《自动控制原理教学课件》第4章.ppt

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1、 通信技术研究所通信技术研究所1 第4章 根轨迹法根轨迹法 系统动态响应的基本特征是由闭环极点（即闭环特征方程的根）在s平面上的位置决定的。根轨迹法的基本思想是：在已知开环传递函数零、极点分布基础上，通过图解法研究系统某一个或多个参数变化时，对控制系统闭环极点分布的影响。通信技术研究所通信技术研究所 4.1 4.1 根轨迹的概念 定义：系统开环传递函数的某一个参数(如开环增益 )从零变化到无穷大时，闭环系统特征根在S平面上变化 的轨迹。例 闭环传递函数 特征方程 特征方程的根：2 通信技术研究所通信技术研究所若 从零到无穷大变化时，特征方程根的变化情况如表所谓根轨迹图，即以 为参变量，当 由0

2、时，系统闭环极点在s平面上变化的轨迹。K 0 0.125 0.25 0.5 s1 0 -0.146 -0.5 -0.5+j0.5 -0.5+js2 -1 -0.854 -0.5 -0.5-j0.5 -0.5-j3 通信技术研究所通信技术研究所v稳定性稳定性 当增益 由0，根轨迹不会越过虚轴进入s平面右半边，因此系统对所有的K值都是稳定的，v稳态特性稳态特性 开环传递函数在坐标原点有一个极点，所以属I型系统，根轨迹上对应的 值就是 。v动态特性动态特性 当0 0.25时，闭环极点是共轭复数，为欠阻尼状态，单 位阶跃响应为衰减振荡过程。根据此图可以分析参数变化对系统特性的影响。4 通信技术研究所通

3、信技术研究所4.2 根轨迹方程4.2.1 根轨迹方程闭环传递函数：闭环特征方程：（根轨迹方程基本形式）或 5 通信技术研究所通信技术研究所（i=1,m）为开环零点。称为根轨迹增益；式中：ipzk （j=1,n）为开环极点。j写成得根轨迹方程标准形式6 通信技术研究所通信技术研究所幅值条件：相角条件（充要条件）：在测量相角时规定以逆时针方向为正。绘制根轨迹的两个基本条件：7 所示系统的开环传递函数为 判断点 和 是否在其根轨迹上。4.2.2 根轨迹方程的应用89 解：无开环零点 开环极点极点 不满足相角条件，不在根轨迹上满足相角条件，在根轨迹上 通信技术研究所通信技术研究所1、根轨迹对称于实轴，

4、且是连续的曲线。特征方程的根或为实数，或为共轭复数。必对称于实轴。4.3 绘制根轨迹的一般规则 2.根轨迹的起点和终点 起点（）：起始于开环传递函数的极点；终点（）：终止于开环传递函数的零点。包括m个有限远的零点（简称有限零点）和（n-m）个无限远的零点（简称无 限零点）。v当 变化时，整个根轨迹的趋向由起点移向终点，即由开环的极点移向开环的零点。10因为当 时，说明：根轨迹起始于开环传递函数的极点，n阶系统共有n个开环极点，每个开环极点都对应根轨迹的一个起点，所以共有n个起点。-起点：11终点：终点：（1）有m条根轨迹终止于系统开环传递函数的m个有限零点。当 时，我们把这m个零点称之为系统的

5、有限零点。（2）有（n-m）条根轨迹终止于开环传递函数的（n-m）个无限零点。上式表明：有n-m条根轨迹的终点在无穷远处。我们把无穷远处的零点称之为无限零点。12 通信技术研究所通信技术研究所 综上所述：综上所述：系统共有n个开环零点，其中m个为有限零点，（n-m）个为无限零点。每个开环零点都对应根轨迹的一个终点，所以共有n个终点。3、根轨迹的分支数 根轨迹的分支数等于开环的极点数。根轨迹的分支数等于开环的极点数。我们把一条完整的根轨迹称之为根轨迹的一个分支，由前面 的分析可知，n阶系统有n个根轨迹的起点和终点。所有的根轨迹都是有头有尾、有始有终。所以其分支数必等于开环的极点数或系统的阶数。1

6、3 通信技术研究所通信技术研究所4、根轨迹在实轴上的分布实轴上根轨迹其右侧的开环零点、极点数目之和必为奇数。如图系统有开环极点 、，开环零点 取实轴上 、之间一点1)、不影响根轨迹相角条件2)3)14 通信技术研究所通信技术研究所5、根轨迹的会合点和分离点 若根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。如图所示某系统的根轨迹，由开环极点 出发的两支根轨迹，随着 的增大在实轴上a点相遇再分离进入复平面。随着 的继续增大，又在实轴上b点相遇并分别沿实轴的左右两方运动。当 时，一支根轨迹终止于z 。另一支趋向 无穷远 。a、b点称为根轨迹在实轴上的分离点和会合点。15 通信技术研究所

7、通信技术研究所重根法：根轨迹在实轴上的分离点或会合点表示这些点是闭环特征方程的重根点。只要找到这些重根，就可以确定分离点或会合点的位置。利用设系统开环传递函数为：可以求出重根也可用16 通信技术研究所通信技术研究所6、根轨迹的渐近线 渐近线共有(n-m)条，且相交于实轴上的同一点。渐近线与实轴正方向的夹角：渐近线与实轴的交点：17 必为实数，计算时只需带极点和零点的实部即可。通信技术研究所通信技术研究所q 夹角：设根轨迹在无限远处有一点 ，则s平面上所有的开环有限零点和极点到 的相角都相等，即为渐近线的倾角 。代入根轨迹的相角条件得：规定：相角逆时针为正，顺时针为负。18 通信技术研究所通信技

8、术研究所q 渐近线与实轴的交点假设根轨迹在无限远处有一点 ，则s平面上所有开环有限零点和极点到 的矢量长度都相等。可以认为：对无限远闭环极点 而言，所有的开环有限零点 、极点 都汇集在一起，其位置为 ，这就是渐近线与实轴的交点。19 通信技术研究所通信技术研究所7、根轨迹的起始角和终止角：根轨迹的起始角是指起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。根轨迹的终止角是指终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平正方向的夹角。20 通信技术研究所通信技术研究所 单位负反馈的开环传递函数解：开环有四个极点：开环有三个零点:(1)实轴上(0,-1.5)和(-2.5,-)为根轨迹段(2)渐近

9、线21 通信技术研究所通信技术研究所（3）根轨迹起始角和终止角为:由根轨迹的对称性知22 通信技术研究所通信技术研究所23 通信技术研究所通信技术研究所该系统的起始角终止角及根轨迹如图所示24 通信技术研究所通信技术研究所8、根轨迹和虚轴的交点：q 在闭环特征方程中令 ，然后使特征方程的实、虚部为零即可求出 和 k。根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环特征方程至少有一对纯虚根 。25 通信技术研究所通信技术研究所开环传递函数为：闭环特征方程为：即：9、闭环极点之和与极点之积：26也是：通信技术研究所通信技术研究所根据代数方程根与系数的关系,有 当n-m2时，当开环有零值极点时：27

10、 通信技术研究所通信技术研究所解:由根之和即闭环第三个特征根为-3开环有零值极点：由根之积得因为所以系统开环传递函数 根轨迹与虚轴交点为 ,求交点处的临界值 及对应的第三个闭环极点28n-m2：通信技术研究所通信技术研究所幅值条件：相角条件（充要条件）：根轨迹方程标准形式：29复习 通信技术研究所通信技术研究所1、根轨迹对称于实轴，且是连续的曲线。2.根轨迹的起点和终点起始于开环传递函数的极点；终止于开环传递函数的零点。包括m个有限远的零点（简称有限零点）和（n-m）个无限远的零点（简称无限零点）。3、根轨迹的分支数 根轨迹的分支数等于开环的极点数。4、根轨迹在实轴上的分布 实轴上根轨迹其右侧

11、的开环零点、极点之和必为奇数。绘制根轨迹的一般规则5、根轨迹的会合点和分离点：重根法：6、根轨迹的渐近线30复习 通信技术研究所通信技术研究所7、根轨迹的起始角和终止角：根轨迹的起始角是指起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。根轨迹的终止角是指终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平正方向的夹角。8、根轨迹和虚轴的交点：319、闭环系统极点之和与之积：当n-m2时，当开环有零值极点时：复习 通信技术研究所通信技术研究所 单位负反馈的开环传递函数32 通信技术研究所通信技术研究所解：开环有四个极点：开环无零点33 通信技术研究所通信技术研究所（1）开环传递函数有四个极点，故有

12、四条根轨迹。（2）确定实轴上的根轨迹：在实轴上（-20，0）之间为根 轨迹。（3）根轨迹起点：四个开环极点。根轨迹终点：四条根轨迹均止于无穷远处。（4）根轨迹渐近线。34 通信技术研究所通信技术研究所（5）根轨迹分离点 用试探法解出分离点（6）根轨迹起始角。因开环有一对共轭复数极点，需求 处的根轨迹起始角。根据对称性规则35 通信技术研究所通信技术研究所（7）根轨迹与虚轴交点。系统闭环特征方程为令 代入方程中 解联立方程得：36 通信技术研究所通信技术研究所绘制根轨迹的步骤：（1）确定系统开环传递函数的零极点。（2）确定根轨迹的条数，及起点和终点。（3）实轴上的根轨迹（4）求根轨迹渐近线 包括

13、夹角及交点（5）根轨迹的分离点（6）起始角与终止角（一般适用于共轭复根）（7）与虚轴的交点。37 通信技术研究所通信技术研究所38 411 开环传递函数用根轨迹法求闭环极点。通信技术研究所通信技术研究所4.4 控制系统根轨迹分析利用根轨迹分析法对系统性能进行分析包括以下几方面内容（1）参数变化对系统稳定性的影响；（2）计算系统的暂态和稳态性能；（3）根据性能要求确定系统的参量。39 通信技术研究所通信技术研究所1、根轨迹用于系统的性能分析 单位负反馈的开环传递函数当闭环系统稳定参数在一定范围内取值才能使系统稳定的系统称为条件稳定系统40 通信技术研究所通信技术研究所闭环零、极点分布与系统阶跃响

14、应的关系：单位阶跃响应输出一般表达式：（1）稳定性（2）调节时间（快速性）主要取决于闭环复数主导极点的实部绝对值。（3）超调量(平稳性)主要取决于闭环复数主导极点的位置。二阶系统最佳阻尼比（平稳性和快速性都比较理想）（4）实数零极点的作用 零点：减小系统阻尼，峰值时间提前，超调量增大。极点：增大系统阻尼，峰值时间滞后，超调量减小。41 通信技术研究所通信技术研究所（5）偶极子作用 如果零极点之间的距离比它本身的模值小一个数量级，则称这一对零极点为偶极子。偶极子对系统暂态性能的影响可以忽略。即零极点对消。（6）主导极点 离虚轴最近且附近又无闭环零点的闭环极点，对系统的暂态过程起主导作用。42 通

15、信技术研究所通信技术研究所43 412 单位负反馈系统开环传递函数用根轨迹法分析系统稳定性，并计算K=0.525时的暂态性能指标。通信技术研究所通信技术研究所2 通过改造根轨迹改善系统的品质：（通过增加开环零、极点来改造根轨迹）1、增加开环零点对根轨迹的影响（1）改变了根轨迹在实轴上的分布；（2）改变了渐近线条数、倾角和分离点；（3）加入一个零点，构成偶极子，可抵消有损于系统性 能的极点；（单位负反馈系统的开环零点与闭环零点相同）（4）根轨迹曲线将向左移，有利于改善系统的暂态性能。2、增加开环极点对根轨迹的影响（1）改变了根轨迹在实轴上的分布；（2）改变了根轨迹分支数；（3）改变了渐近线条数、

16、倾角和分离点；（4）根轨迹曲线将向右移，不利于改善系统的暂态性能。44 通信技术研究所通信技术研究所45 通信技术研究所通信技术研究所例4-13说明（a）附加一个开环极点 （1）根轨迹向右移；（2）原来系统总是稳定的，现在 大到一定程度时，系统变为不稳定系统；（3）同样 值下，对应的阻尼比变小，系统的超调量变大，调整时间变长，振荡也更加剧烈。结论：加开环极点对系统暂态性能不利。结论：加开环极点对系统暂态性能不利。（b）附加一个开环零点 （1）根轨迹向左移；（2）系统总是稳定的；（3）同样 值下，对应的阻尼比增大，系统的超调量变小，调整时间变短。结论：加开环零点，暂态性能提高。结论：加开环零点，

17、暂态性能提高。46 通信技术研究所通信技术研究所 系统 （1）绘制根轨迹，判断系统稳定性（2）,判断此时系统性能47 通信技术研究所通信技术研究所 第第4 4章小结章小结 一一.概念概念 1.根轨迹：系统开环传递函数的某一个参数(如开环增益 )从零变化到无穷大时，闭环系统特征根在S平面上变化的 轨迹。2.偶极子：如果闭环传递函数零极点之间的距离比它本身的 模值小一个数量级，则称这一对零极点为偶极子。3.主导极点：离虚轴最近且附近又无闭环零点的闭环极点，称之为主导极点。48 通信技术研究所通信技术研究所幅值条件：相角条件（充要条件）：根轨迹方程标准形式：49 通信技术研究所通信技术研究所1、根轨

18、迹对称于实轴，且是连续的曲线。2.根轨迹的起点和终点起始于开环传递函数的极点；终止于开环传递函数的零点。包括m个有限远的零点（简称有限零点）和（n-m）个无限远的零点（简称无限零点）。3、根轨迹的分支数 根轨迹的分支数等于开环的极点数。4、根轨迹在实轴上的分布 实轴上根轨迹其右侧的开环零点、极点之和必为奇数。二、绘制根轨迹的一般规则5、根轨迹的会合点和分离点：重根法：6、根轨迹的渐近线50 通信技术研究所通信技术研究所7、根轨迹的起始角和终止角：根轨迹的起始角是指起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。根轨迹的终止角是指终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平正方向的夹角。8、根轨迹和虚轴的交点：519、闭环系统极点之和与之积：当n-m2时，当开环有零值极点时：通信技术研究所通信技术研究所绘制根轨迹的步骤：（1）确定系统开环传递函数的零极点。（2）确定根轨迹的条数，及起点和终点。（3）实轴上的根轨迹（4）求根轨迹渐近线 包括夹角及交点（5）根轨迹的分离点（6）起始角与终止角（一般适用于共轭复根）（7）与虚轴的交点。52 通信技术研究所通信技术研究所 系统 （1）绘制根轨迹（2）证明根轨迹的复数部分是一个圆53