概率论与数理统计第二讲.ppt

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1、一、加法定理一、加法定理定理定理1 1 定理定理2 2 推论推论 或或第一讲第一讲 古典概型与加法公式古典概型与加法公式对任意二事件对任意二事件 A 与与 B，有有定理定理3 3例例1-3-1(92数一）数一）第一讲第一讲 古典概型与加法公式古典概型与加法公式第一讲第一讲 古典概型与加法公式古典概型与加法公式例例1-3-2(90数一）数一）例例1-3-3 设设P(A)0，P(B)0，将下列四个数：，将下列四个数：P(A)、P(AB)、P(AB)、P(A)+P(B)用用“”连接它们，并指出在什么情况下等号成立连接它们，并指出在什么情况下等号成立.解解第一讲第一讲 古典概型与加法公式古典概型与加法

2、公式第一讲第一讲 古典概型与加法公式古典概型与加法公式例题例题1-3-4（94，3分）分）第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性例例1-3-5（95数学一，数学一，3分）分）二、条件概率与乘法公式二、条件概率与乘法公式 1.条件概率定义条件概率定义第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性2.乘法公式：乘法公式：由条件概率定义可知：由条件概率定义可知：(用归纳法自己证明用归纳法自己证明)当当 n=3 时，时，如如第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性例例2-1-1 一个家庭中有一个家庭中有2 2个小孩，已知其中一个是女孩，个小孩

3、，已知其中一个是女孩，假定一个小孩是男是女是等可能的，问这时另一个小孩假定一个小孩是男是女是等可能的，问这时另一个小孩也是女孩的概率是多少？也是女孩的概率是多少？解：由题意：与顺序有关，样本空间为：解：由题意：与顺序有关，样本空间为：(男，男）男，男）,（女，女）（女，女）,（男，女（男，女),),（女，男）（女，男）求三次内取得合格品的概率求三次内取得合格品的概率.一批零件共一批零件共100100个个,次品率为次品率为1010,每次从其中任取一个零每次从其中任取一个零件件,取出的零件不再放回去取出的零件不再放回去,（1 1）求第三次才取得合格品的概率）求第三次才取得合格品的概率.（2 2）如

4、果取得一个合格品后）如果取得一个合格品后,就不再继续取零件，就不再继续取零件，例例2-1-2第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性“第第i i次取得合格品次取得合格品”,”,设设解解“第第 i i 次取得次品次取得次品”（i=1，2，3），），则则所求概率为所求概率为所求事件为所求事件为（1 1）设设A A 表示事件表示事件“三次内取得合格品三次内取得合格品”,”,则则A A 有下列几种情况有下列几种情况:第一次取到合格品第一次取到合格品,第二次才取到合格品第二次才取到合格品,第三次才取到合格品第三次才取到合格品,第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性第二讲第二讲 条件概率与独

5、立性条件概率与独立性例例2-1-3(06数学一，数学一，4分）分）例题例题2-1-42-1-4第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性三、全概率公式及其逆概率公式三、全概率公式及其逆概率公式定理定理1 1则事件则事件 A 发生的概率为发生的概率为任一事件发生时才可能发生，已知事件任一事件发生时才可能发生，已知事件 的概率的概率 及及事件事件 A 在当且仅当在当且仅当 中中事件事件 A 在在 已发生的条件下的条件概率已发生的条件下的条件概率1.全概率公式全概率公式证证加法定理加法定理第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性乘法定理乘法定理第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性

6、例例2-2-1,(93数学一）12 12个产品中有个产品中有2 2个次品，无放回连续取个次品，无放回连续取2 2次，求第二次次，求第二次取到次品的概率取到次品的概率2.逆概率公式（贝叶斯公式）逆概率公式（贝叶斯公式）定理定理2 2任一事件发生时才可能发生，若任一事件发生时才可能发生，若事件事件 A已经发生，则已经发生，则 事件事件 A 当且仅当在当且仅当在 中中在在A已发生的条件下发生的概率为已发生的条件下发生的概率为第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性叫做叫做试验后的假设概率试验后的假设概率，简称，简称验后概率验后概率,说明：说明：例例2-2-2 2-2-2 (05(05数学一）从

7、数学一）从1 1，2 2，3 3，4 4中任取一个数记为中任取一个数记为X X,再从再从1 1，X X中任取一个数记为中任取一个数记为Y Y,试求试求P(P(Y Y=2)=2)第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性例例2-2-3 (96(96数学一）设工厂数学一）设工厂A A和工厂和工厂B B产品的次品率分别为产品的次品率分别为1 1和和2 2，现从由，现从由A A和和B B的产品分别占的产品分别占6060与与4040的一批产品中随机的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属抽取一件，发现是次品，则该次品属A A生产的概率是生产的概率是第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立

8、性例例2-2-4 (97数一，数一，3分）分）袋中有袋中有5050个乒乓球，其中个乒乓球，其中2020个是黄球，个是黄球，3030个是白球，今有个是白球，今有2 2个人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人个人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是取得黄球的概率是_第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性由全概率公式：由全概率公式：例例2-2-5 发报台分别以概率发报台分别以概率 0.6 及及 0.4 发出信号发出信号“”及及“-”，由，由于通信于通信系统受到干扰，当发出信号系统受到干扰，当发出信号“”时，收报台以概率时，收报台以概率 0.8及及 0.

9、2 收到收到信号信号“”及及“-”；又当发出信号；又当发出信号“-”时，收报时，收报台以概率台以概率 0.9 及及 0.1 收收到信号到信号“-”及及”，求，求1）当收报台收到信号）当收报台收到信号“”时，发报台确系发出信号时，发报台确系发出信号“”的概的概率；率；2）当收报台收到信号）当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号时，发报台确系发出信号“-”的概率。的概率。设设 表示发报台发出信号表示发报台发出信号“”“”，设设 表示发报台发出信号表示发报台发出信号“-”“-”。B B 表示收报台收到信号表示收报台收到信号“”“”，C C 表示收报台收到信号表示收报台收到信号“-”“-”，第二

10、讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性（1）（2）第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性则由已知：则由已知：四、随机事件的独立性四、随机事件的独立性1.1.独立性定义独立性定义 则称事件则称事件 A 与事件与事件 B 相互独立，简称独立相互独立，简称独立（1）对任意两个事件）对任意两个事件A、B,若若同理同理，若，若则称则称B B与与A A是独立的。是独立的。显然：两个定义可以互相推导，定义（显然：两个定义可以互相推导，定义（2 2）说明独立即互）说明独立即互不影响不影响第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性则称则称A A与与B B是独立是独立的，否则是不独立的。的，否则是

11、不独立的。（2 2）若）若B B的发生不影响的发生不影响A A的概率的概率,即即若事件若事件 A A 与与 B B 相互独立，则下列各对事件也相互独立相互独立，则下列各对事件也相互独立:2.独立事件的性质独立事件的性质同理可证：同理可证：第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性3.3.有限个事件的独立性定义有限个事件的独立性定义若对其中的任意若对其中的任意l 个事件个事件都有：都有：定义：定义：说明：定义说明说明：定义说明三个以上事件两两独立不能保证相互独立三个以上事件两两独立不能保证相互独立以以3 3个事件的独立性为例说明个事件的独立性为例说明第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独

12、立性 因此，两个事件的乘法公式不能保证三个事件独立的乘法因此，两个事件的乘法公式不能保证三个事件独立的乘法公式，而三个事件独立必须同时满足下列四个式子都成立：公式，而三个事件独立必须同时满足下列四个式子都成立：类似地，推导类似地，推导4 4个事件的独立性个事件的独立性.n n个事件的独立性个事件的独立性第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性例例2-3-1 (99,3分）第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性例例2-3-2(98数学一）数学一）分析分析即即第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性加工某一零件共需经过三道工序加工某一零件共需经过三道工序.设第一、二、三道工序的

13、设第一、二、三道工序的次品率分别是次品率分别是2 2、3 3、5 5.假定各道工序是相互独立的假定各道工序是相互独立的,问加工出来的零件次品率是多少问加工出来的零件次品率是多少?例例2-3-32-3-3“第第i道工序出现次品道工序出现次品”,“加工出来的零件是次品加工出来的零件是次品”235第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性4.4.可靠性问题：可靠性问题：一个元件能正常工作的概率叫做这个一个元件能正常工作的概率叫做这个元件的可靠性元件的可靠性；若干个元件构成的系统能正常工作的概率叫做这个若干个元件构成的系统能正常工作的概率叫做这个系统的可靠性系统的可靠性例如例如 设一个系统由设一个

14、系统由 n n 个元件构成的。已知第个元件构成的。已知第 i i 个元件个元件的可靠性为的可靠性为p pi i (i i=1,2,=1,2,，n n)，并且各个元件能否正常，并且各个元件能否正常工作是相互独立的工作是相互独立的,试讨论：试讨论：（1 1）由这）由这 n n 个元件串联而成的系统的可靠性；个元件串联而成的系统的可靠性；（2 2）由这）由这 n n 个元件并联而成的系统的可靠性。个元件并联而成的系统的可靠性。设事件设事件 A Ai i 表示第表示第 i i 个元件能正常工作，则个元件能正常工作，则且且 n n 个事件个事件 A A1 1,A A2 2,A An n 是相互独立的。是

15、相互独立的。第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性12n（1 1）对于串联系统：）对于串联系统：设设 B B1 1 表示该串联系统正常工作。表示该串联系统正常工作。则则（2 2）对于并联系统：）对于并联系统：12n设设 B B2 2 表示该系统正常工作表示该系统正常工作,则则表示该系统不能正常工作表示该系统不能正常工作,第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性例例2-3-42-3-4 考察桥式系统，五个元件独立工作并组成桥式系统，考察桥式系统，五个元件独立工作并组成桥式系统，其可靠度均是其可靠度均是p p，求此系统的可靠度。，求此系统

16、的可靠度。由图分析：有由图分析：有4 4条通路中至少一条正常时系统就正常，但条通路中至少一条正常时系统就正常，但并集计算太麻烦，如果把并集计算太麻烦，如果把A A5 5单独拿掉，则剩下的就是并中串单独拿掉，则剩下的就是并中串联的问题联的问题第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性第二讲第二讲 条件概率与独立性条件概率与独立性记住如下的独立事件的公式会给许多运算带来方便记住如下的独立事件的公式会给许多运算带来方便五、贝努里概型（五、贝努里概型（n次独立试验概型）次独立试验概型）1.贝努里概型定义贝努里概型定义若一个试验满足下列条件若一个试验满足

17、下列条件（1 1）试验重复）试验重复n n次，次，（2 2）每次试验的结果是相互独立的，）每次试验的结果是相互独立的，（3 3）每次试验只有两个可能结果：）每次试验只有两个可能结果：则称这个试验为则称这个试验为n n重贝努里重贝努里(Bernoulli)(Bernoulli)试验，或称试验，或称为为n n次独立试验序列，相应的数学模型称为贝努里概型次独立试验序列，相应的数学模型称为贝努里概型2.二项分布定理二项分布定理定理：定理：第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结“第第i i 次试验中事件次试验中事件A A发生发生”。则：。则：证证“n n 次试验中事件次试验中事件A A发生发生m m次次”，显然，和式中共有显然，和式中共有 项，且两两互不相容项，且两两互不相容,由试验的独立性由试验的独立性 各项中的诸事件相互独立。于是各项的概率均为各项中的诸事件相互独立。于是各项的概率均为第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结第三讲第三讲 独立性与第一章总结独立性与第一章总结