材料力学中的能量法.ppt

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1、101 101 杆件的应变能计算杆件的应变能计算102 102 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理103 103 卡氏定理卡氏定理104 104 虚功原理虚功原理105 105 单位载荷法单位载荷法 106 106 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法第十章第十章 能量法能量法 利用与应变能概念相关的一些定理和原理，来解利用与应变能概念相关的一些定理和原理，来解决结构的位移计算或与结构变形有关的问题的方法，决结构的位移计算或与结构变形有关的问题的方法，称为称为能量法能量法（energy method)不计能量损耗，不计能量损耗，则根据功能原理有则根据功能原理有U=W10.

2、1 杆件的应变能计算杆件的应变能计算一、杆件一、杆件(线弹性）在基本变形时的应变能线弹性）在基本变形时的应变能1 1、轴向拉压杆的应变能计算：、轴向拉压杆的应变能计算：10.2 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理2 2、圆轴扭转时的应变能、圆轴扭转时的应变能3 3、梁弯曲时的应变能、梁弯曲时的应变能拉压拉压扭转扭转弯曲弯曲内力内力FNTM刚度刚度EAGIPEI二、杆件在组合变形时的应变能二、杆件在组合变形时的应变能 小变形时，各基本变形的应变能可单独计算，然后相小变形时，各基本变形的应变能可单独计算，然后相加，得到组合变性杆的总应变能。即：加，得到组合变性杆的总应变能。即：如

3、如：结论结论1:1:应变能是力的二次函数，因此，引起应变能是力的二次函数，因此，引起同一同一基本变形基本变形的一组外力在杆内所产生的应变能，并不等的一组外力在杆内所产生的应变能，并不等于各力分别作用时产生的应变能的简单相加。于各力分别作用时产生的应变能的简单相加。例如例如：求图示简支梁的应变能求图示简支梁的应变能。FMABC解：解：x（1 1）求支反力，列弯矩方程：）求支反力，列弯矩方程：（2 2）求应变能：）求应变能：（1）、（）、（2）式代入式代入（3）式得：式得：FMABC变形变形(a)式得式得FMABCFMABC先加先加M，再加再加F 先加先加F，再加再加M 结论结论2:2:杆件的应变

4、能只与最终的载杆件的应变能只与最终的载荷状态有关，而与加载次序无关。荷状态有关，而与加载次序无关。FMABCFMABC 结论结论3:3:（功的互等定理）广义力（功的互等定理）广义力F F在在由广义力由广义力M M引起的、引起的、F F方向方向上的位移上的位移上上所做的功所做的功=广义力广义力M M在在由广义力由广义力F F引起的、引起的、M M方向上方向上的位移的位移上上所做的功。所做的功。如如F=MF=M，则上述两广义位移数值相等，即，则上述两广义位移数值相等，即为位移互等定理。对线弹性体普遍适用。为位移互等定理。对线弹性体普遍适用。讨论：表讨论：表6-1中序号中序号3的的wB推导推导(用功

5、的互等定理）用功的互等定理）例例10-1-1 用能量法求用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。点的挠度。梁为等截面直梁。解：解：外力功等于应变能外力功等于应变能利用对称性，得：利用对称性，得：思考：分布荷载时，可否思考：分布荷载时，可否用此法求用此法求C点位移？点位移？FaaABC例例10-1-210-1-2如如图图所所示示桁桁架架，杆杆CD的的长长度度l为为1m，已已知知节节点点B受受铅铅垂垂向向下下的的力力F=1kN作作用用时时，杆杆CD产产生生逆逆时时针针方方向向的的转转角角 =0.01 rad。试试确确定定为为使使节节点点B产产生生铅铅垂垂向向下下的的线线位位移移 =0.0008m，在

6、在节节点点C及及D两两处处应应加加多多大大的力。并说明加力方向。的力。并说明加力方向。解：解：如图如图11-4b所示，在点所示，在点 C及点及点D应加一对大小相等，应加一对大小相等，方向相反，且均垂直于杆方向相反，且均垂直于杆CD的力。的力。根据功的互等定理：根据功的互等定理：.虚位移原理虚位移原理（1）刚体）刚体虚位移 满足约束条件的假想的任意微小位移。虚位移原理 作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的总功等于零（平衡的必要和充分条件）。10-4、10-5 虚位移原理及单位力法虚位移原理及单位力法（2）可变形固体）可变形固体 满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移。外力作用下，物体产生

7、变形的同时产生内力外力作用下，物体产生变形的同时产生内力虚位移 虚位移原理外力和内力对于虚位移所作的总虚功等于零（平衡的充要条件），即We（外力虚功）Wi（内力虚功）0 1.梁的虚位移原理梁的虚位移原理 图a所示的位移为由荷载产生的实际位移，简称实位移。荷载对于其相应位移上所作的功为实功。图b所示的位移为梁的虚位移，它是满足虚位移，它是满足约束条件和变形连续条件的约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移，假想的任意微小位移，与梁上的荷载及其内力完全无关。虚位移可以是真实位移虚位移可以是真实位移,也也可以是与真实位移毫无关系可以是与真实位移毫无关系的位移的位移.(a)x 实际位移实际挠曲线lx

8、dxy(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxy 梁上广义力 的作用点沿其作用方向的虚位移分别为 外力对于虚位移所作的总虚功为 (a)(a)外力虚功外力虚功(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxy(b)内力虚功内力虚功 取梁的dx微段进行分析。图c为微段的原始位置，其上面各力均由荷载产生，它们为梁的内力，也是微段的外力。由于梁的虚位移，使微段位移至图d 所示位置。微段的虚位移可分为两部分：一为刚性体位移一为刚性体位移。暂不计微段的变形，由于梁的其它部分的变形，而引起的微段的虚位移，微段由abcd 位置移至 。（图d 的实线）(d)(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxy二为变形虚位移二为变形虚位移。由于微段

9、本身的虚变形而引起的位移，使微段由 移到 （图d的虚线）。变形虚位移包括由弯曲和剪切产生的两部分，如图(e)和图(f)所示。(d)(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxy(b)M、对于刚体虚位移要做虚功，但由刚体虚位移原理可知，所有外力对于微段的刚体虚位移所作的总虚功等于零。M、对于变形虚位移（图e,f），所做的虚功为(b)式为微段的外力虚功dWe，设微段的内力虚功为dWi。由变形固体的虚位移原理(11-14)，即 (c)梁的内力虚功为 (d)将(a),(d)式代入（11-14）式 ，得梁的虚位移原理表达式虚位移原理表达式为得即外力虚功外力虚功=内力在微段内力在微段变形虚位移变形虚位移上的虚功上的

10、虚功(或虚应变能或虚应变能)组合变形时，杆横截面上的内力一般有弯矩M，剪力FS，轴力FN及扭矩T。与轴力相应的虚变形位移为沿轴力方向的线位移dd*，与扭矩相应的虚变形位移为扭转角 dj*。仿照梁的虚位移原理，可得组合变形时的虚位移原理表达式为 (10-15)2.组合变形的虚位移原理组合变形的虚位移原理 由于以上分析中没有涉及材料的物理性质，(11-15)式适用于弹性体和非弹性体问题。式中F Fi i为广义力为广义力，M,FS,FN,T是由荷载产生的内力，为广义虚位移广义虚位移，dq*,dl*,dd*,为微段的变形虚位移。.单位力法（单位载荷法）单位力法（单位载荷法）(1)因为由荷载引起的位移，

11、满足约束条件和变形连续条件，且为微小位移，满足可变形固体的虚位移条件。因此，可以把由荷载引起的实际位移D，作为虚位移。由荷载引起的微段的变形位移dq*,dl*,dd*,dj*作为变形虚位移。即以实际位以实际位移作为虚位移。移作为虚位移。(2)若要确定在荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向的实际位移D，可在该处施加一个相应的单位力，并以此作为单位荷载。即以虚设单位力作为荷载以虚设单位力作为荷载。由单位力引起的内力记为 。（3）单位力所做的外力虚功为 We=1D单位力法的虚位移原理表达式为(10-16)该式同样该式同样适用于弹性体和非弹性体问题。适用于弹性体和非弹性体问题。杆件的内力虚功为于是(

12、11-16)成为式中 为由单位力引起的内力，为实际荷载引起的内力。为剪应力不均匀系数，大于1。(4)线弹性体线弹性体由实际荷载实际荷载引起的微段变形位移公式为矩形截面矩形截面 ，圆截面，圆截面 对于细长杆件，剪力影响很小，第二对于细长杆件，剪力影响很小，第二项可略去不计。项可略去不计。上式常称为上式常称为莫尔定理莫尔定理或或莫尔积分莫尔积分。对于基本变形杆，。对于基本变形杆，莫尔定理的形式为：莫尔定理的形式为：（1 1）拉压时：）拉压时：（2 2）扭转时：）扭转时：（3 3）弯曲时：）弯曲时：对于桁架：对于桁架：(10-17)(10-17)使用莫尔定理的注意事项：使用莫尔定理的注意事项：5、莫

13、尔积分必须遍及整个结构。莫尔积分必须遍及整个结构。1 1、M(x)：结构在原载荷下的内力。结构在原载荷下的内力。3 3、所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功 的量纲。的量纲。2 2、：去掉主动力去掉主动力(或假设力状态，在所求或假设力状态，在所求 广义广义广义广义位移位移位移位移 处，处，沿所求沿所求广义位移广义位移广义位移广义位移 的方向加的方向加广义单位力广义单位力广义单位力广义单位力 时，时，结构产生的内力。结构产生的内力。4、M(x)与与 的坐标系必须一致，每段杆的坐标系的坐标系必须一致，每段杆的坐标系 可自由建立。可自由建立。应用举例应

14、用举例(按下面的顺序说明按下面的顺序说明)：梁梁桁架桁架刚架刚架组合变形构件（含曲杆）组合变形构件（含曲杆）在C 截面处施加单位力（图 b），由荷载及单位力引起的弯矩方程分别为 (0 x l)(a)例例 1 梁的弯曲刚度为EI，不计剪力对位移的影响。试用单位力法求 。(0 x l/2)(b)解：解：1.求因为 均关于C 截面对称的，故C 截面的挠度为（和单位力方向一致）（和单位力方向一致）（）A截面处的转角为（）（和单位力偶的转向相反）（和单位力偶的转向相反）在 A 截面处加单位力偶（图c），单位力偶引起的弯矩方程为(0 x l)(c)2.求习题10-7（a)（和所加单位力方向一致）（和所加单

15、位力方向一致）（）（和所加单位力偶方向一致）（和所加单位力偶方向一致）（逆）例例2 2（习题（习题10-1010-10）图示桁架中，各杆的图示桁架中，各杆的抗拉刚度抗拉刚度EA均均相同。相同。求节求节点点B的铅垂的铅垂位移位移By 和水平位移和水平位移Bx 。例例3 各杆各杆EA相同相同,杆长均为杆长均为a,用单位力法用单位力法求求 AB间相对间相对位位移移。解解:1)1)在在A、B处加一对方向相反的单位力处加一对方向相反的单位力2 2）计算各杆的轴力）计算各杆的轴力3 3）求）求AB间相对位移间相对位移求位移求位移例例4(4(不讲不讲)图示桁架中，各杆的图示桁架中，各杆的抗拉刚度抗拉刚度EA

16、均相同。均相同。求在图示载荷作用下，节求在图示载荷作用下，节点点E的铅垂的铅垂位移位移Ey。例例5 用单位力法用单位力法求刚架求刚架B处处的转角。的转角。解解:1)1)在在B处加单位力偶处加单位力偶,如图如图2)2)求反力求反力,列出各段的弯矩方程列出各段的弯矩方程教材教材 例例11-9 CB段：段：BA段：段：教材教材 例例11-9 求求C处垂直方向位移处垂直方向位移 CB段：段：BA段：段：与第与第7 7章用查表法计算的结果一致章用查表法计算的结果一致例例7 用单位力法求曲杆用单位力法求曲杆A点的点的水平水平位移位移。解解:1)1)在在A点加水平单位力点加水平单位力,如图如图2)2)写出弯

17、矩方程写出弯矩方程3)3)求位移求位移作业1（全部用单位载荷法计算（全部用单位载荷法计算!）10-13求B端的水平位移和垂直位移10-18（a)10-10（2）10.6 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法xdxMxx设长设长l 的杆的的杆的M(x)图是曲线，其面积图是曲线，其面积为为A，图是直线。图是直线。直杆在单位载荷作用下，直杆在单位载荷作用下，图一图一定是直线或折线。定是直线或折线。Mxl设设 ，则：，则：xcCxdxMxxMxl若若Mx 图也为直线，也可：图也为直线，也可：式中：式中：A 为为M图的面积；图的面积；为为M图形心对应下的图形心对应下的 图的值图的值。常常见见图图形形

18、的的面面积积和和形形心心为为置置应用图乘法的注意事项：应用图乘法的注意事项：应用图乘法求变形的解题步骤：应用图乘法求变形的解题步骤：画画M 图图；加单位力，画加单位力，画 图；图；代入图乘公式求解。代入图乘公式求解。M、图一律画在受拉侧，当图一律画在受拉侧，当M、图位于同侧时图位于同侧时，A 乘积为正，乘积为正，反之反之A 乘积为负乘积为负；若若 图为多段折线时，图为多段折线时，应分段图乘应分段图乘；若若M、图都是直线，则面积可取自任一个图形；图都是直线，则面积可取自任一个图形；M M图采用叠加法作图，图采用叠加法作图，将其分解为几个简单图形，将其分解为几个简单图形，分别计算再进行叠加。分别计

19、算再进行叠加。例例10-3-1 用图乘法求悬臂梁用图乘法求悬臂梁B截面的转角，截面的转角，EI为常数。为常数。FBAlBA1解：解：例例10-3-2 用图乘法求简支梁用图乘法求简支梁跨度中点跨度中点C的的挠度，挠度，端截面端截面B的转角，的转角，EI为常数。为常数。1解：解：lABqCABCABC例例10-3-3 用图乘法求简支梁用图乘法求简支梁跨度中点跨度中点C的的挠度，端挠度，端截面截面B的转角，的转角，EI为常数。为常数。1解：解：lABqCABCABC例例10-3-4 （习题（习题10-1610-16）求外伸梁求外伸梁C截面的挠度和转角。截面的挠度和转角。EI为常数。为常数。解：解：l

20、/2FABDl/2l/4CABCCAB1例例10-3-3-5（习题（习题10-17）解：解：1ABC3aaqABCABC例例10-3-6 用图乘法求外伸梁用图乘法求外伸梁D点的竖直位移，点的竖直位移，EI为常数。为常数。aaa2qaqABDqa2C1C2C3qa2/21a解：解：1)1)用叠加法画用叠加法画M 图图计算计算M 图面积：图面积：3)代入图乘公式求解代入图乘公式求解2)加单位力，画加单位力，画 图图例例10-3-7 用图乘法求刚架用图乘法求刚架C 截面的转角和铅垂位移，截面的转角和铅垂位移，EI 为常数。为常数。解：解：1)画画M 图图3)代入图乘公式求解代入图乘公式求解aaqAB

21、C2)加单位载荷并画加单位载荷并画 图图1111Mqa2/2qa2/2例例10-3-8 用图乘法用图乘法求刚架求刚架AB间的铅垂方向相对间的铅垂方向相对位移位移。解：解：1)画画M 图图3)代入图乘公式求解代入图乘公式求解2)加单位载荷并画加单位载荷并画 图图1 11 1习题10-11作业作业（全部用图乘法）（全部用图乘法）10-18（b)求求C截面的转角截面的转角10-19（c）求求A截面垂直位移截面垂直位移 10-20(a)求求A截面的水平位移截面的水平位移1、下图所示阶梯状变截面杆受轴向压力、下图所示阶梯状变截面杆受轴向压力P 作用，其作用，其变形能变形能U 应为应为 :（）（）（）（D

22、）本章练习题本章练习题2、下图所示同一根梁的三种载荷情况，试指出下列关下图所示同一根梁的三种载荷情况，试指出下列关系式中哪个是正确的系式中哪个是正确的 ：（A）（B）（C）（D）3、下图所示梁的载荷图，下图所示梁的载荷图，M图，图，图，用图乘法图，用图乘法求求C点的挠度，正确的算式为点的挠度，正确的算式为 :、D、4 4、若材料服从虎克定律，且物体的变形满足小变形条、若材料服从虎克定律，且物体的变形满足小变形条件，则该物体的件，则该物体的 与载荷之间呈非线性关系。与载荷之间呈非线性关系。A、内力；、内力；B、应力、应力、C、位移、位移、D、应变能。、应变能。D5 5、物体内储藏的应变能与载荷的

23、、物体内储藏的应变能与载荷的 。A A、最终值和加载次序均无关、最终值和加载次序均无关 ；B B、最终值无关，与加载次序有关、最终值无关，与加载次序有关 ；C C、最终值和加载次序均有关、最终值和加载次序均有关 ；D D、最终值有关，与加载次序无关、最终值有关，与加载次序无关 。D6 6、一梁在集中力、一梁在集中力P 作用下，其变形能为作用下，其变形能为U。若将力。若将力P 改为改为2P，其它条件不变，则其变形能力，其它条件不变，则其变形能力 。A、2U；B、4U；C、8U；D、16U 。B第十一章第十一章 超静定结构超静定结构11.1 11.1 超静定结构概述超静定结构概述11.2 11.2

24、 力法及其正则方程力法及其正则方程11.1 11.1 超静定结构概述超静定结构概述一、定义一、定义 用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为结构，统称为超静定结构或系统，超静定结构或系统，也称为也称为静不定结构静不定结构或系统。或系统。在静定系统上增加约束，称为在静定系统上增加约束，称为多余约束多余约束，F1F2MFRYX 并因而产生并因而产生多多余约束反力。余约束反力。外力超静定结构：外力超静定结构：外部支座反力不能单由静力平衡方程外部支座反力不能单由静力平衡方程求出的结构，图求出的结构，图（a a）,（b b）；内力超静定结构：内力超

25、静定结构：内部约束（内力）不能单由静力平衡内部约束（内力）不能单由静力平衡方程求出的结构方程求出的结构,图（图（c c）;混合超静定结构：混合超静定结构：内、外超静定兼而有之的结构内、外超静定兼而有之的结构,图（图（d d）F1F2(a)MF(b)F(c)F1F2(d)静定基：静定基：解除超静定系统的某些约束后得到的静解除超静定系统的某些约束后得到的静定系统，称为原超静定系统的定系统，称为原超静定系统的基本静定系（简称静定基本静定系（简称静定基），基），同一问题静定基可以有不同的选择，主要是便同一问题静定基可以有不同的选择，主要是便于计算系统的变形和位移。于计算系统的变形和位移。相当系统：相当

26、系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束在静定基上加上外载荷以及多余约束力，这样的系统称为原超静定系统的相当系统。力，这样的系统称为原超静定系统的相当系统。三、基本静定系（静定基）、相当系统三、基本静定系（静定基）、相当系统二、超静定次数的确定二、超静定次数的确定 内、外约束力总数与独立静力平衡方程总数之差内、外约束力总数与独立静力平衡方程总数之差即为超静定结构的超静定次数。即为超静定结构的超静定次数。F1F2RF1F2F1F2R 11.2 11.2 力法及其正则方程力法及其正则方程一、力法一、力法 以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函

27、数，由变形协调条件和物理关系建立补为未知力的函数，由变形协调条件和物理关系建立补充方程，来求解未知约束力的方法充方程，来求解未知约束力的方法。在多余约束处加上多余约束在多余约束处加上多余约束反力反力X1及外载荷及外载荷F。解除解除B处约束成悬臂梁，或解处约束成悬臂梁，或解除左端转动约束，成简支梁。除左端转动约束，成简支梁。1 1、解除多余约束、得、解除多余约束、得静定基静定基2 2、建立、建立相当系统相当系统3 3、由变形协调条件列出由变形协调条件列出正则方程正则方程FABCFABCX1二、力法的基本思路：二、力法的基本思路：FABCFABCX1ABCX1FABC FABCABC1对线弹性结构

28、应有：对线弹性结构应有：代入变形协调条件，得代入变形协调条件，得力法正则方程力法正则方程：4.4.解正则方程，求多余约束反力解正则方程，求多余约束反力也可取图示静定基也可取图示静定基ABC、相当系统、相当系统F力法求解超静定问题的基本步骤：力法求解超静定问题的基本步骤：2 2、作、作MF图图1 1、确定静定基，并画出未知反力，、确定静定基，并画出未知反力，3 3、作、作X1=1时的时的图图4 4、求、求5 5、将代入正则方程、将代入正则方程求并确定方向（转向）求并确定方向（转向）建立正则方程建立正则方程例例111EI为常数，作梁的弯矩图。为常数，作梁的弯矩图。ABq解：解：ABqABABABq

29、相当系统相当系统另一解法：另一解法：解：解：qABABABABq相当系统相当系统例例112EI为常数，作梁的弯矩图。为常数，作梁的弯矩图。解解（1 1）解除）解除B多余约束，多余约束，建立相当系统建立相当系统（2 2）建立正则方程）建立正则方程（3 3）求解）求解（4 4）叠加法作）叠加法作梁的弯矩图。梁的弯矩图。例例113用力法求超静定结构反力，并画弯矩图。用力法求超静定结构反力，并画弯矩图。解解（1 1）选）选B为为多余约束，多余约束，（2 2）建立正则方程）建立正则方程建立相当系统建立相当系统（3 3）求解）求解（4 4）叠加法作）叠加法作弯矩图。弯矩图。例例114用力法求超静定结构反力

30、。用力法求超静定结构反力。解解（1 1）建立相当系统如图建立相当系统如图（2 2）建立正则方程）建立正则方程（3 3）求解）求解例例115（教材）求图示正方形桁架各杆内力。求图示正方形桁架各杆内力。EA=常数。常数。解解（1 1）以）以BD杆为杆为多余约束，用一截面多余约束，用一截面将将BDBD切开，切开，相当系统如图相当系统如图（2 2）建立正则方程）建立正则方程ll（3 3）求系数）求系数（4 4）解正则方程）解正则方程例例114教材图示结构，由折杆图示结构，由折杆ACDB和拉杆和拉杆AB组成，组成，A、B两点为铰接，在两点为铰接，在B点作用水平力点作用水平力F。已知折杆的抗弯刚度。已知折

31、杆的抗弯刚度为为EI，AB杆的抗拉刚度为杆的抗拉刚度为E0A0。求。求AB杆的轴力。杆的轴力。解解（1 1）以）以AB杆为杆为多余约束，多余约束，相当系统如图相当系统如图（2 2）建立正则方程）建立正则方程（3 3）求解）求解可见：可见：AB杆的轴力与刚架的抗弯刚度对杆的轴力与刚架的抗弯刚度对AB杆抗拉刚杆抗拉刚度的比值有关，度的比值有关，AB杆抗拉刚度越大，则它的轴力就杆抗拉刚度越大，则它的轴力就越大，这是超静定结构的特点。若越大，这是超静定结构的特点。若EI远大于远大于EA，则轴，则轴力可略去不计，此问题可按静定问题处理。力可略去不计，此问题可按静定问题处理。作业111-2（b)11-9(

32、a)11-10(a)讲11-4 11-9（B)例例118例题 如图所示矩形封闭刚架，设横梁抗弯刚度为如图所示矩形封闭刚架，设横梁抗弯刚度为EI1，立柱抗弯刚度为，立柱抗弯刚度为EI2，试作刚架的弯矩图，试作刚架的弯矩图（12-15）。）。l1l2FFAEI1EI2ACCMCMCFsCFsCFNCFNCX1=MC解：解：列正则方程列正则方程可判断该结构为三次内力超静定结构，可判断该结构为三次内力超静定结构，由结构关于由结构关于CC 轴对称得：轴对称得：可见利用对称性，将三次超定静问题降为一次超定静可见利用对称性，将三次超定静问题降为一次超定静问题，并取四分之一计算。问题，并取四分之一计算。但由结

33、构关于但由结构关于AA轴对称得：轴对称得：X1=MCX1=1(4)计算计算11和和1F(5)解方程，求解方程，求X1(6)作作M图图AACC(3)列正则方程为：列正则方程为：三、多次超静定结构三、多次超静定结构正则方程：正则方程：例例119求图示两端固定梁的支反力，并画弯矩图。求图示两端固定梁的支反力，并画弯矩图。解解（1 1）选）选B为为多余约束，多余约束，（2 2）建立正则方程）建立正则方程建立相当系统建立相当系统（3 3）求解）求解（4 4）叠加法作）叠加法作弯矩图。弯矩图。代入正则方程，化简得代入正则方程，化简得例例1110（教材（教材11-11）画图示超静定刚架的内力图，画图示超静定

34、刚架的内力图，EI为常数。为常数。解：解：由于结构对称，对称由于结构对称，对称面上只有对称力面上只有对称力所以所以正则方程为：正则方程为：作业211-611-8(b)11-18作业311-1511-191 1、结构的超静定次数等于、结构的超静定次数等于 。A 、未知力的数目、未知力的数目；B 、支座反力的数目；、支座反力的数目；C 、未知力数目与独立平衡方程数目的差数；、未知力数目与独立平衡方程数目的差数；D、支座反力数目与独立平衡方程数目的差数。、支座反力数目与独立平衡方程数目的差数。本章习题本章习题一、选择题一、选择题C2 2、求解静超定结构时，若取不同的静定基，则、求解静超定结构时，若取

35、不同的静定基，则 。A A、补充方程不同，解答结果相同、补充方程不同，解答结果相同；B B、补充方程相同，解答结果不同；、补充方程相同，解答结果不同；C C、补充方程和解答结果都相同、补充方程和解答结果都相同；D D、补充方程和解答结果都不同、补充方程和解答结果都不同。A3 3、超静定系统与其相当系统相比，二者的、超静定系统与其相当系统相比，二者的 。A A、内力相同，变形不同、内力相同，变形不同；B B、内力不同，变形相同、内力不同，变形相同；C C、内力和变形都相同、内力和变形都相同；D D、内力和变形都不同、内力和变形都不同。C4 4、用单位力法求解超静定结构的位移时，单位力、用单位力法

36、求解超静定结构的位移时，单位力 。A A、只能加在原超静定结构上、只能加在原超静定结构上；B B、只能加在基本静定系上、只能加在基本静定系上；C C、既可加在原超静定结构上，也可加在基本静定、既可加在原超静定结构上，也可加在基本静定 系上系上；D D、既不能加在原超静定结构上，也不能加在基本静、既不能加在原超静定结构上，也不能加在基本静 定系上。定系上。C5 5、用力法解超静定问题的正则方程，实质上是、用力法解超静定问题的正则方程，实质上是 。A A、静力平衡方程、静力平衡方程；B B、物理方程、物理方程；C C、变形协调方程、变形协调方程；D D、功的互等定理、功的互等定理。C6 6、在解超

37、静定系统的力法正则方程中，系数、在解超静定系统的力法正则方程中，系数ij（ij）和和ii的正负情况是的正负情况是 。A A、ij是可正可负的，是可正可负的，ii是恒正的是恒正的；B B、ij是恒正的，是恒正的，ii是可正可负的是可正可负的；C C、ij和和ii是恒正的是恒正的；D D、ij和和ii均是可正可负的均是可正可负的。A 1 1、已知两杆抗弯刚度均为已知两杆抗弯刚度均为EIEI。不计剪力和轴力对。不计剪力和轴力对刚架变形的影响。求支座反力刚架变形的影响。求支座反力。ABCDaqmX1BACDqm二、计算题二、计算题解：解：（1）解除解除B处约束，代之以多余约束力，得原结处约束，代之以多余约束力，得原结构的相当系统构的相当系统（2）列正则方程列正则方程(2)计算计算11和和1F(3)解方程，求解方程，求X1X1BACDqmmmYAXAMA(4)求求A处约束力处约束力2 2、等截面梁、等截面梁如图，求如图，求B 点的挠度。点的挠度。（3）求解求解解：解：1 1、求多余反力、求多余反力（1）建立相当系统建立相当系统（2）列正则方程列正则方程3 3、求下列超静定结构的内力。、求下列超静定结构的内力。ABCEIEI解：解：相当系统如图示相当系统如图示