大数定理和中心极限定理(蓝背景).ppt

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1、第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理计算机教研室 王晓娜E-mail:办公电话：30291325.1 大数定律大数定律定理的意义定理的意义：当当 n 足够大时，算术平均值几乎就是一个常数足够大时，算术平均值几乎就是一个常数,可以用可以用算术平均值算术平均值近似地代替近似地代替数学期望数学期望.具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望算术平均值依概率收敛于数学期望.定理定理5.2伯努里伯努里（Bernoulli）大数定理大数定理设设 nA 是是 n 次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件 A 发生的

2、次数发生的次数,p 是是每次试验中每次试验中 A 发生的概率发生的概率,则则或或在在 Bernoulli 定理的证明过程中，定理的证明过程中，Y n 是相互是相互独立的服从独立的服从 0-1分布的随机变量序列分布的随机变量序列 Xk 的的算术平均值算术平均值,Y n 依概率收敛于其数学期望依概率收敛于其数学期望 p.结果同样适用于服从其它分布的独立随结果同样适用于服从其它分布的独立随机变量序列机变量序列事件发生的频率就是事件发生的概率。事件发生的频率就是事件发生的概率。5.1中心极限定理中心极限定理林德伯格林德伯格-列维中心极限定理列维中心极限定理 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限

3、定理 棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 二项分布以正态分布为极限分布二项分布以正态分布为极限分布(Lindberg-levi)(De Moivre-Laplace)（独立同分布的中心极限定理）（独立同分布的中心极限定理）定理定理 一一标准化变量定理二（李雅普诺夫定理二（李雅普诺夫Lyapunov定理）定理）棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace）定理三定理三例例1 1 炮火轰击敌方防御工事炮火轰击敌方防御工事 100 次次,每次轰击命中的每次轰击命中的炮弹数服从同一分布炮弹数服从同一分布,其数学期望为其数学期望为 2,均方

4、差为均方差为1.5.若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求求100 次轰击次轰击(1)至少命中至少命中180发炮弹的概率发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到命中的炮弹数不到200发的概率发的概率.解解 设设 X k 表示第表示第 k 次轰击命中的炮弹数次轰击命中的炮弹数设设 X 表示表示100次轰击命中的炮弹数次轰击命中的炮弹数,则则(1)(2)例例2：P127T12 一公寓有一公寓有200户住户，一住户住户，一住户拥有汽车辆数户拥有汽车辆数X的分布律为的分布律为X012Pk 0.10.60.3问需要多少车位，才能使每辆汽车都具有一问需要多少车位，才能使每辆汽

5、车都具有一个车位的概率至少为个车位的概率至少为0.95.解：解：设设Xk为第为第k个住户拥有汽车的辆数。个住户拥有汽车的辆数。n为需为需要的车位数。要的车位数。例例4 4 某车间有某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为台车床，每台独立工作，开工率为0.6.开工时每台耗电量为开工时每台耗电量为 r 千瓦千瓦.问供问供 电所至少要供电所至少要供给这个车间多少电力给这个车间多少电力,才能以才能以 99.9%的概率保证这个的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？车间不会因供电不足而影响生产？解解 设至少要供给这个车间设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力，千瓦的电力，X 为开工的车床数为开工的

6、车床数,则则 X B(200,0.6),X N(120,48)(近似近似)由棣莫弗由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理,有有问题转化为求问题转化为求 a,使使反查标准正态函数分布表，得反查标准正态函数分布表，得X N(120,48)(近似近似)令令解得解得(千瓦千瓦)例例5 5 设有一批种子，其中良种占设有一批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与粒种子中，良种比例与 1/6 比较上下不超过比较上下不超过1%的的概率概率.解解 设设 X 表示表示6000粒种子中的良种数粒种子中的良种数,X B(6000,1/6)由棣莫弗由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理,则则有有中心极限定理的意义中心极限定理的意义 在实际问题中，若某随机变量可以看在实际问题中，若某随机变量可以看作是有相互独立的大量随机变量综合作用作是有相互独立的大量随机变量综合作用的结果，每一个因素在总的影响中的作用的结果，每一个因素在总的影响中的作用都很微小，则综合作用的结果服从正态分都很微小，则综合作用的结果服从正态分布布.作业：作业：P127 T1 T4 T13