大学工业工程系二、正态分布二、正态分布 正态分布也称高斯（正态分布也称高斯（G

33、auss）分布，是电）分布，是电子产品可靠性计算中常用的系统寿命分布子产品可靠性计算中常用的系统寿命分布类型。其失效率函数可以描述耗损失效区类型。其失效率函数可以描述耗损失效区的失效率随时间的变化情况。若随机变量的失效率随时间的变化情况。若随机变量 的概率密度函数为的概率密度函数为 （2-25）则称则称 服从正态分布。服从正态分布。2/12/202359中国矿业大学工业工程系根据概率密度函数可求得累积分布概率根据概率密度函数可求得累积分布概率 和可靠度函数和可靠度函数 为为 （2-26）（2-27）2/12/202360中国矿业大学工业工程系通常正态分布的随机变量通常正态分布的随机变量X记为记

34、为 。当当 时，时，称为标准正态分布，称为标准正态分布，记作记作 。当样品数目。当样品数目 时，二时，二项分布可近似为正态分布。项分布可近似为正态分布。和和 是正态分布的两个特征参数，它们是正态分布的两个特征参数，它们确定下来了，则整个分布的特征就定下来确定下来了，则整个分布的特征就定下来了。了。改变，改变，一定时，分布曲线沿一定时，分布曲线沿 轴平轴平移而其形状不改变，如图移而其形状不改变，如图2-6所示；如果所示；如果 不变而仅不变而仅 改变，分布曲线的位置不变，改变，分布曲线的位置不变，但分散程度有所改变，反映在曲线的形状但分散程度有所改变，反映在曲线的形状则是则是“肥肥”、“廋廋”的不

35、同，如图的不同，如图2-7所示。所示。X X2/12/202361中国矿业大学工业工程系图2-6 改变，一定时正态分布曲线2/12/202362中国矿业大学工业工程系图2-7 不变，改变时正态分布曲线2/12/202363中国矿业大学工业工程系正态分布函数有一个主要的特点，即对称性，且正态分布函数有一个主要的特点，即对称性，且在在 =处，处，最大。最大。（2-28）一般，按照式（一般，按照式（2-26），计算很复杂和困难，我），计算很复杂和困难，我们将其表达式进行变换，即们将其表达式进行变换，即 令令 ，从而有，从而有 （2-29）式中，式中，和和 分别为标准正态分布密度函数分别为标准正态分布

36、密度函数和累积概率分布函数。和累积概率分布函数。2/12/202364中国矿业大学工业工程系因此，当随机变量因此，当随机变量 呈正态分布时且均值呈正态分布时且均值 和标准差和标准差 已知，可以将它的分布函数转已知，可以将它的分布函数转换为标准正态分布，且特性不变，即换为标准正态分布，且特性不变，即 (2-30)假设假设 服从均值为服从均值为 ，标准差为，标准差为 的正态分的正态分布，那么在区间布，那么在区间 的累积概率值可由下的累积概率值可由下式计算。式计算。2/12/202365中国矿业大学工业工程系对上式进行变量代换对上式进行变量代换令令 ，,则有则有正态分布曲线与正态分布曲线与 轴所围面

37、积等于轴所围面积等于1。正态分布的失效率函数正态分布的失效率函数 和可靠寿命和可靠寿命 为为 （2-31）其中，其中，（2-32）2/12/202366中国矿业大学工业工程系例例2-4 电源电压在不超过电源电压在不超过200V，200240V和超过和超过240V这三种情况下，部件损坏这三种情况下，部件损坏的概率分别为的概率分别为0.1，0.001和和0.2。设电压。设电压 服从正态分布，服从正态分布，。求：电压。求：电压分别在不超过分别在不超过200V，200240V，超过，超过240V这三种情况下的概率。这三种情况下的概率。解解 2/12/202367中国矿业大学工业工程系三、对数正态分布三

38、、对数正态分布 正态分布虽然应用较广，但由于分布规律正态分布虽然应用较广，但由于分布规律的对称性，往往使得正态分布在实际应用的对称性，往往使得正态分布在实际应用中受到一定的限制，例如定应力下材料的中受到一定的限制，例如定应力下材料的疲劳寿命及维修时间都不服从正态分布，疲劳寿命及维修时间都不服从正态分布，即分布曲线不对称。而对数正态分布是描即分布曲线不对称。而对数正态分布是描述此类寿命与耐久性的一种好的分布，它述此类寿命与耐久性的一种好的分布，它解决了对称正态分布在描述式样在未经试解决了对称正态分布在描述式样在未经试验即在验即在t=0时出现失效的不合理性，能使之时出现失效的不合理性，能使之更符合

39、于实际。更符合于实际。2/12/202368中国矿业大学工业工程系 假设随即变量假设随即变量 服从正态分布，则服从正态分布，则 随机随机变量服从对数正态分布变量服从对数正态分布 ，其概率，其概率分布密度函数为分布密度函数为 （2-33）失效概率函数失效概率函数 （2-34）2/12/202369中国矿业大学工业工程系或写成标准正态分布形式或写成标准正态分布形式 （2-35）其中其中 2/12/202370中国矿业大学工业工程系可靠度可靠度 （2-36）失效率函数失效率函数 （2-37）2/12/202371中国矿业大学工业工程系对数正态分布的数学期望（均值）对数正态分布的数学期望（均值）2/1

40、2/202372中国矿业大学工业工程系对数正态分布的方差对数正态分布的方差 （2-38）2/12/202373中国矿业大学工业工程系图2-8 对数正态分布概率密度函数曲线 2/12/202374中国矿业大学工业工程系图2-9 对数正态分布失效率函数曲线 2/12/202375中国矿业大学工业工程系四、泊松（四、泊松（Poisson）分布）分布 二项分布在抽样数很大而较小时，可趋近二项分布在抽样数很大而较小时，可趋近于泊松分布。于泊松分布。泊松分布是概率论中的一种重要分布。泊松分布是概率论中的一种重要分布。这是只要这是只要 为一有限数，再令为一有限数，再令 充分大，充分大，即可得即可得 且称概率

41、分布且称概率分布 （2-39）为泊松分布，这是一种离散性分布为泊松分布，这是一种离散性分布 2/12/202376中国矿业大学工业工程系其数学期望值、方差、可靠度分别为其数学期望值、方差、可靠度分别为:在可靠性分析中，若要考虑依时间的演变过程，此时式在可靠性分析中，若要考虑依时间的演变过程，此时式（2-39）就成为）就成为 （2-40）而且同样可得而且同样可得 式（式（2-39）中的）中的 称为泊松随机变量，而式（称为泊松随机变量，而式（2-40）中）中的的 称为泊松随机过程。称为泊松随机过程。2/12/202377中国矿业大学工业工程系例例2-5 为了保证设备正常工作，需要配备适为了保证设备

42、正常工作，需要配备适量的维修工人量的维修工人(工人配备多了就浪费，配备工人配备多了就浪费，配备少了又要影响生产少了又要影响生产)，现有同类型设备，现有同类型设备300台，各台工作是相互独立的发生故障的台，各台工作是相互独立的发生故障的概率都是概率都是0.01，在通常情况下，一台设备，在通常情况下，一台设备的故障可由一个人来处理。问至少要配备的故障可由一个人来处理。问至少要配备多少工人，才能保证设备发生故障而不能多少工人，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率小于及时维修的概率小于0.01?2/12/202378中国矿业大学工业工程系解解 令令 表示同一时刻发生故障的设备台数，表示同一时刻发生

43、故障的设备台数，则则 。设需要配备几个维修工。设需要配备几个维修工人才能满足题意要求所要解决的问题是人才能满足题意要求所要解决的问题是确定确定 ，使得，使得2/12/202379中国矿业大学工业工程系由泊松分布，由泊松分布，得，得这样，问题转化成：对于参数为这样，问题转化成：对于参数为3的泊松分布，的泊松分布，求求 ，使得，使得通过计算可知，最小的通过计算可知，最小的 ，即需要达到上，即需要达到上述要求必须配备述要求必须配备8名维修工人名维修工人 2/12/202380中国矿业大学工业工程系五、二项分布五、二项分布若事件若事件 发生的概率为发生的概率为 ，则不发生的概率，则不发生的概率为为 ，

44、称随机变量服从二项分布。，称随机变量服从二项分布。n次重复独立试验发生次重复独立试验发生 次的概率为次的概率为 ，则则 （2-41）其中其中 ；，且，且 。2/12/202381中国矿业大学工业工程系显然由概率得数学期望、方差和可靠度分显然由概率得数学期望、方差和可靠度分别为别为 （2-42）（2-43）（2-44）泊松分布和二项分布可用于描述周期地监泊松分布和二项分布可用于描述周期地监察系统才发现失效的情况，此时系统的寿察系统才发现失效的情况，此时系统的寿命可以认为是周期长度的非负整数倍。命可以认为是周期长度的非负整数倍。2/12/202382中国矿业大学工业工程系例例2-6 某人进行射击，

45、每次射击的命中率某人进行射击，每次射击的命中率为为0.02，独立射击，独立射击400次。试求击中次数大次。试求击中次数大于、等于于、等于2的概率。的概率。解解 将每次射击看成是一次试验。令将每次射击看成是一次试验。令 表示表示击中的次数，则击中的次数，则 服从参数为服从参数为 ，的二项分布，其概率分布为的二项分布，其概率分布为 2/12/202383中国矿业大学工业工程系于是，所求的概率是于是，所求的概率是 直接计算上式是很麻烦的。当直接计算上式是很麻烦的。当 很大，很大，很小时，二项分布的计算可近似地泊松分很小时，二项分布的计算可近似地泊松分布来代替。布来代替。2/12/202384中国矿业

46、大学工业工程系习习 题题（1）某仪器的寿命符合指数分布，且失效率）某仪器的寿命符合指数分布，且失效率=0.01/kh，求该仪器工作到可靠度为，求该仪器工作到可靠度为90%时的时的时间。时间。（2）一种设备服从参数为的直属分部，假设其平）一种设备服从参数为的直属分部，假设其平均寿命为均寿命为200h，试求其连续工作，试求其连续工作200h、20h、10h的可靠度各是多少？的可靠度各是多少？（3）一种设备服从参数为的指数分布，假设其平）一种设备服从参数为的指数分布，假设其平均寿命为均寿命为3700h，试求其连续工作，试求其连续工作300h和和900h的可靠度是多少？要达到的可靠度是多少？要达到=0

47、.9的可靠寿命是多的可靠寿命是多少？少？2/12/202385中国矿业大学工业工程系（4）设产品失效率函数为）设产品失效率函数为 求该产品的失效率密度函数求该产品的失效率密度函数 和平均寿命和平均寿命 。（5）设产品的失效概率密度函数为）设产品的失效概率密度函数为 求该产品的可靠度函数求该产品的可靠度函数 和失效率函数和失效率函数 。2/12/202386中国矿业大学工业工程系（6）已知某产品的失效分布函数为）已知某产品的失效分布函数为 求该产品的可靠度函数求该产品的可靠度函数 、失效率函数、失效率函数 。（7）试举例说明失效率为）试举例说明失效率为15菲特、菲特、2000菲特的可菲特的可靠性水平。靠性水平。（8）设产品的失效率函数）设产品的失效率函数 这里这里 为常数，试求其失效密度函数为常数，试求其失效密度函数 与与可靠度函数可靠度函数 。2/12/202387中国矿业大学工业工程系