线性代数PPT课件-向量与线性方程组解的结构.ppt

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1、向量线性方程组解的结构维向量的概念 定义定义 由个有次序的数构成的有序数组称为一个维向量向量，简记为即其中称为向量的分量，称为向量的维数也可以写成一列 例 已知，计算：解：维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如向量组向量组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组

2、 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应定义定义线性组合线性组合 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示定理定理1 1向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价定义定义从而从而注意注意:定义定义则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关线性相关性的概念线性相关性的判定解解例例或或r(I)=n，得线性无关。，得线性无关。解解例例分析分析解：因为

3、解：因为证法证法1证法证法2性质性质1 1：向量组的线性相关性质说明：说明：性质性质2 2：说明：说明：性质性质3 3：定理定理3 3 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示线性表示、线性相关、线性无关三者的关系而不是而不是“每一个每一个”定理定理 4 4：（定理）。（定理）。.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；.线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性

4、相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）.线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）小结定义定义最大线性无关向量组最大线性无关向量组最大最大无关组无关组秩秩极(最)大线性无关向量组定理定理结论结论说明说明事实上事实上定理定理推论推论1 1推论推论2 2解向量的概念解向量的概念为齐次线性方程组为齐次线性方程组的解的解称为方程组称为方程组 的的解向量。解向量。齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 也是也是 的解的解.证明证明

5、（2 2）若）若 为为 的解，的解，为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解证明证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组性方程组 的的解空间解空间一般记作一般记作注：齐次解的线性组合仍为齐次解注：齐次解的线性组合仍为齐次解基础解系基础解系的定义的定义基础解系及其求法线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨，并

6、不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关 于是于是 可化为可化为现对现对 取下列取下列 组数：组数：依次得依次得从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：说明说明解空间的基不是唯一的解空间的基不是唯一的解空间的基又称为方程组的解空间的基又称为方程组的基础解系基础解系若若 是是 的基础解系，则的基础解系，则其其通解通解为为 例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解.解解对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有证明证明非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的结构证明证明

7、证毕证毕其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的组的通解通解，为非齐次线性方程组的任意一个为非齐次线性方程组的任意一个特特解解.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题线性方程组线性方程组 有解有解线性方程组的解法线性方程组的解法（1 1）应用克莱姆法则）应用克莱姆法则（2 2）利用初等变换）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算方法例例4 4 求解方程组求解方程组解解非齐次方程的通解非齐次方程的通解=齐次方程的通解齐次方程的通解+非齐次方程的特解非齐次方程的特解