拉普拉斯变换定义与收敛域.ppt

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1、X第第第第 1 1 页页页页 第4章 连续时间系统的复频域分析1.1.拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义2.2.拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质3.3.系统复频域系统复频域零极点分析零极点分析4.4.系统复频域稳定性分析系统复频域稳定性分析X第第第第 2 2 页页页页 第1节 拉普拉斯变换定义1.1.引言引言2.2.从傅立叶变换到拉普拉斯变换从傅立叶变换到拉普拉斯变换3.3.单边拉普拉斯变换定义单边拉普拉斯变换定义(收敛域收敛域)4.4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系傅立叶变换与普拉斯变换的关系X第第第第 3 3 页页页页1.引言引言?问题问题；为什么还需要引入拉普拉斯变换；为什么还需要引

2、入拉普拉斯变换？与傅立叶变换类似，拉普拉斯变换是研究线性系与傅立叶变换类似，拉普拉斯变换是研究线性系统的一种有效而重要的工具。把时域中的统的一种有效而重要的工具。把时域中的常系数常系数线性微分方程线性微分方程变换为复频域中的变换为复频域中的常系数线性代数常系数线性代数方程方程。傅立叶变换与拉普拉斯变换对傅立叶变换与拉普拉斯变换对LTILTI系统的分析都系统的分析都可称为变换域分析（可称为变换域分析（与时域分析对应）与时域分析对应）X第第第第 4 4 页页页页引入Laplace变换的必要性Fourier变换的局限性：变换的局限性：1）不是所有信号（如正指数信号）都满足狄里赫利条件）不是所有信号（

3、如正指数信号）都满足狄里赫利条件 （信号（信号 x(t)必须绝对可积）而存在傅立叶变换。但是在必须绝对可积）而存在傅立叶变换。但是在 满足收敛条件下存在拉普拉斯拉斯变换；满足收敛条件下存在拉普拉斯拉斯变换；2）可以简化某些变换形式或者运算过程。）可以简化某些变换形式或者运算过程。（如系统频域分析中的奇异信号）（如系统频域分析中的奇异信号）X第第第第 5 5 页页页页引入Laplace变换的必要性Laplace变换的优点：1)变换简单且容易计算；变换简单且容易计算；2)可应用复频率的概念具有更普遍的意义；可应用复频率的概念具有更普遍的意义；3)可处理的信号范围更广；可处理的信号范围更广；4)在微

4、分方程的求解中变微分运算为代数运算；在微分方程的求解中变微分运算为代数运算；5)自动引入初始条件，直接求出全解。自动引入初始条件，直接求出全解。X第第第第 6 6 页页页页引入Laplace变换的必要性X第第第第 7 7 页页页页1.1.引言引言2.2.从傅立叶变换到拉普拉斯变换从傅立叶变换到拉普拉斯变换3.3.单边拉普拉斯变换定义单边拉普拉斯变换定义(收敛域收敛域)4.4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系傅立叶变换与普拉斯变换的关系X第第第第 8 8 页页页页2从傅立叶变换到拉普拉斯变换 问题的提出：不是所有信号（如指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 必须绝对可积）而存在傅立叶变换.问题的提出：

5、不是所有信号（如指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 必须绝对可积）而存在傅立叶变换.问题的提出 不是所有信号）都满足狄里赫利条件（信号 可选的方案 则可以对拉普拉斯拉斯变换做如下的理解:X第第第第 9 9 页页页页 问题的提出：不是所有信号（如指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 问题的提出：不是所有信号（如指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 不是所有信号则可以对拉普拉斯变换做如下的理解:具体推导如下：X第第第第 1 10 0 页页页页 问题的提出：不是所有信号（如指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 问题的提出：不是所有信号（如指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 不是所有信号拉普拉斯变换具体推导

6、-1设有信号f(t)e-t(为实数)，并且能选择适当的使f(t)e-t绝对可积，则该信号的傅里叶变换存在。若用F(+j)表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义，则有 根据傅里叶逆变换的定义，则 X第第第第 1 11 1 页页页页 问题的提出：不是所有信号（如指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 问题的提出：不是所有信号（如指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 不是所有信号拉普拉斯变换具体推导-2上式两边乘以et，得 双边带Laplace变换X第第第第 1 12 2 页页页页 双双边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换的的收收敛敛域域比比较较复复杂杂，并并且且信信号号与与其其双边拉普拉斯变换不一一对应，

7、这就使其应用受到限制。双边拉普拉斯变换不一一对应，这就使其应用受到限制。实实际际中中的的信信号号都都是是有有起起始始时时刻刻的的(tt0时时f(t)=0)，若若起起始始时时刻刻t0=0,则则f(t)为为因因果果信信号号。因因果果信信号号的的双双边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换的的积积分分下下限限为为“0”，该该变变换换称称为为单单边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换。单单边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换收收敛敛域域简简单单，计计算算方方便便，线线性性连连续续系系统统的的复复频频域域分析主要使用单边拉普拉斯变换。分析主要使用单边拉普拉斯变换。X第第第第 1 13 3 页页页页X第第第第 1 14 4 页页页页1

8、.1.引言引言2.2.从傅立叶变换到拉普拉斯变换从傅立叶变换到拉普拉斯变换3.3.单边拉普拉斯变换定义单边拉普拉斯变换定义(收敛域收敛域)4.4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系傅立叶变换与普拉斯变换的关系5.复频域系统函数复频域系统函数H(S)X第第第第 1 15 5 页页页页3.单边拉普拉斯变换定义其中积分下标取0(0-)，是为了将冲激函数(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。重要性质重要性质-唯一性唯一性 X第第第第 1 16 6 页页页页重要性质重要性质-唯一性唯一性 正是这个性质，才可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。？问题；

9、收敛域如何确定？X第第第第 1 17 7 页页页页Laplace变换的收敛域变换的收敛域与双边拉普拉斯变换存在的条件类似，若与双边拉普拉斯变换存在的条件类似，若f(t)满足满足 则则f(t)的的单单边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换F(s)存存在在。使使F(s)存存在在的的S复复平平面面上上s的取值区域称为的取值区域称为F(s)的的收敛域收敛域。举例：如何确定收敛域举例：如何确定收敛域X第第第第 1 18 8 页页页页举例：如何确定收敛域举例：如何确定收敛域X第第第第 1 19 9 页页页页Laplace变换的收敛域变换的收敛域单边拉普拉斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同，即单边拉

10、普拉斯变换的收敛域为平行于j轴的一条直线的右边区域，可表示为 X第第第第 2 20 0 页页页页常用信号的单边拉普拉斯变换常用信号的单边拉普拉斯变换-1X第第第第 2 21 1 页页页页常用信号的单边拉普拉斯变换常用信号的单边拉普拉斯变换-2X第第第第 2 22 2 页页页页常用信号的单边拉普拉斯变换常用信号的单边拉普拉斯变换-3X第第第第 2 23 3 页页页页单边拉普拉斯变换对单边拉普拉斯变换对-1X第第第第 2 24 4 页页页页单边拉普拉斯变换对单边拉普拉斯变换对-2X第第第第 2 25 5 页页页页单边拉普拉斯变换对单边拉普拉斯变换对-3X第第第第 2 26 6 页页页页1.1.引言

11、引言2.2.从傅立叶变换到拉普拉斯变换从傅立叶变换到拉普拉斯变换3.3.单边拉普拉斯变换定义单边拉普拉斯变换定义(收敛域收敛域)4.4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系傅立叶变换与普拉斯变换的关系X第第第第 2 27 7 页页页页4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系目的：目的：进一步加深对变换域分析的理解进一步加深对变换域分析的理解?问题：问题：如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换？X第第第第 2 28 8 页页页页?问题：问题：如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换？X第第第第 2 29 9 页页页页?问题：问题：如何从已

12、知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换？X第第第第 3 30 0 页页页页?问题：问题：如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换？X第第第第 3 31 1 页页页页?问题：问题：如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换？X第第第第 3 32 2 页页页页从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换重点重点；关注；关注在这种条件下：在这种条件下：Laplace变换变换可以看成是可以看成是Fourier变换变换从从频域频域向向复频域复频域的扩展。的扩展。X第第第第 3 33 3 页页页页更一般地：