《曲面的概念》PPT课件.ppt

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1、第二章第二章 曲面论曲面论2.1 曲面（曲面（Surface）的概念）的概念2.1.1 简单曲面及其参数表示简单曲面及其参数表示定义定义1 1 平面上不自交的闭曲线称为约当（Jordan）曲线o 换句话说换句话说，简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交o若当定理：若当定理：平面上一条闭合（首尾相接）的若当曲线，把平面分成2个区域如果在这两个区域内分别取一点，再用一条曲线将其相连，则这条连线必定和原来的闭合若当曲线相交o它的证明需要用到拓扑学的知识o约当曲线分平面为两部分：1）中间一个是有限的；2）另一个是无限的o初等区域：初等区域：每一部分都以约当曲线为边界，其中有限的区域称为初等区域o初等区域

2、是若尔当曲线的内部o例子：例子：正方形或矩形的内部，圆或椭圆的内部等o简单曲面：简单曲面：如果平面上初等区域到三维欧氏空间内建立的对应是一一的，双方连续的在上映射（同胚映射），则我们把三维欧氏空间中的象称为简单曲面 o例子：例子：1.矩形纸片（初等区域）；2.可以卷成带有裂缝的圆柱面；3.圆环面 定义定义2 2 给出平面上一初等区域 G，G 中的点的笛卡儿坐标是（u，v），G 经过同胚映射后的象是曲面 S对于空间的笛卡儿坐标系来说，S 上的点的坐标是（x，y，z），曲面的解析表达式：称为曲面 S 的参数方程参数方程，u 和v 称为曲面 S 的参参数坐标数坐标或曲纹坐标曲纹坐标 o曲面的参数方程

3、简写成o曲面的向量函数的形式：例例1 1 圆柱面：G 是长方形圆柱面的参数方程为其中 R 为截圆的半径例例2 2 球面：G 是长方形，（经度），（纬度），球面的参数方程为 其中 R 是球面的半径例例3 3 旋转面：考虑 xOz 平面上的曲线（C）：把此曲线绕 z 轴旋转，则得一曲面，称为旋转旋转面面它的 G 是一长方形：旋转面的参数方程为定义定义3 3 初等区域 G 所在平面上的坐标直线：在曲面上的象称为坐标曲线坐标曲线ou 曲线：曲线：v=常数，u 变动时的曲线叫做 u 曲线ov 曲线曲线：u=常数，v 变动时的曲线叫做 v 曲线o曲纹坐标网：曲纹坐标网：两族坐标曲线 u 曲线（v=常数）与

4、 v 曲线（u=常数）在曲面上构成的坐标网，称为曲面上的曲纹坐标网曲纹坐标网例例4 4 圆柱面 曲线（z=常数）：垂直于 z 轴的平面和圆柱的交线，它们都是圆z-曲线（常数）：是圆柱面的直母线例例5 5 球面 曲线（常数）：是球面上等纬度的圆（纬线）曲线（=常数）：是球面上过两极的半圆子午线（经线）例例6 6 旋转面 曲线（t=常数）：是垂直于 z 轴的平面和旋转面的交线平行圆（纬线）t 曲线（常数）：是旋转面的母线子午线（经线）2.1.2 光滑曲面的切平面和法线光滑曲面的切平面和法线定义定义4 4 如果曲面方程或中的函数有直到 k 阶的连续偏微商，则称为为 k 阶正则曲面阶正则曲面或 类曲面

5、类曲面o特别地，类曲面又称为光滑曲面光滑曲面定义定义5 5 过曲面上每一点 有一条 u-曲线：又有一条 v-曲线：在曲面上 点处的这两条坐标曲线的切向量分别为如果它们不平行，即 在 点不等于零，则称 点为曲面的正常点曲面的正常点 o以后我们只讨论曲面的正常点 定义定义6 6 由 和 的连续性（因为曲面是光滑的），如果 在 处不为零，则总存在 的一个邻域 U，使得在此邻域内于是，在这片曲面上，有一族 u-曲线和一族 v-曲线满足：o经过曲面上每一点有惟一的一条 u-曲线和惟一的一条 v-曲线，而且这两族曲线彼此不相切o这样的两族曲线称为曲面上的一个正规坐正规坐标网标网命题命题1 1 曲面在正常点

6、的邻域 U 中总可以有形式的参数表示证明：证明：由于在正常点的邻域 U 内 ，即矩阵的秩为2 即三个行列式 中总有一个行列式在 的邻域 U 中不为零 假设第一个行列式不等于零，则由隐函数的存在定理，在 U 中存在惟一一对单值的连续可微函数则曲面在邻域 U 上的参数表示可以写成即命题命题2 2 曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的切向量 所决定的平面上证明：证明：若曲面上点的曲纹坐标由下列方程来确定：其中 t 是自变量把它们代入曲面的参数方程中，则这种点的向径可以用复合函数来表示：于是 r 可以表示为一个变量 t 的函数当 t 在某一区间上变动时，r 的终点在空间中描绘一条曲线因此在

7、曲面上确定某一曲线该曲线在曲面上 点处的切方向称为曲面在该点的切方向切方向或方向方向它平行于 分别是在点 的两条坐标曲线的切向量上式说明共面，所以 命题命题2 2 成立o称此平面为曲面在这一点的切平面切平面o将下式写成这样 所决定的曲面的切方向，完全依赖于的比值曲面上一点 的切平面的方程 设表示切平面上的任意点 M 的向径，则共面由此得出曲面点的切平面的方程为：写成坐标的形式 曲面形式的参数表示o对于曲面 形式的参数表示其中则曲面在点处的切平面的方程是即其中定义定义7 7 曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方向法方向过这点平行于法方向的直线称为曲面在该点的法线法线曲面的法向量为于是曲面的单位法向量为 曲面的法线方程曲面的法线是通过点 ，并且平行于法方向的直线，因而它的方程可写为 即其中 是法线上的任意一点，是参数o用坐标表示的法线方程具有如下的形式：o对于曲面 形式的参数表示，法线方程可简化为例例1 1 求圆柱面在任一点的切平面和法线方程解：解：在任一点的切平面方程为即在任一点的法线方程为即