结构力学第05章虚功原理与结构位移计算.ppt

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1、第 五 章虚功原理与结构位移计算5-6 温度作用的位移计算温度作用的位移计算 平面杆件结构位移计算的一般公式平面杆件结构位移计算的一般公式在此：在此：，由温度作用引起。由温度作用引起。注意静定结构特征：注意静定结构特征：组成：无多余约束的几何不变体系；组成：无多余约束的几何不变体系；静力：温度作用下静定结构无反力、内力；静力：温度作用下静定结构无反力、内力；杆件有变形，结构有位移。杆件有变形，结构有位移。温度作用时由于材料热胀冷缩，使结构产生变温度作用时由于材料热胀冷缩，使结构产生变形和位移。形和位移。1、温度变化时静定结构的特点：、温度变化时静定结构的特点：（1）有变形（热胀冷缩）有变形（热

2、胀冷缩）均匀温度改变（轴向变形）；均匀温度改变（轴向变形）；不均匀温度改变（弯曲、轴向变形）；不均匀温度改变（弯曲、轴向变形）；无剪切变形。无剪切变形。（2）无反力、内力。）无反力、内力。2、微段由于温度改变产生的变形计算、微段由于温度改变产生的变形计算设温度沿截面厚度直线变化。设温度沿截面厚度直线变化。（1）轴向伸长（缩短）变形：）轴向伸长（缩短）变形：设杆件上边缘温度升高设杆件上边缘温度升高t1，下，下边缘升高边缘升高t2。形心处轴线温度：。形心处轴线温度：t0=(h1t2+h2t1)/h （截面不对称于形心）（截面不对称于形心）t0=(t2+t1)/2 （截面对称于形心）（截面对称于形心

3、）du=ds=t0 ds 材料线膨胀系数。材料线膨胀系数。ds形心轴形心轴+t1+t2 t0 h h1 h2t1dsdudt2ds (2)、由上下边缘温差产生的弯曲变形：上下边缘温差 t=t2 t1 d=ds=(t2-t1)ds/h=t ds/h（3）温度作用不产生剪切变形 ds=03、温度作用时位移计算公式如t0，t和h沿每杆杆长为常数，则：正负号：比较虚拟状态的变形与实际状态正负号：比较虚拟状态的变形与实际状态中由于温度变化引起的变形，若两者变形方向相中由于温度变化引起的变形，若两者变形方向相同，则取正号，反之，则取负号。同，则取正号，反之，则取负号。刚架（梁）中由温度变化引起的轴向变形刚

4、架（梁）中由温度变化引起的轴向变形不可忽略。不可忽略。(5-28a)(5-28b)例：例：图示刚架，施工图示刚架，施工时温度为时温度为200C，试试求冬季当外侧温度求冬季当外侧温度为为-100C，内侧温度，内侧温度为为00C时，点时，点A的竖的竖向位移向位移AV，已知，已知=10-5，h=40cm（矩形截面）。（矩形截面）。l=4ml=4mA00C-100C外侧温度改变：外侧温度改变：t1=-10 20=-300内侧温度改变：内侧温度改变：t2=0 20=-200-300C-200Cl=4ml=4mA-300C-200CFP=1FNFN=0FN=-1FP=1lMt0=(t1+t2)/2=（-3

5、0-20）/2=-250t=t2-t1=-20-（-30）=100AV=(-25)(-1)l+(-)10/h (1/2ll+ll)=-0.5 cm ()提问：（1）、若当结构某些杆件发生尺寸制造）、若当结构某些杆件发生尺寸制造误差，要求结构的位移，应如何处理？误差，要求结构的位移，应如何处理？应根据位移计算的一般公式进行讨论。应根据位移计算的一般公式进行讨论。特点：除有初应变（制造误差）的杆件外，特点：除有初应变（制造误差）的杆件外，其余杆件不产生任何应变。在有初应变的杆件其余杆件不产生任何应变。在有初应变的杆件中找中找、即可。即可。（2）静定结构由荷载、温度改变、支座移动、尺寸误差、材料涨缩

6、等因素共同作用下，产生的位移应如何计算？先分开计算，再进行叠加。5-9 互等定理互等定理状态状态状态一、功的互等定理一、功的互等定理 贝蒂（贝蒂（E.Betti 意意 18231892）定理）定理FP1FP1FR1FP2211212dsds 令状态上的力系在状态的位移上作虚功 令状态上的力系在状态的位移上作虚功 比较（a）、（b）两式，知：W12=W 21 （5-41）FP112=FP221或写为：功的互等定理。功的互等定理。在任一线性变形体系中，第一状态在任一线性变形体系中，第一状态外力在第二状态位移上作的虚功外力在第二状态位移上作的虚功W12，等等于第二状态上的外力在第一状态上作的于第二状

7、态上的外力在第一状态上作的虚功虚功W21。应用时注意：广义力 广义位移对应对应 由：W12=FP112，W21=M221 有：W12=W21 FP112=M221 FP1122M2M212112功的互等定理应用条件：（1）材料弹性，应力与应变成正比。（2）小变形，不影响力的作用。即 为线性弹性体系。二、位移互等定理二、位移互等定理 （位移影响系数互等）（位移影响系数互等）位移互等定理（位移互等定理（Maxwell定理）定理）功的互等定理的一个特殊情况。功的互等定理的一个特殊情况。位移互等定理：位移互等定理：在任一线性弹性体系中，由荷载在任一线性弹性体系中，由荷载FP1所引起的与荷载所引起的与荷

8、载FP2相应的位移影响系数相应的位移影响系数21，等于由荷载，等于由荷载FP2所引起的与所引起的与FP1相应相应的位移影响系数的位移影响系数12。两种状态如图示 ij单位力FPj=1在i方向上引起的与FPi相应的位移，也称位移系数。ij=ij FPj由功的互等定理 W12=W21 FP112=FP221 FP1=FP2=1 12=21 (5-42)注：注：数值相同，量纲相同。FP1=1FP2=12112 广义位移系数量纲（单位）ij=位移单位（实际）引起位移的广义力单位（实际）例：如图所示，根据位移互等定理，可求得：A=FPl2/16EI fC=Ml2/16EI现 FP=M=1,故:A=fC=

9、l2/16EI(1/kN=1/力）A ：单位力引起的角位移；fC ：单位力偶引起的线位移。位移含义不同，但数值相同，量纲相同。FP=1l/2l/2CM=121=A12=fC三、反力互等定理三、反力互等定理 反力互等定理（瑞利反力互等定理（瑞利 Regleigh 定理）定理）功的互等定理的一种特殊情况。功的互等定理的一种特殊情况。用以说明在超静定结构中，假设两个用以说明在超静定结构中，假设两个支座分别发生单位位移，两种状态中反支座分别发生单位位移，两种状态中反力的相互关系。力的相互关系。同一线性变形体系中的两种变形状态同一线性变形体系中的两种变形状态 rij支座支座 j 发生单位位移发生单位位移

10、j=1时，在支座时，在支座i处产生的反力，也称反力影响系数。处产生的反力，也称反力影响系数。rij=Rij/j1=1r112=1r22r21r12 由功的互等定理：W12=W21 1=2=1 r121=r212 r12=r21 (5-43)即为反力互等定理。反力互等定理反力互等定理 在任一线性变形体系中，由支座位移在任一线性变形体系中，由支座位移1所引起的，与支座位移所引起的，与支座位移2相应的反力相应的反力影响系数影响系数r21，等于由支座位移，等于由支座位移2所引起所引起的与位移的与位移1相应的反力影响系数相应的反力影响系数r12。注：数值相等，量纲相等。注：数值相等，量纲相等。广义反力系

11、数量纲（单位）：广义反力系数量纲（单位）：r12=反力反力R的单位（实际力的单位）的单位（实际力的单位）位移位移的单位（实际力的单位）的单位（实际力的单位）定理对任何两种定理对任何两种支座都适用，注意支座都适用，注意反力和位移之间的反力和位移之间的相互对应关系。相互对应关系。如图：如图：1=1=12=13=1r12r21r31r13r23r32r12=r21r13=r31r23=r32四、反力与位移互等定理四、反力与位移互等定理 功的互等定理的又一特殊情况。功的互等定理的又一特殊情况。说明一种状态的反力与另一状态中的说明一种状态的反力与另一状态中的位移具有数值上的位移具有数值上的 互等关系。互等关系。