数字电子技术基础逻辑代数基础.ppt

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1、2.1 2.1 概述概述2.2 2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算2.3 2.3 逻辑代数的公式逻辑代数的公式2.4 2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.5 2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.6 2.6 逻辑函数的简化逻辑函数的简化 应知应会要求应知应会要求 1 1、熟熟练练掌掌握握逻逻辑辑代代数数的的基基本本定定理理、基基本规则本规则和和常用公式常用公式；2 2、熟练掌握、熟练掌握逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法；3 3、熟熟练练掌掌握握逻逻辑辑函函数数的的代代数数化化简简法法和和卡诺图化简法卡诺图化简法。逻辑函数的化简。逻辑函数的化简

2、。重点重点:数字电路又称数字电路又称逻辑电路逻辑电路。逻辑电路的研究工具：逻辑电路的研究工具：逻辑变量：用字母逻辑变量：用字母A、B、C 等表示。是等表示。是二值变量二值变量。逻辑常量：逻辑常量：0 0和和1 1，中间值没有意义。，中间值没有意义。0 0和和1 1只只表表示示两两个个对对立立的的逻逻辑辑状状态态，如如：电电位位的的高高低低、开关的开关等。开关的开关等。逻辑运算：逻辑变量及常量之间逻辑运算：逻辑变量及常量之间逻辑状态逻辑状态的的推理运算推理运算。2.1 2.1 概述概述布尔代数（逻辑代数布尔代数（逻辑代数/开关代数）。开关代数）。1 1、“与与”逻辑逻辑A、B条件都具备时，事件条

3、件都具备时，事件F才发生。才发生。逻辑符号：逻辑符号：一、基本逻辑关系一、基本逻辑关系一、基本逻辑关系一、基本逻辑关系因果关系因果关系因果关系因果关系 2.2 2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算ABF000010001111断断断断/合合合合=0/10/1灭灭灭灭/亮亮亮亮=0/1=0/1真值表：真值表：逻辑表达式：逻辑表达式：F=AB（2 2）“或或”逻辑逻辑A、B只要有一个条件具备，事件只要有一个条件具备，事件F就发生。就发生。B 1AF断断断断/合合合合=0/10/1灭灭灭灭/亮亮亮亮=0/1=0/1ABF000110101111真值表：真值表：逻辑表达式：逻辑表达

4、式：F=A+B逻辑符号：逻辑符号：（3 3）“非非”逻辑逻辑A条件具备时条件具备时，事件，事件F不发生；不发生；A条件不具备时，事件条件不具备时，事件F 发生。发生。AEFRAF真值表：真值表：逻辑表达式：逻辑表达式：逻辑符号：逻辑符号：AF0110断断断断/合合合合=0/10/1灭灭灭灭/亮亮亮亮=0/1=0/1与非：与非：条条件件A、B都都具具备，则备，则F不发生不发生。二、复合逻辑运算二、复合逻辑运算二、复合逻辑运算二、复合逻辑运算或非：或非：条条件件A、B任任一一具具备备，则则F不不 发生。发生。ABF100110101011ABF100010001011与或非与或非AB=1或或CD=

5、1时时,F=0；AB=0且且CD=0 时时,F=1；异或运算异或运算ABY1 01 10 10 01100ABY1 01 10 10 00011同或运算同或运算=AB2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1 基本公式2.3.2 常用公式2.3.1 基本公式根据与、或、非的定义，得表的布尔恒等式序号序号公公 式式序号序号公公 式式10 1=0;0=110 A=0111+A=121 A=A120+A=A3A A=A13A+A=A4A A=014A+A=15A B=B A15A+B=B+A6A(B C)=(A B)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=A B+A C17A+B C

6、=(A+B)(A+C)8(A B)=A+B18(A+B)=AB9(A)=A证明方法：推演 真值表与普通代数相似的公式与普通代数相似的公式交换律交换律结合律结合律分配律分配律 例例 2.3.1 证明公式证明公式 解解 方法一：公式法方法一：公式法普通代数普通代数不适用不适用!证明公式证明公式方法二：真值表法方法二：真值表法 (将变量的各种取值代入等式将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中两边，进行计算并填入表中)A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100 0 1 0 0 0 1 000111110001111100 1 1 1 1 1

7、 1 01 0 1 1 1 1 1 相等相等逻辑代数的一些特殊公式逻辑代数的一些特殊公式同一律同一律A+A=AA A=A还原律还原律 例例 证明：证明：德德 摩根定理摩根定理 A B 0 0 0 1 1 0 1 100 0 1 111011 0 0 10101110011110001000相等相等相等相等德德 摩根定理摩根定理2.3.2 若干常用公式序 号公 式21A+A B=A22A+A B=A+B23A B+A B=A24A(A+B)=A25A B+A C+B C=A B+A CA B A C+B CD=A B+A C26A(AB)=A B;A(AB)=A、若干常用公式若干常用公式推广推广

8、长中含短，长中含短，留下短。留下短。长中含反，长中含反，去掉反。去掉反。正负相对，正负相对，余全完。余全完。公式公式(4)证明：证明：推论推论公式公式(5)证明：证明：即即=AB同理可证同理可证AB 将将Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.”“0”换成换成“1”,“1”换成换成“0”原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理1.代入定理：代入定理：等式中某一变量都代之以一个逻等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。辑函数，则等式仍然成立。例如，已知例如，已知(用函数用函数 A+C 代替代替 A)则

9、则2.反演定理：反演定理：不属于单个变量上的反号应保留不变不属于单个变量上的反号应保留不变运算顺序：运算顺序：括号括号 乘乘 加加注意注意:例如：例如：已知已知反演定理的应用：反演定理的应用：求逻辑函数的反函数求逻辑函数的反函数则则 将将 Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.”“0”换成换成“1”,“1”换成换成“0”原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量已知已知则则运算顺序：运算顺序：括号括号 与与 或或不属于单个变量上不属于单个变量上的反号应保留不变的反号应保留不变注意注意括号括号3.对偶定理：对偶定理：如果两个表达式相等，则它们的对如果两个表

10、达式相等，则它们的对偶式也一定相等。偶式也一定相等。将将 Y 中中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.”“0”换成换成“1”,“1”换成换成“0”例如例如对偶规则的应用对偶规则的应用：证明等式成立：证明等式成立运算顺序：运算顺序：括号括号 与与 或或A(B+C)=A B+A CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)A+B C=(A+B)(A+C)2.5 2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法1 1、逻辑函数的定义、逻辑函数的定义Y=F(A,B,C,.)输入逻输入逻辑变量辑变量输出逻输出逻辑变量辑变量一一对应一一对应任何一种任何一种因果关系因果关系都可以用逻辑

11、函数来表示。都可以用逻辑函数来表示。输入和输出变量的取值只能是输入和输出变量的取值只能是0或或1。2.5.1 逻辑函数逻辑函数例：例：举重裁判的例子：设有三个裁判，分别用举重裁判的例子：设有三个裁判，分别用A,B,C表示，表示，其中其中A是主裁判。规定至少有两个裁判确认（其中必须包是主裁判。规定至少有两个裁判确认（其中必须包含主裁判）时，运动员的试举才算成功。含主裁判）时，运动员的试举才算成功。2 2、逻辑函数的建立、逻辑函数的建立当用当用Y表示举重结果时，表示举重结果时，Y与与A,B,C的逻辑关系可表示为：的逻辑关系可表示为：Y=F(A,B,C)=A(B+C)真值表逻辑式逻辑图波形图卡诺图计

12、算机软件中的描述方式各种表示方法之间可以相互转换2.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法真值表输入变量A B C输出Y1 Y2 遍历所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值逻辑式 将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。逻辑图 用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。波形图 将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。卡诺图EDA中的描述方式 HDL(Hardware Description Language)VHDL(Very High Speed Integrated Circuit )Verilog HDL EDIF（

13、电子设计交换格式，Electronic Design Interchange Format）DTIF（数字试验交换格式Digital Test Interchange Format）。举例：举重裁判电路A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 101 0 001 0 111 1 011 1 11各种表现形式的相互转换：各种表现形式的相互转换：真值表 逻辑式例：奇偶判别函数的真值表A=0,B=1,C=1使 ABC=1A=1,B=0,C=1使 ABC=1A=1,B=1,C=0使 ABC=1这三种取值的任何一种都使Y=1,所以 Y=?A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 1

14、1 0 01 0 11 1 01 1 100010110真值表 逻辑式：1.找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合。2.每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。3.将这些变量相加即得 Y。4.把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y，列表逻辑式 逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。逻辑式 逻辑图2.从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。波形图 真值表Q3Q2Q1Y00000010010001101000101011012.5.3 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式一、最小项和最大项一、最小项和最大项 1.1.最小项最

15、小项 m最小项之和最小项之和-标准与或式标准与或式 最大项之积最大项之积-标准或与式标准或与式m是乘积项包含n个因子n个变量均以原变量和反变量的形式在m中出现一次对于对于对于对于n n变量函数变量函数变量函数变量函数有有有有2 2n n个最小项个最小项个最小项个最小项最小项特点：最小项特点：包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。反变量的形式出现一次。(2 变量共有变量共有 4 个最小项个最小项)(4 变量共有变量共有 16 个最小项个最小项)(n 变量共有变量共有 2n 个最小项个最小项)(3 变量共有变量共有 8 个最小项个

16、最小项)最小项的编号：最小项取值对应编号A B C十进制数0 0 0 0m00 0 1 1m10 1 0 2m20 1 1 3m31 0 0 4m41 0 1 5m51 1 0 6m61 1 1 7m7对应规律：对应规律：原变量原变量 1 反变量反变量 0对应规律：对应规律：1 原变量原变量 0 反变量反变量 最小项的性质：最小项的性质：00000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C(1)任一最小项，只有一组对应变量取值使其

17、值为任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1；A B C 0 0 1A B C 1 0 1(2)任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为 0；(3)全体最小项之和为全体最小项之和为 1。（4）具有具有相邻性相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。的两个最小项可以合并，并消去一对因子。只有一个因子不同的两个最小项是具有只有一个因子不同的两个最小项是具有相邻性相邻性的最小项。的最小项。逻辑相邻逻辑相邻 最小项是组成逻辑函数的基本单元最小项是组成逻辑函数的基本单元 任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为都可以表示成为最小项之和最小项之和的形式。的形式。例例 写出下列函数的标准与或式：写出下列函数的标准与或式：解解 或或m6m7m1m3利用公式利用公式可将任何一个函数化为可将任何一个函数化为