概率论课件第四章随机变量的数字特征.ppt

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1、2023/2/181第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征例例1 1 甲甲,乙两人进行打靶乙两人进行打靶,所射中环数分别记为所射中环数分别记为X1,X2,它们的分布律分别为它们的分布律分别为:X1 8 9 10 X2 8 9 10pk 0.3 0.1 0.6 pk 0.2 0.5 0.3试评定他们射击技术的好坏试评定他们射击技术的好坏.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望2023/2/182 若使两个射手各射若使两个射手各射N枪，则他们打中的枪，则他们打中的环数大约是：环数大约是：他们平均射中的环数约为他们平均射中的环数约为2023/2/183平均起来甲每枪射中平均起来甲每枪射

2、中 9.3环，乙射中环，乙射中9.1环，因此甲的技术要好些。环，因此甲的技术要好些。受此问题启发在上式中用概率代替受此问题启发在上式中用概率代替频率引入如下定义：频率引入如下定义：2023/2/1842023/2/185例例2 设设X为投掷一颗骰子时出现的点数，则为投掷一颗骰子时出现的点数，则X的分布律为的分布律为于是，于是，X的数学期望为的数学期望为下面计算一些离散型分布的期望值。下面计算一些离散型分布的期望值。1)(0-1)分布分布 设设X服从服从(0-1)分布，分布律为分布，分布律为PX=1=p,PX=0=q,0p1,q=1-pX的数学期望为的数学期望为 E(X)=1p+0q=p2023

3、/2/1862023/2/1872023/2/1882023/2/189连续型随机变量的数学期望：连续型随机变量的数学期望：设设f(x)为连续型随机变量为连续型随机变量X的概率密度，的概率密度，对对X的取值区间作一分割，有的取值区间作一分割，有2023/2/1810下面计算常用连续型变量的数学期望：下面计算常用连续型变量的数学期望：则则它恰是区间它恰是区间a,b的中点。的中点。2023/2/1811 指数分布是最常用的指数分布是最常用的“寿命分布寿命分布”之一，之一，期望表明期望表明 值越小，产品平均寿命越长。值越小，产品平均寿命越长。2023/2/18122023/2/1813 因此因此,柯

4、西分布的数学期望不存在柯西分布的数学期望不存在.2023/2/1814随机变量函数的数学期望公式随机变量函数的数学期望公式:2023/2/1815说明说明:1.在已知在已知Y是是X的连续函数前提下的连续函数前提下,当我们求当我们求E(Y)时不必知道时不必知道Y的分布的分布,只需知道只需知道X的分布就可的分布就可以了以了.2.上述定理可以推广到多维上述定理可以推广到多维r.v.函数函数.2023/2/18162023/2/1817例例7 7 某商品的市场需求量某商品的市场需求量X服从服从2000,4000上的均上的均匀分布，每售出一吨挣匀分布，每售出一吨挣 3 万元，售不出则每吨需万元，售不出则

5、每吨需保养费保养费1万元，问应组织多少货源才能使收益最大。万元，问应组织多少货源才能使收益最大。当当y=3500时达到最大值，因此组织时达到最大值，因此组织3500吨货源是最好吨货源是最好的决策。的决策。2023/2/18182023/2/18192023/2/1820均值的性质均值的性质:(1)E(c)=c;(c为常数为常数)说明说明:i.性质性质(3)和和(4)可以推广到有限个可以推广到有限个r.v.(X1,X2,Xn)的情况的情况.(2)E(cX)=cE(X);(c为常数为常数)(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4)设设X,Y相互独立相互独立,则则E(XY)=E(X)E(Y);(

6、5)|E(XY)|2E(X2)E(Y2).(许瓦尔兹不等式许瓦尔兹不等式)ii.对于对于“和和”,不要求不要求X1,X2,Xn相互独立相互独立;对对于于“积积”要求要求X1,X2,Xn相互独立相互独立.2023/2/1821例例1 1.二项分布的均值的计算二项分布的均值的计算:设设Xb(n,p),引入引入r.v.Xi(i=1,2,n),它们是相它们是相互独立的且都服从互独立的且都服从0-1分布分布:PXi=1=p,PXi=0=q,X表示表示n次独立重复试验中次独立重复试验中A发生发生的次数的次数,Xi表示第表示第i次试验的结果次试验的结果:Xi=1表示表示A发发生生,Xi=0表示表示A不发生不

7、发生,所以所以说明说明:将将X分解成数个分解成数个r.v.之和之和,然后利用然后利用r.v.和和的数学期望等于的数学期望等于r.v.的数学期望之和来求解的数学期望之和来求解.这这个方法具有一定的普遍意义个方法具有一定的普遍意义.2023/2/18222023/2/18232023/2/18242.方差方差 方差描述了方差描述了r.v.对其数学期望的离散程度对其数学期望的离散程度,在概率论和数理统计中十分重要在概率论和数理统计中十分重要.一、定义一、定义2023/2/1825若若X为离散型为离散型r.v.其分布律为其分布律为PX=xk=pk,k=1,2,则则2023/2/1826在前面例在前面例

8、1中中,X,Y表示甲乙一次击中的环数表示甲乙一次击中的环数,有有可见甲的技术不够可见甲的技术不够“稳定稳定”,乙方差小较乙方差小较“稳定稳定”.方差的计算公式方差的计算公式:2023/2/18272023/2/182810.设随机变量设随机变量X具有具有(0-1)分布分布,其分布律为其分布律为 PX=0=1-p,PX=1=p,则则E(X)=0(1-p)+1p=p,故故 D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p).E(X2)=02(1-p)+12p=p,下面计算一些常见分布的方差下面计算一些常见分布的方差.)(E)(E)(D22npqXXX=-=故2023/2/18302023/2

9、/18312023/2/18322023/2/18332023/2/18342023/2/1835二、方差的性质二、方差的性质:10 设设C是常数是常数,则则D(C)=0;20 设设X是是r.v.,C是常数是常数,则有则有 D(CX)=C2D(X);30 设设X,Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,则有则有 D(X Y)=D(X)+D(Y);2023/2/18362023/2/183740 D(X)=0的充要条件是的充要条件是X以概率以概率1取常数取常数C,即即 PX=C=1.2023/2/1838例例1 1 设设Xb(n,p),分解分解X,求其方差求其方差D(X).易知易知X

10、1,X2,Xn独立同服从独立同服从(0-1)分布，因此分布，因此2023/2/1839所以结论成立所以结论成立.2023/2/18402023/2/1841三三.切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)不等式不等式:2023/2/1842这个估计的精度不高，但具有普遍适用性。这个估计的精度不高，但具有普遍适用性。2023/2/18433.协方差和相关系数协方差和相关系数展开可得计算公式展开可得计算公式:Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).由方差性质证明知由方差性质证明知,对于任意的两个对于任意的两个r.v.X和和Y,有有 D(X Y)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).2023/

11、2/1844 协方差的性质协方差的性质:10 Cov(X,Y)=Cov(Y,X);20 Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y),其其 中中a1,a2,b1,b2是常数是常数;30 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);60|Cov(X,Y)|2D(X)D(Y);“=”成立当且仅当成立当且仅当X与与Y之间有严格的线性关系。之间有严格的线性关系。(Y=aX+b)50 若若X,Y相互独立相互独立,则则Cov(X,Y)=0.40 Cov(X,a)=0,Cov(X,X)=D(X),a为常数为常数;2023/2/1845此不等式对应的方程无实根或有二重根

12、此不等式对应的方程无实根或有二重根,故有故有2023/2/1846显然，相关系数是标准化了的协方差显然，相关系数是标准化了的协方差。2023/2/1847注意注意：相关系数：相关系数 XY刻划了刻划了X,Y之间的线性相关关系之间的线性相关关系,当当 XY=0时时,称称X,Y不相关是指它们之间没有线性不相关是指它们之间没有线性相关关系相关关系.XY=1或或-1时，时，X与与Y有严格线性关系。有严格线性关系。2023/2/18482023/2/1849例例1.1.设设(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,求求X和和Y的相关系数的相关系数.2023/2/1850由第三章我们曾证明过的一个命题由

13、第三章我们曾证明过的一个命题,设设(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,则则X,Y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是=0.知知X与与Y不相关与不相关与X和和Y相互独立是等价的相互独立是等价的.2023/2/1851公式：公式：Cov(aX+bY,cX+dY)=acD(X)+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdD(Y)例例2 XN(2003,1),YN(2004,1),且且X与与Y独立，独立，求求3X-Y与与X+Y的相关系数。的相关系数。解：由于解：由于X，Y独立，则独立，则Cov(3X-Y,X+Y)D(3X-Y)=9D(X)+D(Y)=10D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2=3D

14、(X)+2Cov(X,Y)-D(Y)=3-1=22023/2/18524.矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵一一.定义定义:设设X和和Y是随机变量是随机变量,显然显然显然显然,E(X),E(Y)为一阶原点矩为一阶原点矩,D(X),D(Y)为二阶中心矩为二阶中心矩,XY为二阶混合中心矩为二阶混合中心矩.(1)若若E(Xk),k=1,2,存在存在,则称它为则称它为X的的k阶原点矩阶原点矩.(2)若若EX-E(X)k,k=1,2,存在存在,则称它为则称它为X的的k阶中心矩阶中心矩.(3)若若E(XkYl),k,l=1,2,存在存在,则称它为则称它为X和和Y的的k+l阶混合矩阶混合矩.(4)若若EX-E(X

15、)kY-E(Y)l,k,l=1,2,存在存在,则称则称它为它为X和和Y的的k+l阶混合中心矩阶混合中心矩.2023/2/1853 二维随机变量二维随机变量(X1,X2)有四个二有四个二阶中心矩，分别记为阶中心矩，分别记为将它们排成矩阵形式将它们排成矩阵形式称这个矩阵为称这个矩阵为(X1,X2)的的协方差矩阵。协方差矩阵。二、定义二、定义2023/2/18542023/2/1855三三.协方差阵的性质协方差阵的性质:10 C是对称的是对称的;(由协方差的性质由协方差的性质Cov(X,Y)=Cov(Y,X),cij=cji可得可得)20 cii=D(Xi),i=1,2,3,n.30 cij2 ci

16、i cjj,i,j=1,2,n.(由许瓦尔兹不等由许瓦尔兹不等 式可得式可得)40 C是非负定的是非负定的,即对任意的即对任意的n维向量维向量 a=(a1,a2,an)T,都有都有aTCa0.|E(XY)|2E(X2)E(Y2).(许瓦尔兹不等式许瓦尔兹不等式)2023/2/1856四四.n维正态变量维正态变量:2023/2/18572.性质性质:20 n维维r.v.(X1,X2,Xn)服从服从n维正态分布的充要维正态分布的充要条件是条件是X1,X2,Xn的任一线性组合的任一线性组合 l1X1+l2X2+ln Xn服从一维正态分布服从一维正态分布.30 若若(X1,X2,Xn)服从服从n维正态

17、分布维正态分布,设设Y1,Y2,Yn是是Xj(j=1,2,n)的线性函数的线性函数,则则(Y1,Y2,Yn)也也服从多维正态分布服从多维正态分布.40 若若(X1,X2,Xn)服从服从n维正态分布维正态分布,则则“X1,X2,Xn”相互独立与相互独立与“X1,X2,Xn”两两不相关是等价的两两不相关是等价的.10、n维正态变量维正态变量(X1,X2,Xn)的每一个分量的每一个分量Xi都是都是正态变量；反之，若正态变量；反之，若X1,X2,Xn都是正态变量，都是正态变量，且相互独立，则且相互独立，则(X1,X2,Xn)是是n维正态变量。维正态变量。2023/2/1858练习练习2023/2/18593 将将n个编号为个编号为1-n的的n个球随机放入个球随机放入m个盒子个盒子中去中去(盒子容量不限盒子容量不限)，X表示有球的盒子数，表示有球的盒子数，求求EX2023/2/18605 当当X服从离散分布时，证明契比雪夫不等式。服从离散分布时，证明契比雪夫不等式。