离散型随机变量的分布列、期望与方差.ppt

《离散型随机变量的分布列、期望与方差.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散型随机变量的分布列、期望与方差.ppt（38页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习第七单元计算原理、概率与统计第第53讲讲离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的分布列、期望与方差期望与方差1.了解离散型随机变量的意义了解离散型随机变量的意义.2.会会求求某某些些简简单单的的离离散散型型随随机机变变量的分布列量的分布列.3.理理解解取取有有限限个个值值的的离离散散型型随随机机变变量量的的均均值值与与方方差差的的概概念念，能能计计算算简简单离散型随机变量的均值和方差单离散型随机变量的均值和方差.1.某某路路口口一一天天经经过过的的机机动动车车的的车车辆辆数数为为a;一一天天内内的的温温度度为为a;

2、某某单单位位的的某某部部电电话话在在单单位位时时间间内内被被呼呼叫叫的的次次数数为为a;某某投投篮篮手手在在一一次次训训练练中中，投投中中球球的的个个数数为为a.上上述问题中述问题中a是离散型随机变量的是是离散型随机变量的是()CA.B.C.D.2.设设随随机机变变量量的的概概率率分分布布列列为为P(=k)=,k=0,1,2,3，则，则c=.由由P(=0)+P(=1)+P(=2)+P(=3)=1，得，得c+=1，故，故c=.3.已知已知B(n,p),E=8,D=1.6，则，则n与与p的值分的值分别是别是()DA.100和和0.08 B.20和和0.4C.10和和0.2 D.10和和0.84.投

3、掷一颗骰子所得点数为投掷一颗骰子所得点数为,则则D=.因为因为P(=i)=,i=1,2,3,4,5,6,得得E=3.5,故故D=.5.设随机变量设随机变量的分布列为：的分布列为：则则E(5+4)=.124P0.40.30.315 E(5+4)=5E+4=5(10.4+20.3+40.3)+4=15.1.随机变量的概念随机变量的概念如如果果随随机机试试验验的的结结果果可可以以用用一一个个变变量量表表示示，那那么么这这样样的的变变量量叫叫做做 ，随随机机变变量量常常用字母用字母X,Y,，等表示等表示.(1)叫叫做离散型随机变量做离散型随机变量.(2)如如果果随随机机变变量量可可以以取取某某一一区区

4、间间内内的的一一切切值，这样的随机变量叫做值，这样的随机变量叫做 .(3)若若是是随随机机变变量量，=a+b,其其中中a、b是是常常数，则数，则也是随机变量也是随机变量.随机变量随机变量所有取值可以一一列出的随机变量所有取值可以一一列出的随机变量连续型随机变量连续型随机变量2.离散型随机变量的概率分布列离散型随机变量的概率分布列(1)概率分布列概率分布列(分布列分布列)：设离散型随机：设离散型随机变量变量可能取的值为可能取的值为x1,x2,xi,.取每一个取每一个值值xi(i=1,2,)的概率的概率P(=xi)=pi，则表，则表称为称为 ，简，简称称的分布列的分布列.x1x2xiPp1p2pi

5、随机变量随机变量的概率分布列的概率分布列 (2)二二项项分分布布：如如果果一一次次试试验验中中某某事事件件发发生生的的概概率率是是p，那那么么在在n次次独独立立重重复复试试验验中中这这个个事事件件恰恰好好发发生生k次次的的概概率率是是P(=k)=pkqn-k,其其中中k=0,1,2,n,q=1-p，我我们们称称这这样样的的随随机机变变量量服服从从 ,记记作作B(n,p)，其其中中n,p为参数，并称为参数，并称p为成功概率为成功概率.(3)两点分布：若随机变量两点分布：若随机变量X的分布列是的分布列是 ,像这样的分布列称为两点分布列像这样的分布列称为两点分布列.如如果果随随机机变变量量的的分分布

6、布列列为为 ,就就称称服从两点分布服从两点分布,且称且称p=P(x=1)为成功概率为成功概率.二项分布二项分布X01P1-PP两点分布列两点分布列 (4)超超几几何何分分布布：在在含含有有M件件次次品品的的N件件产产品品中中，任任取取n件件，其其中中恰恰有有件件次次品品，则则事事件件=k发发生生的的概概率率为为P(=k)=,k=0,1,2,m,其其中中m=minM,n,且且nN，MN，n,M,NN*.称分布列称分布列 为为 .如如果果随随机机变变量量的的分分布布列列为为超超几何分布列几何分布列,则称随机变量则称随机变量服从超几何分布服从超几何分布.01MP超几何分布列超几何分布列3.离散型随机

7、变量的分布列的性质离散型随机变量的分布列的性质 .4.离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值若离散型随机变量若离散型随机变量的分布列为：的分布列为：则称则称E=x1p1+x2p2+xnpn+为为 .离离散散型型随随机机变变量量的的均均值值反反映映了了离离散散型型随随机机变量取值的平均水平变量取值的平均水平.Pi0,P1+P2+Pi+=1(i=1,2,3,)x1x2xnPp1p2pn随机随机变量变量的均值或数学期望的均值或数学期望5.离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差称称D=(x1-E)2p1+(x2-E)2p2+(xn-E)2pn+为为随随机机变变量量的的方方差差，其其算算术术平平方方

8、根根D为随机变量为随机变量的的 ,记作记作.离离散散型型随随机机变变量量的的方方差差反反映映了了离离散散型型随随机机变变量量取取值值相相对对于于均均值值的的平平均均波波动动大大小小（即即取取值的稳定性）值的稳定性）.标准差标准差6.性质性质(1)E(c)=c,E(a+b)=(a、b、c为为常常数数);(2)设设a、b为为常常数数,则则D(a+b)=(a、b为常数为常数);(3)D=;(4)若若 服服 从从 二二 项项 分分 布布，即即 B(n,p),则则 E=,D=;(5)若若服服从从两两点点分分布布,则则E=,D=.1111aE+b1313a2D14141212E(2)-(E)21515np

9、np(1-p)16161717pp(1-p)题型一题型一 求随机变量的分布列求随机变量的分布列例例1 一一批批零零件件有有9个个合合格格品品，3个个不不合合格格品品，安安装装机机器器时时，从从中中任任取取一一个个，若若取取出出不不合合格格品品不不再再放放回回去去，求求在在取取得得合合格格品品以以前前已已取取出出的的不不合合格格品品数数的的分布列分布列.设随机变量设随机变量表示在取得合格品以前表示在取得合格品以前已取出的不合格品数，则已取出的不合格品数，则=0,1,2,3,可得可得P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=1-=,故故的分布列为：的分布列为：0123P 运用分布列中的

10、性质运用分布列中的性质P1+P2+P3+P4=1,可以简化运算过程可以简化运算过程.袋袋中中有有3个个白白球球，3个个红红球球和和5个个黄黄球球，从从中中抽抽取取3个个球球，若若取取得得一一个个白白球球得得1分分，取取得得1个个红红球球扣扣1分分，取取得得一一个个黄黄球球得得0分，求所得分数分，求所得分数的概率分布列的概率分布列.由题意得由题意得=-3,-2,-1,0,1,2,3,又又P(=-3)=,P(=-2)=,P(=-1)=,P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=，P(=3)=,则所求分布列为：则所求分布列为：-3-2-10123P 对对每每一一个个的的取取值值应应分分析析透透彻彻,考

11、考虑虑完完全全,如如=-1时时,可可能能取取到到一一个个红红球球,两两个个黄黄球球,也可能取到两个红球和一个白球等也可能取到两个红球和一个白球等.题型二题型二 求随机变量的期望、方差求随机变量的期望、方差例例2 某运动员投篮的命中率为某运动员投篮的命中率为p=0.6.(1)求一次投篮时命中次数求一次投篮时命中次数的均值的均值;方差方差;(2)求重复求重复5次投篮时次投篮时,命中次数命中次数的均值与方差的均值与方差.(1)投篮一次，命中次数投篮一次，命中次数的分布列为：的分布列为：01P0.40.6则则E=00.4+10.6=0.6,D=(0-0.6)20.4+(1-0.6)20.6=0.24.

12、(2)重复重复5次投篮，命中次数次投篮，命中次数服从二项分服从二项分布，即布，即B(5,0.6)，故故E=50.6=3.D=50.60.4=1.2.求求离离散散型型随随机机变变量量的的均均值值和和方方差差，首先应明确随机变量的分布列首先应明确随机变量的分布列.题型三题型三 期望、方差的实际应用期望、方差的实际应用例例3 有有甲甲、乙乙两两个个建建材材厂厂,都都想想投投标标参参加加某某重重点点建建设设,为为了了对对重重点点建建设设负负责责,政政府府到到两两个个建建材材厂厂抽抽样样检检查查,他他们们从从中中各各抽抽取取等等量的样品检查他们的抗拉强度指数如下：量的样品检查他们的抗拉强度指数如下：11

13、0120125130135P0.10.20.40.10.2100115125130145P0.10.20.40.10.2 其其中中和和分分别别表表示示甲甲、乙乙两两建建材材厂厂材材料料的的抗抗拉拉强强度度，在在使使用用时时要要求求抗抗拉拉强强度度在在不不低低于于120的的条条件件下下，比比较较甲甲、乙乙两两建建材厂材料哪一种稳定性较好材厂材料哪一种稳定性较好.首首先先看看两两建建材材厂厂的的材材料料的的抗抗拉拉强强度度的的期望，然后再比较他们的方差期望，然后再比较他们的方差.E=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125,E=1000.1+1150.2+125

14、0.4+1300.1+1450.2=125,D=0.1(110-125)2+0.2(120-125)2+0.4(125-125)2+0.1(130-125)2+0.2(135-125)2=50,D=0.1(100-125)2+0.2(115-125)2+0.4(125-125)2+0.1(130-125)2+0.2(145-125)2=165.由由于于E=E,而而DD，故故甲甲建建材材厂厂的的材材料稳定性较好料稳定性较好.离离散散型型随随机机变变量量的的期期望望和和方方差差都都是是随随机机变变量量的的特特征征数数，期期望望反反映映了了随随机机变变量量的的平平均均取取值值，方方差差与与标标准准差

15、差都都反反映映了了随随机机变变量量取取值值的的稳稳定定与与波波动动、集集中中与与离离散散的的程程度度.在在进进行行决决策策时时，一一般般先先根根据据期期望望值值的的大大小小来来决决定定，当当期期望望值值相相同同或相差不大时，再去利用方差决策或相差不大时，再去利用方差决策.某某工工厂厂每每月月生生产产某某种种产产品品三三件件,经经检检测测发发现现，工工厂厂生生产产该该产产品品的的合合格格率率为为45.已已知知生生产产一一件件合合格格品品能能盈盈利利25万万元元，生生产产一一件件次次品品将将亏亏损损10万万元元.假假设设该该产产品品任任何何两两件件之之间间合合格格与与否相互之间没有影响否相互之间没

16、有影响.(1)求求工工厂厂每每月月盈盈利利(万万元元)的的所所有有可可能能的的取值取值;(2)若若该该工工厂厂制制定定了了每每月月盈盈利利额额不不低低于于40万元的目标万元的目标,求该工厂达到盈利目标的概率求该工厂达到盈利目标的概率;(3)求工厂每月盈利额求工厂每月盈利额的数学期望的数学期望.(1)工工厂厂每每月月生生产产的的三三件件产产品品中中，合合格格产产品品的的件件数数的的所所有有可可能能的的结结果果是是：0,1,2,3,则则相相应应的的月月盈盈利利额额的的取取值值是是=-30,5,40,75.(2)P(=-30)=()3=,P(=)=()2 =,P(=40)=()2=,P(=75)=(

17、)3=,月盈利额月盈利额的分布列是：的分布列是：所以所以P(40)=P(=40)+P(=75)=.所以该工厂达到盈利目标的概率为所以该工厂达到盈利目标的概率为 .(3)由分布列得，月盈利额的数学期望是：由分布列得，月盈利额的数学期望是：E=(-30)+5 +40 +75 =54.-3054075P 求求离离散散型型随随机机变变量量分分布布列列时时要要注注意意两两个个问问题题：一一是是求求出出随随机机变变量量所所有有可可能能的的值值；二二是是求求出出取取每每一一个个值值时时的的概概率率.求求随随机机变变量量的的分分布布列列，关关键键是是概概率率类类型型的的确确定定与与转转化化，如如古古典典概概型

18、型、互互斥斥事事件件的的概概率率、相相互互独独立立事事件件同同时时发发生生的的概概率率、n次次独独立立重重复复试试验验有有k次次发发生生的的概概率率等等.如如本本题题就就要要转转化化成成“n次次独独立立重重复复试试验验有有k次发生的概率次发生的概率”问题问题.1.求求离离散散型型随随机机变变量量的的概概率率分分布布列列的的步步骤骤:(1)求出随机变量求出随机变量的所有可能取值；的所有可能取值；(2)求出各取值的概率；求出各取值的概率；(3)列成表格列成表格.2.注注意意用用分分布布列列的的性性质质P1+P2+Pi+=1进行验证进行验证.3.期期望望和和方方差差是是离离散散型型随随机机变变量量的

19、的两两个个最最重重要要的的特特征征数数.有有时时判判断断某某事事物物的的优优劣劣，计计算算其其期期望望就就能能区区别别出出来来，而而有有时时仅仅靠靠期期望望不不能能完完善善地地说说明明随随机机变变量量的的分分布布特特征征，还还需需研研究究其方差其方差.4.随随机机变变量量是是可可变变的的,可可取取不不同同值值,而而期期望望E是不变的是不变的,它描述它描述取值的平均状态取值的平均状态.5.方方差差D表表示示随随机机变变量量对对期期望望E的的平平均均偏偏离离程程度度,D越越大大，表表明明平平均均偏偏离离程程度度越越大大,说说明明的的取取值值越越分分散散,反反之之,D越越小小,的的取取值值越越集集中

20、中在在E附近附近.学例1 (2008陕陕西西卷卷)某某射射击击测测试试规规则则为为：每每人人最最多多射射击击3次次,击击中中目目标标即即终终止止射射击击；第第i次次击击中中目目标标得得4-i(i=1,2,3)分分,3次次均均未未击击中中目目标标得得0分分.已已知知某某射射手手每每次次击击中中目目标标的的概率为概率为0.8,且各次射击结果互不影响且各次射击结果互不影响.(1)求该射手恰好射击两次的概率；求该射手恰好射击两次的概率；(2)该该射射手手的的得得分分记记为为,求求随随机机变变量量的的分分布列及数学期望布列及数学期望.(1)设该射手第设该射手第i次击中目标的事件为次击中目标的事件为Ai(

21、i=1,2,3),则则P(Ai)=0.8,P()=0.2,P(A2)=P()P(A2)=0.20.8=0.16.(2)可能取的值为可能取的值为0,1,2,3.的分布列为的分布列为E=00.008+10.032+20.16+30.8 =2.752.0123p0.0080.0320.160.8学例2 (2008广广东东卷卷)随随机机抽抽取取某某厂厂的的某某种种产产品品200件件，经经质质检检，其其中中有有一一等等品品126件件、二二等等品品50件件、三三等等品品20件件、次次品品4件件.已已知知生生产产1件件一一、二二、三三等等品品获获得得的的利利润润分分别别为为6万万元元、2万万元元、1万万元元

22、，而而1件件次次品品亏亏损损2万万元元.设设1件件产品的利润为产品的利润为（单位：万元）（单位：万元）.(1)求求的分布列；的分布列；(2)求求1件产品的平均利润件产品的平均利润(即即的数学期望的数学期望);(3)经经技技术术革革新新后后,仍仍有有四四个个等等级级的的产产品品,但但次次品品率率降降为为1,一一等等品品率率提提高高为为70.如如果果此此时时要要求求1件件产产品品的的平平均均利利润润不不小小于于4.73万万元元,则则三等品率最多是多少？三等品率最多是多少？(1)的可能取值为的可能取值为-2、1、2、6,P(=-2)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=6)=.的分布列为：的分布列为

23、：(2)的数学期望为：的数学期望为：E=(-2)+1 +2 +6 =4.34,即件产品的平均利润是即件产品的平均利润是4.34万元万元.-2126P4200(3)技术革新后技术革新后的可能取值仍为的可能取值仍为-2、1、2、6，但，但的分布列为：的分布列为：其中其中x、y分别为三、二等品率，根据分布列分别为三、二等品率，根据分布列的性质有：的性质有：x+y=1-=,-2126Pxy所以技术革新后所以技术革新后1件产品的平均利润为：件产品的平均利润为：E(-2)+1x+2y+6 =-x.要使件产品的平均利润不小于要使件产品的平均利润不小于4.73万元，即万元，即E4.73,由由 -x4.73得得x .即要使技术革新后即要使技术革新后1件产品平均利润不小于件产品平均利润不小于4.73万元，三等产品率最多为万元，三等产品率最多为3.本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来