材料科学研究中常用的数值分析方法.ppt

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1、第二章第二章材料科学研究中常用的数值材料科学研究中常用的数值分析方法分析方法典型模拟方法及所对应的模拟尺度典型模拟方法及所对应的模拟尺度 材料模拟技术中对应的时间空间尺度在科学技术及工程领域，许多力学及物理问题已经得到了反映其规律的基本方程（微分方程）和相应的定解条件。但只有少数性质较简单、边界较规整的问题能通过精确的数值计算得到解析解。n 解决此类问题的通常途径：n对方程及边界条件加以简化，得到问题在简化条件下的解答；（只在少数情况下有效，因为过多的简化会引起模型失真，导致较大的误差，甚至得到错误的结论）n采用数值解法，得到模型的数值解。随着计算机技术的发展和应用，数值分析方法已经成为求解科

2、学技术问题的主要工具。n目前，常用的数值分析方法大致分为两大类：有限差分法和有限元法。n直接法和间接法。n直接法：精度高，重复工作量小，但编制计算程序复杂，对计算机资源占用较多。n间接法：即迭代法。计算程序简单，占用内存小，但重复工作量大，计算精度取决于迭代次数。第一节线性方程组的数值解法一、直接法：可经过有限次运算，求得在一定舍入误差内的精确解。1、高斯顺序消去法 解线性方程组AXb，对增广矩阵A：b顺序作初等行变换，把矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，从而得到线性方程组的解。要求作初等行变换消元过程中，aii(i)0.x1=1,x2=2,x3=3.课堂作业：解：X(1，1，1)T 2、高斯列

3、主元消去法 课课 后后 作作 业业（高斯列主元消去法）（高斯列主元消去法）在四位十进制的限制下，分别用顺序高斯消去法和列主元消去法求解下列线性方程组。用顺序消去法得：x1=-104.0,x2=100.0,x3=5.546用列主元消去法得：x1=17.46，x2=-45.77,x3=5.546 3、追赶法方程组的解可用递推公式表示为：课堂作业（追赶法）答案：x1=0.2,x2=0.2,x3=-0.5,x4=0.8,x5=0.3 二、间接法（迭代法）二、间接法（迭代法）直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足。迭代法

4、则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组。对于方程组 AX=b，构造一个x(k)值，代入方程组，得出x(k+1)值，再不断迭代，使迭代值收敛于方程组的精确解。这个逼近的过程称为迭代法。迭代法分为：简单迭代法；高斯赛德尔迭代法；超松弛法等。1、雅可比(Jacobi)迭代法（简单）课堂练习课堂练习课课后后作作业业用Jacobi迭代法求解方程组，要求解为：x10.231087，x20.147055,x30.508393 2、高斯塞德尔（Gauss-Seidel)迭代法用Gause-Seidel迭代法求解方程组，要求课 后 作 业3、超

5、松弛迭代法课课后后作作业业试用1.25的超松弛迭代法求解方程组，要求解为，x11.50005，x23.33331,x3-2.16667 31/24ElectronicAtomicContinuum计算材料科学中的多尺度问题计算材料科学中的多尺度问题Time(s)Length(m)10-1410-710010710-910-610-3100Microstructual应力应力应变应变温度温度流场流场相分数相分数晶粒尺寸晶粒尺寸组织形貌组织形貌浓度场浓度场晶体结构晶体结构缺陷运动缺陷运动有限差分方法是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代

6、替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。第二节第二节 有限差分法（有限差分法（FDM）差分的概念：某物理量的增量。n1、向前差分：n(1)一阶差分:n(2)二阶差分：n一般的m阶差分用m-1阶差分定义：n称为向前差分算子。2、向后差分：（1）一阶差分：（2）二阶差分：m阶差分为 称为向后差分算子。3、中心差分表示中心差分算子。二阶中心差分：4、差商：为函数差分与自变量

7、差分之比。、差商：为函数差分与自变量差分之比。l概述 实质是以有限差分代替无限微分、以差分代数方程代替微分方程、以数值计算代替数学推导的过程，将连续函数离散化，以有限的、离散的数值代替连续的函数分布。有限差分法的主要步骤：有限差分法的主要步骤：n差分方程的建立在建立差分方程前，均需对所求解区域进行离散化。1、合理选择网格布局及步长将自变量x,y分别沿x,y轴方向离散，形成离散化网格。网格交点称为节点（或结点），依次将节点编号。i,j+1i,ji-1,ji+1,ji,j-1xy2、将微分方程转化为差分方程n实际上是以差分代替微分，以差商代替微商，是以有限小量代替无限微量的近似化过程。有限差分法计

8、算的误差分析nuiu(x)n将离散化的i+1,i-1结点的函数值ui+1,ui-1分别按Talor级数展开：例：利用差分法求解方程v对此高阶方程组求解，即可得各结点的数值解。第三节有限元法nfiniteelementmethodn有限元分析技术是最重要的工程分析技术之一。n用有限个单元将连续体离散化离散化，是通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就能得到有限元法的数值解。n在有限小的单元内设定试探函数。n基本理论要用到数学、力学方面的各种知识。n有限元法的发

9、展离不开计算机。一、有限元法的基本概念直接刚度法n只能处理一些比较简单的实际问题，但对理解和明确有限元法的一些物理概念很有帮助。n例：杆的一端固定，另一端承受P1000N载荷，顶部宽w1=2cm，底部宽w2=1cm，厚度为t=0.125cm，长度L=10cm，弹性模量E=10.4106MPa。分析杆沿长度分析不同位置的变形情况，杆的质量忽略不计。n将求解区域离散化，划分为5个结点和4个单元，每个单元的面积为组成该单元的结点处面积的平均值。n长度为L，具有均一截面A的固体单元在受到外力F时，1、前处理过程广义胡克定律：广义胡克定律：静态平衡要求作用在每个结点上的力的总和为零，得到以下方程：将以上

10、方程写成矩阵形式，且R1=P。2、求解阶段施加边界条件，由于杆的顶端固定，u10，求解以上方程组，即可得到各结点位移。3、后处理阶段利用结点位移，可求解各个单元中的平均正应力及应变。二、有限元程序的结构和特点v有限元法的实现必须通过计算机。全部有限元法的计算原理和数值方法集中反映在有限元法的程序中。v有限元法程序总体分为三个组成部分：前处理部分、有限元分析本体程序、后处理部分。v一个使用方便的有限元分析程序不仅要有可供选择输出内容的文本文件，还需要结果的图形显示。有限元方法是求解偏微分方程的一种数值方法有限元方法是求解偏微分方程的一种数值方法偏微分方程是描述客观世界数量关系的一种重要的数学方法

11、。大量的工偏微分方程是描述客观世界数量关系的一种重要的数学方法。大量的工程、科学、技术和生产问题常常归结为微分方程的求解。以前只能采用解析程、科学、技术和生产问题常常归结为微分方程的求解。以前只能采用解析法求解微分方程，远远不能满足实际的需要。有限元方法原则上可以求解任法求解微分方程，远远不能满足实际的需要。有限元方法原则上可以求解任何复杂的偏微分方程和任何复杂的求解区域问题。何复杂的偏微分方程和任何复杂的求解区域问题。有限元软件是高科技大厦的重要支柱有限元软件是高科技大厦的重要支柱 有限元软件适用面广，通用性强。随着科学技术和生产的迅速发展，有有限元软件适用面广，通用性强。随着科学技术和生产

12、的迅速发展，有限元方法的应用越来越广泛，今天各企业、设计、科研部门已普遍采用有限限元方法的应用越来越广泛，今天各企业、设计、科研部门已普遍采用有限元方法进行生产过程的数值模拟、科研的数值试验和产品的优化设计。元方法进行生产过程的数值模拟、科研的数值试验和产品的优化设计。有限元方法有限元方法读输入数据、空间分配、读输入数据、空间分配、数据检查数据检查施加载荷增量施加载荷增量计算等效节点载荷矢量计算等效节点载荷矢量组集矩阵组集矩阵矩阵求解矩阵求解应力计算应力计算收敛收敛结果输出结果输出下一增量步下一增量步停止停止是是否否迭迭代代循循环环时间时间步循步循环环否否有限元求解的步骤有限元求解的步骤Two

13、 way flow of statistical information11e21e41e61e9EngineeringLength Scales()PhysicsChemistryMaterials0AInformation flowStatistical filterElectronicNanoscaleMicroscaleMesoscaleContinuum材料的多尺度模拟材料的多尺度模拟未来未来发展展趋势多尺度模多尺度模拟54应用领域应用领域1电子行业电子行业按键舒适性分析按键舒适性分析电视机线性动力学分析电视机线性动力学分析热传导和热应力问题分析热传导和热应力问题分析共晶焊点热疲劳失

14、效分析共晶焊点热疲劳失效分析复杂几何体的冲击损坏复杂几何体的冲击损坏断裂和材料失效分析断裂和材料失效分析应用领域应用领域2水工大坝水工大坝大坝施工过程模拟大坝施工过程模拟蓄水模拟蓄水模拟快速降水模拟快速降水模拟抗震模拟抗震模拟断裂和材料失效分析断裂和材料失效分析应用领域应用领域3桥梁工程桥梁工程桥梁施工过程模拟桥梁施工过程模拟美国金门桥地震响应分析美国金门桥地震响应分析荆沙长江斜拉桥结构三维仿真荆沙长江斜拉桥结构三维仿真荆沙长江斜拉桥模态分析荆沙长江斜拉桥模态分析荆沙长江斜拉桥地震响应分析荆沙长江斜拉桥地震响应分析桥梁基础沉降分析桥梁基础沉降分析应用领域应用领域4隧道边坡隧道边坡隧道开挖问题隧

15、道开挖问题非饱和膨胀土的开挖问题非饱和膨胀土的开挖问题边坡稳定的剪切带计算边坡稳定的剪切带计算应用领域应用领域5高层建筑高层建筑高层建筑结构的振型分析高层建筑结构的振型分析高层剪力墙弹塑性动力分析高层剪力墙弹塑性动力分析某博物馆抗震结构分析某博物馆抗震结构分析应用领域应用领域6加工成形加工成形工字钢成形过程模拟工字钢成形过程模拟飞剪过程模拟飞剪过程模拟厚板材辊压成形过程模拟厚板材辊压成形过程模拟弯管成形过程的模拟弯管成形过程的模拟钣金成形过程的模拟钣金成形过程的模拟起皱及掉底模拟起皱及掉底模拟应用领域应用领域7核工业核工业核反应堆结构热应力分析核反应堆结构热应力分析预应力混凝土压力容器安全性分

16、析预应力混凝土压力容器安全性分析核电站地震响应分析核电站地震响应分析轻水反应堆中管道的安全分析轻水反应堆中管道的安全分析应用领域应用领域8汽车工业汽车工业曲柄连杆机构的模拟曲柄连杆机构的模拟缸体温度场分析缸体温度场分析整车有限元分析整车有限元分析在不平整的路面上行驶在不平整的路面上行驶发动机密封系统分析发动机密封系统分析汽车冲撞过程模拟汽车冲撞过程模拟应用领域应用领域9航空航天航空航天波音波音787飞机蒙皮变形分析飞机蒙皮变形分析F-16复合材料水平尾翼强度分析复合材料水平尾翼强度分析起落装置的安全性分析起落装置的安全性分析鸟撞事故分析鸟撞事故分析返回式卫星热剥离分析返回式卫星热剥离分析发动机

17、叶片剥离分析发动机叶片剥离分析应用领域应用领域10军事工业军事工业子弹穿甲模拟分析子弹穿甲模拟分析子弹穿甲应力场分析子弹穿甲应力场分析潜艇的水下爆炸模拟潜艇的水下爆炸模拟应用领域应用领域11石油化工石油化工接管应力分析接管应力分析储液罐罐壁变形分析储液罐罐壁变形分析海底石油管道和海床之间结构分析海底石油管道和海床之间结构分析石油管道焊接过程模拟石油管道焊接过程模拟应用领域应用领域12民用医疗民用医疗心脏支架受力分析心脏支架受力分析人体骨骼强度分析人体骨骼强度分析弹簧片损坏分析弹簧片损坏分析有限元（有限元（FEM）能）能够准确的准确的拟合构件的合构件的边界形状，算法复界形状，算法复杂。有限差分（有限差分（FDM）不能）不能进行行应力分析力分析