学案5用样本的数字特征估计总体的数字特征.ppt

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1、开始学案学案5 5用样本的数字特征估用样本的数字特征估计总体的数字特征计总体的数字特征学点一学点二学点三返回目录返回目录 1.1.如果有如果有n n个数个数x x1 1,x x2 2,x xn n,那么那么 =叫做这叫做这n n个数的平均数个数的平均数.总体中所有个体的平均数叫做总体中所有个体的平均数叫做 .样本中所有个体的平均数叫做样本中所有个体的平均数叫做 .2.2.s s=，标准差的平方标准差的平方s s2 2叫做方差叫做方差,s s2 2=.总体平均数总体平均数样本平均数样本平均数 返回目录返回目录 其中其中x xn n是是 ,n n是是 ,x x是是 .3.3.是反映总体波动大小的特

2、征数是反映总体波动大小的特征数,通常用样本方差通常用样本方差估计总体方差估计总体方差,当样本容量很大时当样本容量很大时,样本方差样本方差 总体方差总体方差.第第n n个样本数据个样本数据 样本容量样本容量 样本平均数样本平均数 方差方差 很接近很接近 返回目录返回目录学点一学点一 用样本平均数估计总体平均数用样本平均数估计总体平均数【分析】【分析】考查平均数公式考查平均数公式.一个球队所有队员的身高如下一个球队所有队员的身高如下(单位单位:cm):cm):178,179,181,182,176,183,176,180,183,175,181,185,178,179,181,182,176,18

3、3,176,180,183,175,181,185,180,184,180,184,问这个球队的队员平均身高是多少问这个球队的队员平均身高是多少?(?(精确到精确到1 cm)1 cm)【解析】【解析】方法一方法一:利用平均数的公式计算利用平均数的公式计算:(178+179+181+180+184)(178+179+181+180+184)=2 523180.2 523180.返回目录返回目录方法二方法二:建立新数据建立新数据,再利用平均数简化公式计算再利用平均数简化公式计算:取取a a=180,=180,将上面各数据同时减去将上面各数据同时减去180,180,得到一组新数据得到一组新数据:-2

4、,-1,1,2,-4,3,-4,0,3,-5,1,5,0,4.-2,-1,1,2,-4,3,-4,0,3,-5,1,5,0,4.(-2-1+1+2-4+3-4+0+3-5+1+5+0+4)(-2-1+1+2-4+3-4+0+3-5+1+5+0+4)=3=3=0.2,0.2,+a a=0.2+180180.=0.2+180180.方法三方法三:利用加权平均数公式计算利用加权平均数公式计算:=(1851+1841+1832+1821+1812+=(1851+1841+1832+1821+1812+1802+1791+1781+1762+1751)1802+1791+1781+1762+1751)=

5、2 523180.=2 523180.返回目录返回目录【评析】【评析】(1)(1)平均数公式是一个计算平均数的基本公式平均数公式是一个计算平均数的基本公式,在一般情况下在一般情况下,要计算一组数据的平均数可使用这个公式要计算一组数据的平均数可使用这个公式.(2)(2)当数据较大当数据较大,且大部分数据在某一常数左右波动时且大部分数据在某一常数左右波动时,方法二可以减轻运算量方法二可以减轻运算量,故此法比较简便故此法比较简便.方法四方法四:建立新数据建立新数据,再利用加权平均数公式计算再利用加权平均数公式计算:51+41+32+21+12+02+51+41+32+21+12+02+(-1)1+(

6、-2)1+(-4)2+(-5)1(-1)1+(-2)1+(-4)2+(-5)1=30.2,30.2,=0.2+180180.=0.2+180180.答答:这个球队队员的平均身高是这个球队队员的平均身高是180cm.180cm.返回目录返回目录某工人在某工人在3030天中加工一种零件的日产量天中加工一种零件的日产量,有有2 2天是天是5151件件,3,3天天是是5252件件,6,6天是天是5353件件,8,8天是天是5454件件,7,7天是天是5555件件,3,3天是天是5656件件,1,1天天是是5757件件.试计算这个工人试计算这个工人3030天中的平均日产量天中的平均日产量.解：方法一解：

7、方法一:利用加权平均数公式利用加权平均数公式.平均日产量平均日产量=(251+352+653+854+755+(251+352+653+854+755+356+57)54(356+57)54(件件).).方法二方法二:利用利用“新数据新数据”法法.各个数据减去各个数据减去5050后后,得到得到:2:2个个1,31,3个个2,62,6个个3,83,8个个4,74,7个个5,35,3个个6,16,1个个7,7,新数据的平均数新数据的平均数=(21+32+63+84+75+3(21+32+63+84+75+36+7)=6+7)=4.4.故故3030天中平均日产量为天中平均日产量为50+4=54(50

8、+4=54(件件).).返回目录返回目录返回目录返回目录学点二用样本标准差估计总体标准差学点二用样本标准差估计总体标准差【分析】【分析】(1)(1)由标准差定义知由标准差定义知,要计算方差或标准差要计算方差或标准差首先应求平均数首先应求平均数;(2);(2)此题看起来不好求此题看起来不好求,如果注意整体如果注意整体代换代换,是否能求出来呢是否能求出来呢?B B1212(1)(1)数据数据501,502,503,504,505,506,507,508,509501,502,503,504,505,506,507,508,509的标准差的标准差 是是 ()()A.B.C.D.1 A.B.C.D.1

9、(2)(2)已知样本数据已知样本数据x x1 1,x x2 2,x xn n的方差是的方差是3,3,则样本数据则样本数据 2 2x x1 1+2,2+2,2x x2 2+2,2+2,2x xn n+2+2的方差是的方差是 .返回目录返回目录【解析】【解析】(1)(1)可知可知=505,=505,则标准差则标准差s s=.故应选故应选B.B.(2)(2)设样本数据设样本数据x x1 1,x x2 2,x xn n的平均数为的平均数为,方差为方差为s s2 2,数据数据2 2x x1 1+2,2+2,2x x2 2+2,2+2,2x xn n+2+2的平均数为的平均数为,方差为方差为s s2 2.

10、则则 =(2(2x x1 1+2)+(2+2)+(2x x2 2+2)+(2+2)+(2x xn n+2)+2)=2(2(x x1 1+x x2 2+x xn n)+2)+2n n=2 (=2 (x x1 1+x x2 2+x xn n)+2)+2返回目录返回目录=2 +2,=2 +2,于是于是s s2 2=(2(2x x1 1+2-2+2-2-2)-2)2 2+(2+(2x x2 2+2-2+2-2-2)-2)2 2+(2(2x xn n+2-2+2-2-2)-2)2 2=2 22 2(x x1 1-)2 2+2+22 2(x x2 2-)2 2+2+22 2(x xn n-)2 2=2=2

11、2 2(x x1 1-)2 2+(+(x x2 2-)2 2+(+(x xn n-)2 2=2=22 2 s s2 2.即即s s2 2=4=4s s2 2,s s2 2=3,=3,故故s s2 2=12.=12.返回目录返回目录【评析】方差与平均数有如下性质【评析】方差与平均数有如下性质:设设x x1 1,x x2 2,x xn n的平均数为的平均数为,方差为方差为s s2 2,则则(1)(1)数组数组x x1 1+b b,x x2 2+b b,x xn n+b b的平均数为的平均数为 +b,+b,方差为方差为s s2 2;(2)(2)数组数组axax1 1,axax2 2,axaxn n的

12、平均数为的平均数为a a ,方差为方差为a a2 2s s2 2;(3)(3)数组数组axax1 1+b b,axax2 2+b b,axaxn n+b b的平均数为的平均数为a +ba +b,方方差为差为 a a2 2s s2 2.返回目录返回目录某农科所有芒果树某农科所有芒果树200200棵棵,2004,2004年全部挂果年全部挂果,成熟期一到成熟期一到,随随意摘下其中意摘下其中1010棵树上的芒果棵树上的芒果,分别称得质量如下分别称得质量如下(单位单位:kg):kg):10,13,8,12,11,8,9,12,8,9.10,13,8,12,11,8,9,12,8,9.(1)(1)求样本平

13、均数求样本平均数;(2)(2)估计该农科所估计该农科所20042004年芒果的总产量年芒果的总产量.解解:应用样本平均数的公式计算样本平均数应用样本平均数的公式计算样本平均数,再估计总体平均再估计总体平均数数,从而求出该农科所从而求出该农科所20042004年芒果的总产量年芒果的总产量.(1)(1)样本平均数样本平均数 (10+13+8+12+11+8+9+12+8+9)=10(kg).(10+13+8+12+11+8+9+12+8+9)=10(kg).(2)(2)由样本平均数为由样本平均数为10 kg,10 kg,估计总体平均数也是估计总体平均数也是10 kg,10 kg,所以所以总产量为总

14、产量为20010=2 000(kg).20010=2 000(kg).返回目录返回目录学点三用样本的数字特征估计总体情况的实际应用学点三用样本的数字特征估计总体情况的实际应用请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析.甲、乙两人在相同条件下各射靶甲、乙两人在相同条件下各射靶1010次次,每次射靶的成绩情况每次射靶的成绩情况如图如图2-5-12-5-1所示所示.图图2-5-12-5-1返回目录返回目录【分析】【分析】根据各个角度对测试结果进行数据统计、计算根据各个角度对测试结果进行数据统计、计算,再发表看法再发表看法.(1)(1)从平均数和方差相结合

15、看从平均数和方差相结合看;(2)(2)从平均数和中位数相结合看从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些分析谁的成绩好些););(3)(3)从平均数和命中从平均数和命中9 9环以上的次数相结合看环以上的次数相结合看(分析谁的成绩分析谁的成绩 好些好些););(4)(4)从折线图上两人射击命中环数的走势看从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜分析谁更有潜 力力).).【解析】【解析】根据各问情况作如下统计表根据各问情况作如下统计表:返回目录返回目录则则(1)(1)平均数相同平均数相同,且且s s 2 2甲甲 s s 2 2乙乙,甲比乙优甲比乙优,甲稳定些甲稳定些.(2)(2)平均数相同

16、平均数相同,甲的中位数甲的中位数 乙的中位数乙的中位数,乙的成绩比甲好乙的成绩比甲好.(3)(3)平均数相同平均数相同,且乙命中且乙命中9 9环以上次数比甲多环以上次数比甲多,乙的成绩比甲好乙的成绩比甲好.(4)(4)甲的成绩在平均线上波动甲的成绩在平均线上波动;而乙处于上升趋势而乙处于上升趋势,从从第第4 4次以后就没有比甲少的情况发生次以后就没有比甲少的情况发生,所以说乙有较大潜力所以说乙有较大潜力.平均数平均数方差方差中位数中位数命中命中9 9环以上次数以上次数甲甲7 71.21.27 71 1乙乙7 75.45.47.57.53 3返回目录返回目录【评析】【评析】平均数、众数、中位数是

17、描述一组数据集中趋平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的势的,方差、极差和标准差则反映各个数据与其平均数的离方差、极差和标准差则反映各个数据与其平均数的离散程度散程度,正确领悟数据的数字特征的含义正确领悟数据的数字特征的含义,并与具体问题相结并与具体问题相结合合,方可发表看法方可发表看法,作为一个学生应逐步养成这种从实际出发作为一个学生应逐步养成这种从实际出发,实事求是的思维习惯实事求是的思维习惯.返回目录返回目录甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件,现在从现在从中各抽测中各抽测1010个个,它们的尺寸分别为它们的尺寸分别为(单位单位:

18、mm):mm):分别计算上面两个样本的平均数与标准差分别计算上面两个样本的平均数与标准差.如果图纸上的如果图纸上的设计尺寸为设计尺寸为10 mm,10 mm,从计算结果看从计算结果看,用哪台机床加工这种零用哪台机床加工这种零件较合适件较合适.甲甲10.210.2 10.110.1 10.910.98.98.99.99.910.310.39.79.710109.99.910.110.1乙乙10.310.3 10.410.49.69.69.99.910.110.110109.89.89.79.710.210.21010返回目录返回目录 1.1.如何用样本平均数估计总体平均数如何用样本平均数估计总体

19、平均数?(1)(1)平均数平均数 平均数描述了数据的平均水平平均数描述了数据的平均水平,定量地反映了数据的定量地反映了数据的集中趋势所处的水平集中趋势所处的水平.(2)(2)用样本平均数估计总体平均数用样本平均数估计总体平均数 两次从总体中抽取容量相同的样本两次从总体中抽取容量相同的样本,分别求出样本的分别求出样本的平均数平均数,两个样本的平均数一般是不同的两个样本的平均数一般是不同的,所以用样本平均所以用样本平均数去估计总体平均数时数去估计总体平均数时,样本平均数只是总体平均数的近样本平均数只是总体平均数的近似值似值.返回目录返回目录返回目录返回目录 2.2.如何用样本标准差估计总体标准差如

20、何用样本标准差估计总体标准差?(1)(1)方差、标准差、极差与数据的离散程度方差、标准差、极差与数据的离散程度数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述,其中极差其中极差(全距全距)是数据组的最大值与最小值的差是数据组的最大值与最小值的差.它反映了它反映了一组数据变化的最大幅度一组数据变化的最大幅度,它对一组数据中的极端值非常敏它对一组数据中的极端值非常敏感感.方差则反映一组数据围绕平均数波动的大小方差则反映一组数据围绕平均数波动的大小.为了得到为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差.(2)

21、(2)计算标准差的算法计算标准差的算法算出样本数据的平均数算出样本数据的平均数;算出每个样本数据与样本平均数的差算出每个样本数据与样本平均数的差x xi i-(-(i i=1,2,=1,2,n n););返回目录返回目录算出算出(x xi i-)2 2(i i=1,2,=1,2,n n););算出算出(x xi i-)2 2(i i=1,2,=1,2,n n)这这n n个数的平均数个数的平均数,即为样本方差即为样本方差s s2 2;算出方差的算术平方根算出方差的算术平方根,即为样本标准差即为样本标准差s s.统计在对数据处理时的计算量较大统计在对数据处理时的计算量较大,要借助科学计算要借助科学

22、计算器或计算机器或计算机,一般科学计算器上都设有计算平均数、方差、一般科学计算器上都设有计算平均数、方差、标准差的按键标准差的按键,使用时要看说明书使用时要看说明书(不同的计算器的参数不同的计算器的参数可能不同可能不同)进入统计状态就可以求值了进入统计状态就可以求值了.返回目录返回目录 1.1.方差的计算方法方差的计算方法 (1)(1)定义法定义法:s s2 2=(x x1 1-)2 2+(+(x x2 2-)2 2+(+(x xn n-)2 2;(2)(2)简化公式简化公式:s s2 2=(x x1 12 2+x x2 22 2+x xn n)-)-2 2;(3)“(3)“新数据新数据”法法

23、:s s2 2=(+)-,+)-,其其中中 =x xi i+b+b.这表明将一组数据全部加或减同一个常数这表明将一组数据全部加或减同一个常数后后,所得新数据组的方差不变所得新数据组的方差不变.这为方差的简化计算带来方这为方差的简化计算带来方便便(请读者自行证明此结论请读者自行证明此结论).).返回目录返回目录2.2.统计与数据打交道统计与数据打交道,整理数据的工作量较大整理数据的工作量较大,计算比计算比较麻烦较麻烦,学习时务必耐心、仔细学习时务必耐心、仔细,否则极易出错否则极易出错,即使用计即使用计算器计算也要细心算器计算也要细心,因为只要错误输入一个数据因为只要错误输入一个数据,就会影响就会

24、影响到所得结果到所得结果.返回目录返回目录3.3.关于统计的有关性质及规律关于统计的有关性质及规律(1)(1)若若x x1 1,x x2 2,x xn n的平均数为的平均数为 ,那么那么mxmx1 1+a a,mxmx2 2+a a,m xm xn n+a+a 的平均数是的平均数是m m+a a.(2)(2)数据数据x x1 1,x x2 2,x xn n与数据与数据x x1 1+a a,x x2 2+a a,x xn n+a+a 的方差的方差相等相等.(3)(3)若若x x1 1,x x2 2,x xn n的方差为的方差为s s2 2,那么那么axax1 1,axax2 2,axaxn n的

25、方的方差为差为a a2 2s s2 2.返回目录返回目录要从总体上去认识各部分内容之间的联系要从总体上去认识各部分内容之间的联系.例如例如,样本平均数与样本方差或标准差是反映样本的特征数样本平均数与样本方差或标准差是反映样本的特征数(平均数反映了这组数据的平均水平平均数反映了这组数据的平均水平,方差或标准差反方差或标准差反映了这组数据的稳定与波动、集中与离散程度映了这组数据的稳定与波动、集中与离散程度),),频率频率分布反映的是样本数据分布反映的是样本数据(或一组数据或一组数据)落在各个小范围落在各个小范围内的比的大小内的比的大小,反映了样本在整体上的分布情况反映了样本在整体上的分布情况,将它将它们合在一起们合在一起,就可使我们对样本的情况有一个清楚、全就可使我们对样本的情况有一个清楚、全面的认识面的认识.一样的软件一样的软件 不一样的感觉不一样的感觉 一样的教室一样的教室 不一样的心情不一样的心情 一样的知识一样的知识 不一样的收获不一样的收获