解析函数与调和函数.ppt

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1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系定义定义1 1 若若(称此为调和方程或Laplace方程)复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform定理定理1 1：证明：同样可得 且u,v有任意阶连续偏导数复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数不一定是解析函数.例如：复变函数与积分变

2、换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform定义定义2 2 定理定理2 2：在区域D内解析 解析函数的虚部必为实部的共轭调和数已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例1 1已知调和函数求一解析函数解：（法一）由 C-R 方程复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform于是复变函数与积分变换复变函数与积分变换Compl

3、ex Analysis and Integral Transform（法二）复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform(0,0)(x,y)(x,0)复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform（法三）复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例2 证明：函数 都是调和函数但 不是解析函数。证证 由于由于复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and In

4、tegral Transform所以故 是全平面上的调和函数，除原点外在全平面上调和。但 ,不满足C-R条件，所以 不是解析函数。复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例3 证明：若 为调和函数且不等于常数，则 不是调和函数。证 因为 为调和函数，所以又又同理同理复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例4 4求形如求形如 的最一般的调和函数。的最一般的调和函数。并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。令令复

5、变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform故故 即 的一般形式的调和函数为其中 为任意常数。因为因为复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform所以令 ，得即知即知于是于是复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例5 5查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看答案查看

6、答案查看答案查看答案查看答案复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform查看原题查看原题查看原题查看原题复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform查看原题查看原题查看原题查看原题复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform查看原题查看原题查看原题查看原题复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform查看原题查看原题查看

7、原题查看原题复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform查看原题查看原题查看原题查看原题复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform查看原题查看原题查看原题查看原题复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform查看原题查看原题查看原题查看原题复变函数与积分变换复变函数与积分变换

8、Complex Analysis and Integral Transform例例6 6 设设 满足下列关系，求解析函数满足下列关系，求解析函数复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform