数学竞赛专题函数奇偶性和单调性.ppt

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1、11.11.已知函数已知函数f f(x x)的定义域为的定义域为N N，且对任意正整数，且对任意正整数x x，都有都有f f(x x)f f(x x1)1)f f(x x1)1)若若f f(0)(0)20042004，求，求f f(2004)(2004)解：因为解：因为f f(x x)f f(x x1)1)f f(x x1)1)所以所以f f(x x1)1)f f(x x)f f(x x2)2)两式相加得两式相加得0 0f f(x x1)1)f(xf(x2)2)即：即：f f(x x3)3)f f(x x)f f(x x6)6)f f(x x)12设函数f(x)对任一实数x满足f(2-x)=f

2、(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且f(0)=0。求证：f(x)在-30，30上至少有13个零点且f(x)是以10为周期的函数。解f(x)关于x=2和x=7对称。f(4)f(2+2)f(22)f(0)0,f(10)f(7+3)f(73)f(4)0，于是（0，10上至少有两个零点。f(x10)f(73x)f(73x)f(4x)f(22x)f(22x)f(x)，f(x)以10为周期。f(30)=f(30310)=f(0)=0综上，f(x)在30，30上至少有13个零点 13函数f(x)=的图象的对称轴方程为x=2，则常数a=4 .莆田四中 许沐英这里主要研究运用函数的概念及函数的性质这里主要

3、研究运用函数的概念及函数的性质解题解题,函数的性质通常是指函数的定义域、函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，对称性等等，在解决与函数有关的在解决与函数有关的(如方程、如方程、不等式等不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的达到解决问题的目的.关于函数的有关性质，关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材复复习习,这里以例题讲解应用这里以例题讲解

4、应用一一.函数奇偶性的定义：函数奇偶性的定义：如果对于函数如果对于函数f（x）的定义域内任意的一个）的定义域内任意的一个x，都有：，都有：（1）f（x）=f（x），则称），则称 y=f（x）为奇函数）为奇函数（2）f（x）=f（x），则称），则称 y=f（x）为偶函数）为偶函数例例1：若：若 f(x)是奇函数，当是奇函数，当x0时，时，f(x)=x(43x),求当求当x时时,f(x)的解析式的解析式【解法【解法1 1】x x0 0时，时，f f(x x)=)=x x(4(43 3x x)，在其上取三点在其上取三点P P1 1（0 0，0 0）、）、则它们关于原点的对称点分别是则它们关于原点的对

5、称点分别是Q Q1 1(0(0，0)0)，设设x x时，时，34)32()(2-+=xaxf Q Q2 2在其上，在其上，在其上，在其上，解之，得解之，得解之，得解之，得a a=3=3，x x时，时，时，时，034)3234(2=-+-a)43(34)32(3)(2+=-+=xxxxf例例1：若：若 f(x)是奇函数，当是奇函数，当x x0 0时，时，时，时，f f(x x)=)=x x(4(43 3x x),),求当求当x x时时,f(x)的解析式的解析式【解法【解法2】设设x0，则，则x0 f(x)=(x)(4+3x)f(x)是奇函数，是奇函数，f(x)=f(x)x0时，时，f(x)=f(

6、x)=x(4+3x)例例例例2 2 已知函数已知函数已知函数已知函数 f f(x x)对任意实数对任意实数对任意实数对任意实数a a，b b都有都有 ，且，且，且，且f f（0 0）00，则，则，则，则f f(x x)是是是是 （A A）奇函数非偶函数）奇函数非偶函数）奇函数非偶函数）奇函数非偶函数（B B）偶函数非奇函数）偶函数非奇函数）偶函数非奇函数）偶函数非奇函数（C C）是奇函数也是偶函数）是奇函数也是偶函数）是奇函数也是偶函数）是奇函数也是偶函数（D D）既非奇函数也非偶函数）既非奇函数也非偶函数）既非奇函数也非偶函数）既非奇函数也非偶函数 例例例例3 3 函数函数函数函数y y=f

7、 f(x x)在在在在(-,0 (-,0 上是减函数，而函数上是减函数，而函数上是减函数，而函数上是减函数，而函数 y y=f f(x x+1)+1)是偶函数设是偶函数设是偶函数设是偶函数设 ，b b=f f(3)(3)，c c=f f()那么那么那么那么a a，b b，c c的大小关系是的大小关系是的大小关系是的大小关系是_._.【解】【解】【解】【解】,c c=f f()y y=f f(x x+1)+1)是偶函数是偶函数是偶函数是偶函数 y y=f f(x x)的图像关于的图像关于的图像关于的图像关于x x=1=1对称，对称，对称，对称，于是由于是由于是由于是由y y=f f(x x)在在

8、在在(-,0(-,0上递减知，上递减知，上递减知，上递减知，f f(x x)在在在在2,+)2,+)上递增上递增上递增上递增 f f(2)=2)=f f(4)(4)而而而而 2 23 3 4 4 f f(3)(3)f f()f f(4)(4)，即，即，即，即b bc ca a 例例4.设设f(x)是是R上的奇函数，且上的奇函数，且f(x3)f(x)，当，当0 x 时时，f(x)x，则则f(2003)()A.1B.0C.1D.2003解：解：f(x6)f(x33)f(x3)f(x)f(x)的周期的周期为为6f(2003)f(63351)f(1)f1用定义证明函数的单调性的步骤用定义证明函数的单调

9、性的步骤:(1).设设x1x2,并是某个区间上任意二并是某个区间上任意二值值;(2).作差作差 f(x1)f(x2);(3).判判断断 f(x1)f(x2)的符的符号号:(4).作作结论结论.分解因式分解因式,得出因式得出因式x1x2.配成非负实数和配成非负实数和.方法小结方法小结二二.函数的单调性函数的单调性 例例例例5 5 已已已已知知知知函函函函数数数数 ，判判判判断断断断该该该该函函函函数数数数在在在在区间区间区间区间 上的单调性，并说明理由上的单调性，并说明理由上的单调性，并说明理由上的单调性，并说明理由【解法【解法1】设设 11)(212112+-+-=xxxxxx22112111

10、)()(xxxxxfxf+-+=-+-=111)(211212xxxxxx f(x1)f(x2)故函数故函数 是减函数是减函数 111112121122+xxxxxxxx1111212 +-xxxxxxxf-+=1)(【解法【解法2】x0时，时，和和 都是增函数，都是增函数，也是增函数，也是增函数，从而从而 是是 上的减函数上的减函数xxxxy+=-+=111xx+1xxy+=11)+,0例例例例6 6 填空填空填空填空（1 1）函数）函数）函数）函数 的递增区间是的递增区间是的递增区间是的递增区间是_（2 2）函数）函数）函数）函数 递减区间是递减区间是递减区间是递减区间是_ 在在在在y y

11、轴轴轴轴左左左左侧侧侧侧，增增增增减减减减的的的的转转转转折折折折点点点点是是是是x x=2 2，且且且且先先先先减减减减后增，故后增，故后增，故后增，故-2,0-2,0 是递增区间；是递增区间；是递增区间；是递增区间；在在在在y y轴右侧，增减的转折点是轴右侧，增减的转折点是轴右侧，增减的转折点是轴右侧，增减的转折点是x x=2=2，且先减后，且先减后，且先减后，且先减后增，故增，故增，故增，故2,+)2,+)是递增区间是递增区间是递增区间是递增区间 654321-1-2-3-4-5-6-7-6-4-224例例7.已知已知(3xy)2001x20014xy0，求求4xy的的值值.解：构造函数

12、解：构造函数f(x)x2001x，则则 f(3xy)f(x)0注意到注意到f(x)是奇函数且是奇函数且为为R上的增函数，上的增函数，所以所以 3xyx 4xy0例例8解方程：解方程：ln(x)ln(2x)3x0解：构造函数解：构造函数f(x)ln(x)x则则由已知得：由已知得：f(x)f(2x)0不不难难知，知，f(x)为为奇函数，且在奇函数，且在R上是增函数上是增函数(证证明略明略)所以所以f(x)f(2x)f(2x)由函数的由函数的单调单调性，得性，得x2x所以原方程的解所以原方程的解为为x0思考思考1,2,31,2,3练习练习函数方程函数方程与迭代与迭代思考思考1答案答案思考思考3答案答案3答案答案4答案答案