总体均数与总体率的估计.ppt

《总体均数与总体率的估计.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《总体均数与总体率的估计.ppt（87页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、Chapter 6Chapter 6总体均数与总体率的估计总体均数与总体率的估计随机抽样随机抽样统计推断统计推断【例例6-16-1】欲了解某地正常成年男性血清胆固醇的平欲了解某地正常成年男性血清胆固醇的平均水平，某研究者在该地随机抽取正常成年男性均水平，某研究者在该地随机抽取正常成年男性120120名，得其血清胆固醇的均数为名，得其血清胆固醇的均数为3.86mmol/L3.86mmol/L，标准差，标准差为为1.73 mmol/L1.73 mmol/L，据此认为该地正常成年男性血清胆，据此认为该地正常成年男性血清胆固醇的平均水平为固醇的平均水平为3.86 mmol/L3.86 mmol/L。以

2、样本均数以样本均数3.86mmol3.86mmol/L L来代表该地区正常成年男性血清胆固醇来代表该地区正常成年男性血清胆固醇的平均水平是否合适，为什么？的平均水平是否合适，为什么？第一节第一节 抽样误差与标准误抽样误差与标准误【例例6-26-2】假设已知某地正常成年男性红细假设已知某地正常成年男性红细胞数的均值为胞数的均值为5.00105.00101212/L/L，标准差为，标准差为0.43100.43101212/L/L。现从该总体中进行随机抽样，。现从该总体中进行随机抽样，每次抽取每次抽取1010名正常成年男子，并测得他们名正常成年男子，并测得他们的红细胞数，抽取的红细胞数，抽取1001

3、00份样本，计算出每份份样本，计算出每份样本的均数。样本的均数。每个样本均数是否都恰好等每个样本均数是否都恰好等于总体均数，各样本均数是否相等？于总体均数，各样本均数是否相等？均数的抽样误差均数的抽样误差(sampling error)sampling error)抽样误差抽样误差:由于个体变异的存在，由于个体变异的存在，在抽样研在抽样研究中产生的究中产生的样本统计量和总体参数样本统计量和总体参数之间的之间的差异差异各种参数都有抽样误差，这里我们以均数各种参数都有抽样误差，这里我们以均数为研究对象为研究对象原因：个体变异抽样原因：个体变异抽样表现：表现：样本均数和总体均数间样本均数和总体均数间

4、的差别、的差别、样本均数和样本均数间样本均数和样本均数间的差别的差别抽样误差是抽样误差是不可避免不可避免的，但抽样误差有的，但抽样误差有自己的规律自己的规律样本均数的分布和标准误样本均数的分布和标准误当固定样本含量当固定样本含量n n从同一总体中随机抽取多从同一总体中随机抽取多个样本时，样本均数间存在差异，那么这个样本时，样本均数间存在差异，那么这些样本均数的分布是怎样的呢？些样本均数的分布是怎样的呢？能否用某个指标来描述它们之间的变异？能否用某个指标来描述它们之间的变异？图图6-1 1006-1 100个样本均数的频数分布图个样本均数的频数分布图样本统计量的标准差称为标准误样本统计量的标准差

5、称为标准误(standard (standard error)error)样本均数的样本均数的标准差标准差称为称为均数的标准误均数的标准误(SEM),(SEM),用用 表示表示 说明样本均数围绕总体均数的离散程度，说明样本均数围绕总体均数的离散程度，可用来反映样本均数的抽样误差大小可用来反映样本均数的抽样误差大小中心极限定理中心极限定理从正态总体从正态总体 N N(,2 2)中，随机抽取例数中，随机抽取例数为为 n n 的样本，的样本，样本均数也服从正态分布样本均数也服从正态分布；即使从偏态总体随机抽样，当即使从偏态总体随机抽样，当 n n 足够大时足够大时(n n 50)50)，样本均数近似

6、正态分布，样本均数近似正态分布从均数为从均数为，标准差为，标准差为 的正态或偏态总体的正态或偏态总体中，抽取例数为中，抽取例数为 n n 的样本，的样本，样本均数的总样本均数的总体均数也为体均数也为 ，标准差与原标准差成正比，标准差与原标准差成正比，与样本例数的平方根成反比与样本例数的平方根成反比 常未知，用常未知，用 s s 估计，因此均数标准误的估估计，因此均数标准误的估计值为计值为实际应用中，若标准差固定不变，实际应用中，若标准差固定不变，可通过可通过增加样本含量增加样本含量n n来减少抽样误差来减少抽样误差4.标准误的计算标准误的计算【例例】随机抽取某市随机抽取某市200200名名7

7、7岁男童的身岁男童的身高均数为高均数为124.0cm124.0cm，标准差为，标准差为4.6cm4.6cm，估，估计抽样误差的大小计抽样误差的大小 意义不同：意义不同：标准差：表示观测值的变异程度标准差：表示观测值的变异程度 标准误：反映抽样误差的大小标准误：反映抽样误差的大小 用途不同：用途不同：标准差：确定医学参考值范围标准差：确定医学参考值范围 标准误：用于统计推断（参数估计、假设检验）标准误：用于统计推断（参数估计、假设检验）公式不同：公式不同：标准差与标准误的区别标准差与标准误的区别第二节第二节 t t 分布分布t 分布的演化 常未知，若用常未知，若用 ，这时对样本均，这时对样本均数

8、进行的不是数进行的不是 z z 变换而是变换而是 t t 变换变换 统计量统计量 t t 不再服从不再服从NN(0,1)(0,1)标准正态分布标准正态分布英国统计学家 William William Sealey GossetSealey Gosset 于1908年以“StudentStudent”笔名发表论文，证明统计量 t 服从v=n-1的t分布又称为Student t分布(Students t-distribution)t 分布的图形及特征分布的图形及特征t 分布的特征为：以0为中心，左右对称的单峰分布 越小，t值越分散，峰越矮，尾越高 增大，t分布逐渐逼近z分布，时，t分布即为z分布t

9、 界值表界值表横标目：自由度横标目：自由度 纵标目：概率纵标目：概率 P P(曲线下面积曲线下面积)表中数字：自由度为表中数字：自由度为 ，概率，概率P P 为为 时，时，所对应的所对应的 t t 界值，记为界值，记为t t,单侧：单侧：或或双侧：双侧：即即在相同自由度时，在相同自由度时，t t 的绝对值的绝对值越大，越大，P P 越小越小在相同在相同 P P 值时，自由度越大所对应的值时，自由度越大所对应的 t t 界界值越小值越小在相同在相同 t t 值时，双侧概率值时，双侧概率 P P 为单侧概率为单侧概率 P P 的两倍的两倍 时，时，t t界值即为界值即为z z界值界值第三节第三节

10、总体均数的估计总体均数的估计 统计推断统计推断(statistical inference)(statistical inference)统计推断是指如何抽样，以及如何用样本统计推断是指如何抽样，以及如何用样本性质推断总体特征性质推断总体特征参数估计参数估计(parameter estimation)(parameter estimation)假设检验假设检验(hypothesis testing)(hypothesis testing)参数估计参数估计点估计（点估计（Point Estimation)Point Estimation)To use a number to estimate t

11、he parameter.To use a number to estimate the parameter.区间估计区间估计(Interval Estimation)(Interval Estimation)To obtain a range so as to include the parameter.To obtain a range so as to include the parameter.点估计的缺陷点估计的缺陷区间估计的实质区间估计的实质假设某个总体的均数为假设某个总体的均数为，需要找到两个，需要找到两个量量A A和和B B，使得在一个比，使得在一个比较高的可信度下高的可信度下

12、 (如如95%)95%)，区，区间(A,B)(A,B)能包含能包含 。即。即P P(A(A B)=0.9550)50)例6-3中，因n=120，试求该地正常成年男性 血清胆固醇平均水平的95可信区间。即（即（3.553.55，4.174.17）mmol/L mmol/L 3.3.当当未知未知n n 较小较小-t/2,v 0 t/2,v 单侧可信区间和双侧可信区间应用条件应用条件双侧双侧100(1-100(1-)%)%可信区间可信区间上侧上侧100(1-100(1-)%)%可信区间可信区间下侧下侧100(1-100(1-)%)%可信区间可信区间已知已知未知，未知，n n足够大足够大未知，未知，n

13、 n较小较小单侧可信区间的计算单侧可信区间的计算例例 随机抽取罐装牛肉随机抽取罐装牛肉1010听，亚硝酸盐含量均数为听，亚硝酸盐含量均数为17.6mg/kg17.6mg/kg，标准差，标准差1.64mg/kg1.64mg/kg，估计这批罐头的，估计这批罐头的平均亚硝酸盐含量平均亚硝酸盐含量单侧可信区间！（仅有上限有意义，不高于某一单侧可信区间！（仅有上限有意义，不高于某一个数值）个数值）上限为上限为故故95%CI95%CI为低于为低于18.55mg/kg18.55mg/kg可信区间的涵义可信区间的涵义从总体中作随机抽样，每个样本可以算得一个可从总体中作随机抽样，每个样本可以算得一个可信区间。如

14、信区间。如95%95%可信区间意味着做可信区间意味着做100100次抽样，次抽样，算得算得100100个可信区间，平均有个可信区间，平均有9595个估计正确。在个估计正确。在实际研究中，一般只进行一次抽样，算得一个可实际研究中，一般只进行一次抽样，算得一个可信区间，对于这个可信区间来说，我们有信区间，对于这个可信区间来说，我们有95%95%把把握认为其包括了总体均数握认为其包括了总体均数图图6-5 6-5 从从NN（0,10,1）中随机抽样算得的）中随机抽样算得的100100个个9595可信区间（可信区间（n n=10=10）下列说法正确吗？下列说法正确吗？算得某算得某95%95%的可信区间，

15、则：的可信区间，则：总体参数有总体参数有95%95%的可能落在该区间的可能落在该区间 有有95%95%的总体参数在该区间内的总体参数在该区间内 该区间包含该区间包含95%95%的总体参数的总体参数 该区间有该区间有95%95%的可能包含总体参数的可能包含总体参数 该区间包含总体参数，可信度为该区间包含总体参数，可信度为95%95%可信区间的两个要素可信区间的两个要素可信度（可信度（ConfidenceConfidence)：可靠性，即：可靠性，即1-1-。一般取一般取90%,9590%,95,可人可人为控制控制精确性精确性(PrecisionPrecision)：区间的大小（区间的：区间的大小

16、（区间的长度），越小越好长度），越小越好必须二者兼顾必须二者兼顾均数的可信区间与参考值范围的区别均数的可信区间与参考值范围的区别区别点区别点均数的可信区间均数的可信区间参考值范围参考值范围意义意义按预先给定的概率，确定按预先给定的概率，确定的未知参数的可能范围的未知参数的可能范围“正常人正常人”的解剖、生理、的解剖、生理、生化、某项指标的波动范围生化、某项指标的波动范围计算计算公式公式已知或已知或未知但未知但 n n 较大较大未知：未知：正态分布：正态分布：偏态分布：偏态分布：P PX X P P100-100-X X用途用途估计总体均数估计总体均数判断观察对象的某项指标正判断观察对象的某项指

17、标正常与否常与否第四节第四节 二项分布与二项分布与PoissonPoisson分布分布一、二项分布一、二项分布看来只好替你打看来只好替你打扫卫生了！扫卫生了！对于对于n n次独立的试验次独立的试验 ，如果每次试验结果，如果每次试验结果出现且只出现对立事件出现且只出现对立事件A A与与 之一，在每之一，在每次试验中出现次试验中出现A A的概率是常数的概率是常数(0(0 1)1)，因而出现对立事件，因而出现对立事件 的概率是的概率是1-1-，则，则称这一串重复的独立试验为称这一串重复的独立试验为n n重贝努利试重贝努利试验，简称验，简称贝努利试验贝努利试验(Bernoulli trial)(Ber

18、noulli trial)【问问题题6-46-4】假假设设服服用用某某药药物物后后有有10%10%的的人人出出现现过过敏敏反反应应。若若3 3人人服服药药，出出现现0 0、1 1、2 2或或3 3个人过敏的概率分别是多少？个人过敏的概率分别是多少？组组合合（CombinationCombination）:从从n n个个元元素素中中抽抽取取x x个个元元素素组组成一组（不考虑其顺序）的组合方式个数记为成一组（不考虑其顺序）的组合方式个数记为 牛顿二项展开式：牛顿二项展开式：1.二项分布的概率函数一般地，在一个一般地，在一个n n重贝努利试验中，令重贝努利试验中，令X X表示事件表示事件A A发生

19、的次数，则随机变量发生的次数，则随机变量X X所有可能的取值为所有可能的取值为0,0,1,2,1,2,n n，且其概率函数为：，且其概率函数为：贝努利试验序列中某一结果贝努利试验序列中某一结果A A出现次数的概率分出现次数的概率分布称二项分布布称二项分布(binomial distribution),(binomial distribution),记为：记为：2.2.二项分布的图形二项分布的图形当当=0.5=0.5时，分布对称；当时，分布对称；当 0.50.5，分布呈，分布呈偏态；当偏态；当 0.50.50.5时分布呈负偏态；特别是当时分布呈负偏态；特别是当n n值不是很大时，值不是很大时，偏

20、离偏离0.50.5愈远，分布愈偏愈远，分布愈偏随着随着n n的增大，二项分布逐渐逼近正态分布。的增大，二项分布逐渐逼近正态分布。如如 =0.30=0.30，n n=5=5和和n n=10=10时，图形呈偏态，时，图形呈偏态，当当n n=30=30时，图形已接近正态分布。一般地时，图形已接近正态分布。一般地说，如果说，如果n n 或或n n(1-(1-)大于大于5 5时，常可用正态时，常可用正态近似原理处理二项分布问题近似原理处理二项分布问题3.1 3.1 二项分布的性质二项分布的性质 ：累积概率：累积概率（1 1）二项分布的概率之和等于）二项分布的概率之和等于1 1（2 2）单侧累积概率）单侧

21、累积概率至多有至多有mm例阳性的概率（下侧累积概率）例阳性的概率（下侧累积概率）至少有至少有mm例阳性的概率（上侧累积概率）例阳性的概率（上侧累积概率）3.2 3.2 二项分布的性质二项分布的性质 ：均数和方差：均数和方差阳性阳性结结果果发发生数生数X X的的总总体均数体均数总总体方差体方差总总体体标标准差准差4.4.二项分布的抽样分布及其性质二项分布的抽样分布及其性质二项分布的随机抽样性质仍然被中心极二项分布的随机抽样性质仍然被中心极限定理所反映限定理所反映在在n n足够大时，样本率近似服从正态分布足够大时，样本率近似服从正态分布样本率样本率p p的均数等于的均数等于样本率样本率p p的标准

22、差（的标准差（率的标准误率的标准误）5.5.二项分布的应用：区间估计二项分布的应用：区间估计查表法，适用于查表法，适用于n n5050时；时；正态近似法，适用于正态近似法，适用于n n较大，较大，p p和和1-1-p p均不均不太小，如太小，如npnp和和n n(1-(1-p p)均大于均大于5 5时。时。此时总体率的此时总体率的1-1-可信区可信区间间如下如下 【例例6-76-7】某医院应用氨苄青霉素治疗呼吸某医院应用氨苄青霉素治疗呼吸道感染，道感染，4545例患者中有例患者中有2 2例发生过敏反应。例发生过敏反应。试估计过敏反应发生率的试估计过敏反应发生率的95%95%可信区间可信区间 查

23、查附附表表5 5（百百分分率率的的可可信信区区间间表表），n n=45=45的的行行与与X X=2=2的的列列交交叉叉处处的的数数值值为为1 11515，即即氨氨苄苄青青霉霉素素过过敏反应发生率的敏反应发生率的95%95%可信区间为（可信区间为（1%1%，15%15%）【例例6-66-6】某某市市疾疾控控中中心心对对该该市市郊郊区区200200名名小小学学生生进进行行贫贫血血的的检检测测，结结果果发发现现有有8080名名小小学学生生贫贫血血，检检出出率率为为40.0%40.0%。试试估估计计该该区区贫贫血血发发生生率率的的95%95%可信区间可信区间 【例例6-56-5】已知某地新生儿先天性心

24、脏病已知某地新生儿先天性心脏病的发病率为的发病率为99，试计算该地，试计算该地100100名新生名新生儿中有儿中有3 3人患先天性心脏病概率。人患先天性心脏病概率。能否用能否用前述二项分布进行计算？是否有更为简便前述二项分布进行计算？是否有更为简便的计算方法？的计算方法？【例例6-56-5】若用二项分布：若用二项分布：二、二、Poisson(Poisson(泊松泊松)分布分布当二项分布中当二项分布中n n很大，很大，p p很小时很小时,二项分布就变二项分布就变为为PoissonPoisson分布，分布，PoissonPoisson分布实际上是二项分分布实际上是二项分布的极限分布布的极限分布法国

25、数学家法国数学家Simeon Denis PoissonSimeon Denis Poisson(1781-1840)(1781-1840)18371837年在年在关于判断的概率之研究关于判断的概率之研究一文中一文中提出的描述随机现象的一种常用分布提出的描述随机现象的一种常用分布 PoissonPoisson分布也是一种重要的离散型概率分布，用于分布也是一种重要的离散型概率分布，用于研究单位时间、单位人群、单位空间内，某稀有事研究单位时间、单位人群、单位空间内，某稀有事件发生次数的分布件发生次数的分布单位体积水中细菌数单位体积水中细菌数单位体积空气中粉尘数单位体积空气中粉尘数单位时间内放射性物

26、质放射出的质点数单位时间内放射性物质放射出的质点数单位空间中某些昆虫数单位空间中某些昆虫数一定人群中恶性肿瘤或罕见非传染性疾病患病数一定人群中恶性肿瘤或罕见非传染性疾病患病数或死亡数或死亡数可以认为满足以下三个条件的随机变量可以认为满足以下三个条件的随机变量服从服从PoissonPoisson分布：分布：平稳性：平稳性：X X的取值与观察单位的位置无关，的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关只与观察单位的大小有关独立性：在某个观察单位上独立性：在某个观察单位上X X的取值与前面的取值与前面各观察单位上各观察单位上X X的取值独立（无关）的取值独立（无关）普通性：在充分小的观察单位上

27、普通性：在充分小的观察单位上X X的取值最的取值最多为多为1 11.Poisson分布的概率函数若随机变量的概率函数为：若随机变量的概率函数为：则称此变量服从则称此变量服从PoissonPoisson分布，记为分布，记为【例例6-56-5】中：中：2.Poisson2.Poisson分布的累计概率分布的累计概率3.Poisson3.Poisson分布的图形分布的图形4.1 Poisson分布的性质 均数和方差PoissonPoisson分布的均数和方差相等，均为分布的均数和方差相等，均为 ；即即Poisson分布例分布例为监测饮用水的污染情况，为监测饮用水的污染情况，现检验某社区每毫升现检验某

28、社区每毫升饮用水中细菌数饮用水中细菌数 ，共得共得400400份记录如下：份记录如下：试分析饮用水中细菌数的分布是否服从试分析饮用水中细菌数的分布是否服从PoissonPoisson分分布。若服从，按布。若服从，按PoissonPoisson分布计算每毫升水中细菌分布计算每毫升水中细菌数的概率及理论频数数的概率及理论频数1ml水中细菌数0123合计次数f243120316400经计算得每毫升水中平均细菌数经计算得每毫升水中平均细菌数 ,方差方差 。两者很接近，。两者很接近，故可认为每毫故可认为每毫升水中细菌数服从升水中细菌数服从PoissonPoisson分布。以分布。以0.5000.500代

29、代替替，得，得 (k k=0,1,2)=0,1,2)1ml1ml水中细菌数的分布水中细菌数的分布细菌数细菌数次数次数f f频率频率概率概率理论频数理论频数0 2430.60750.6065 242.601 1200.30000.3033 121.322 310.07750.0758 30.32 3 60.01500.0144 5.76合计合计 4001.00001.0000 400.0020022002年年韩韩日日世世界界杯杯6464场场比比赛赛中中，各各队队进进球球数数有有多多有有少少。大大部部分分是是0 0，1 1，2 2个个进进球球，个个别别队队是是5 5个个以以上上进进球球，最最多多的

30、的是是8 8个个进进球球，平平均均是是1.25781.2578个个/场场/队队。虽虽然然强强队队大大都都能能进进球球、赢赢球球(如如巴巴西西队队)，弱弱队队大大都都不不能能进进球球(如如中中国国队队)。但但宏宏观观上上来来说说，各各队进球数服从队进球数服从PoissonPoisson分布分布！平均计数为平均计数为1.25781.2578的的PoissonPoisson分布分布 每场各队进球数每场各队进球数 场次场次 理论数理论数0 0373736.3936.391 1474745.7745.772 2272728.7828.783 3131312.0712.074 4 2 2 3.79 3.7

31、95 5 1 1 0.95 0.95 6 6 1 1 0.25 0.25 128 128 128.00 128.00 4.2 Poisson4.2 Poisson分布中均数的抽样分布及其性质分布中均数的抽样分布及其性质在在足够大时，足够大时，PoissonPoisson分布的平均计数分布的平均计数近似正态分布近似正态分布平均计数的标准误平均计数的标准误n n=1=1时时(1(1个单位个单位)，4.3 Poisson4.3 Poisson分布的可加性分布的可加性若若X X1 1服从服从Poisson(Poisson(1 1),),X X2 2服从服从Poisson(Poisson(2 2)，X

32、X1 1+X X2 2服从服从Poisson(Poisson(1 1+2 2)。即。即PoissonPoisson分布具有可加性分布具有可加性注意：注意：X X1 1X X2 2服从服从Poisson(1 1 2 2)5.1 5.1 平均计数的可信区间估计平均计数的可信区间估计=?=?X X/n n总计数总计数X X较大时较大时,可用正态近似法：可用正态近似法：n n个单位的总计数个单位的总计数 X X 50 50时时平均计数的平均计数的 95%95%CICI:n n=1=1时时:例例 n n=一个单位时间一个单位时间(30(30分钟分钟)，X=360X=360。则则3030分钟该放射物质的平

33、均脉冲数的分钟该放射物质的平均脉冲数的95%CI95%CI：例例 n n=3=3个单位时间个单位时间(一个单位时间一个单位时间1010分分钟钟)，X=360X=360。则。则1010分钟该放射物质的平分钟该放射物质的平均脉冲数的均脉冲数的95%CI95%CI：总计数总计数X X较小时较小时,查表法查表法(根据分布直接计算根据分布直接计算)n n个单位的总计数个单位的总计数 X X 50 50时：时：n n=1=1(一个标准单位一个标准单位)：X X=8=8，(3.4,15.8)(3.4,15.8)n n=3=3(3(3个标准单位个标准单位)：X X1 1=8,=8,X X2 2=10,=10,

34、X X3 3=6,=6,X X=24=24。先查先查X X=24=24，得，得95%CI:(15.495%CI:(15.4，35.6)35.6)，再除以，再除以3,3,得得:(5.13,11.87):(5.13,11.87)Poisson的平均计数的可信区间的平均计数的可信区间 95%95%99%99%X X2 2 0.2 7.2 0.2 7.2 0.19.3 0.19.3X X4 4 1.010.2 1.010.2 0.612.6 0.612.6X X6 6 2.213.1 2.213.1 1.515.6 1.515.6X X8 8 3.415.8 3.415.8 2.518.5 2.518.5X X1010 4.718.4 4.718.4 3.721.3 3.721.3X X202012.230.812.230.810.334.610.334.6X X303020.242.820.242.817.747.217.747.2