线性代数课件-用正交变换化二次型为标准化.ppt

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1、一、实对称方阵的对角化一、实对称方阵的对角化一、实对称方阵的对角化一、实对称方阵的对角化定理定理1 实对称方阵的特征值都是实数实对称方阵的特征值都是实数.第三节第三节 用正交变换化二次型为标准化用正交变换化二次型为标准化例 1求正交矩阵 Q 使 Q1AQ 成对角形矩阵，并求此对角形矩阵.其中 解解解解=(2)(2 6+5)=0,A 的特征值为 1=1,2=2,3=5.1=1 时,由(EA)X=0,即解得对应的特征向量为 1 =(0,1,1)T;2 =2 时,由(2EA)X=0,解得对应的特征向量为 2 =(1,0,0)T;3 =5 时,由(5EA)X=0,解得对应的特征向量为 3=(0,1,1

2、)T.上一页定理定理 5 5将 1,2,3 单位化，得故所求的正交变换矩阵为Q=01000对应于特征值1对应于特征值2对应于特征值5且Q 1AQ=任意一个任意一个 n 元实二次型元实二次型都存在正交变换都存在正交变换 X =QY 使得使得其中其中 1,2,n 就是就是 A 的全部特征值的全部特征值,Q 的的 n 个列向量是个列向量是 A 的对应于特的对应于特征值征值 1,2,n 的标准正交特征向量的标准正交特征向量.上一页二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形1.写出二次型 f 的矩阵 A,并求 A 的全部特征值

3、 1,2,n(重数计算在内).2.求出各特征值的特征向量；若 i 是 k 重根时，找出 I 的 k 个线性无关的特征向量，并用施特正交化方法将它们正交化.步骤：步骤：3.将所得的 n 个正交向量再单位化，得 n 个两两正交的单位向量 P1,P2,Pn,记 P=P1,P2,Pn.则 X=PY 为所求正交变换，f 的标准形为例 2求一个正交变换化二次型成标准形.二次型的矩阵解解解解A 的特征多项式为A 的特征值是 1=2=0,3=9.对于 1=2=0,从而可取特征向量 p 1=(0,1,1)T及与 p1 正交的另一特征向量 p2=(4,1,1)T.上一页对于 3=9,取特征向量 p3=(1,2,2

4、)T.将上述相互正交的特征向量单位化，得属于特征值属于特征值0属于特征值属于特征值9则存在正交变换使二次型化为标准形上一页例 3解解解解 已知二次型通过正交变换化成标准形求参数 a 及有所用的正交变换矩阵.二次型 f 的矩阵特征方程为=(2)(26+9 a2)=0,A 的特征值为 1=1,2=2,3=5.将 =1(或 =5)代入特征方程，得A2 4=0,a=2.因 a 0,故取 a=2.这时，1=1 时,由(IA)X=0,即解得对应的特征向量为 1=(0,1,1)T,2=2 时,由(2IA)X=0,解得对应的特征向量为 2=(1,0,0)T,3=5时,由(5IA)X=0,解得对应的特征向量为 3=(0,1,1)T.将 1,2,3 单位化，得故所求的正交变换矩阵为 T=01000上一页例 4解解解解已知二次型的秩为 2,(1)求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程 f(x1,x2,x3)=1 表示何种二次曲面.(1)此二次型对应矩阵为因 r(A)=2,解得 c=3.这时，=(4)(9),故所求特征值为 =0,=4,=9.(2)由上述特征值可知二次型 f 通过变换，可化为标准形为那么 f(x1,x2,x3)=1 表示椭圆柱面.