材料力学课件-扭转.ppt

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1、第五章第五章 扭转扭转Chapter FiveChapter FiveTorsionTorsion1 1本章内容小结本章内容小结本章内容小结本章内容小结本章内容小结本章内容小结本章基本要求本章基本要求本章基本要求本章基本要求本章基本要求本章基本要求5.1 5.1 5.1 圆轴扭转的应力与强度圆轴扭转的应力与强度圆轴扭转的应力与强度圆轴扭转的应力与强度圆轴扭转的应力与强度圆轴扭转的应力与强度5.2 5.2 5.2 圆轴扭转的变形与刚度圆轴扭转的变形与刚度圆轴扭转的变形与刚度圆轴扭转的变形与刚度圆轴扭转的变形与刚度圆轴扭转的变形与刚度5.3 5.3 5.3 圆轴扭转的超静定问题圆轴扭转的超静定问题

2、圆轴扭转的超静定问题圆轴扭转的超静定问题圆轴扭转的超静定问题圆轴扭转的超静定问题背景材料背景材料背景材料背景材料背景材料背景材料5.4 5.4 5.4 矩形截面轴扭转矩形截面轴扭转矩形截面轴扭转矩形截面轴扭转矩形截面轴扭转矩形截面轴扭转2 2背背背背 景景景景 材材材材 料料料料汽车传动轴汽车传动轴汽车传动轴汽车传动轴齿轮传动轴齿轮传动轴传动轴传动轴3 3背背背背 景景景景 材材材材 料料料料机器中的传动轴机器中的传动轴直升机的旋转轴直升机的旋转轴4 4 理解导出受扭圆轴横截面上切应力公式的方法。理解导出受扭圆轴横截面上切应力公式的方法。理解导出受扭圆轴横截面上切应力公式的方法。掌握圆轴扭转时

3、横截面上的切应力分布规律，并能掌握圆轴扭转时横截面上的切应力分布规律，并能掌握圆轴扭转时横截面上的切应力分布规律，并能熟练地进行圆轴扭转的强度和刚度的计算。熟练地进行圆轴扭转的强度和刚度的计算。熟练地进行圆轴扭转的强度和刚度的计算。能进行简单的扭转超静定问题的分析计算。能进行简单的扭转超静定问题的分析计算。能进行简单的扭转超静定问题的分析计算。了解矩形截面杆件扭转时最大切应力和变形的计算了解矩形截面杆件扭转时最大切应力和变形的计算了解矩形截面杆件扭转时最大切应力和变形的计算方法。方法。方法。本本本本 章章章章 基基基基 本本本本 要要要要 求求求求 横截面在扭转时始终保持是平面。横截面在扭转时

4、始终保持是平面。横截面在扭转时始终保持是平面。横截面上的半径在扭转时始终保持是直线。横截面上的半径在扭转时始终保持是直线。横截面上的半径在扭转时始终保持是直线。5 5m=Fd1.1.1.1.直接计算直接计算直接计算直接计算5.1.1 5.1.1 5.1.1 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩m5.1 5.1 圆轴扭转的应力与强度圆轴扭转的应力与强度圆轴扭转的应力与强度圆轴扭转的应力与强度2.2.2.2.按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输入功电机每秒输入功外力偶作功完成外力偶作功

5、完成轴转速轴转速n （r/min）,输出功率输出功率Pk （kW）求：外力偶矩求：外力偶矩 mPs(马力）6 68 kN8 kN8 kN m mm3 335 552 226 66画出以下外力偶矩作用轴的扭矩图（单位：画出以下外力偶矩作用轴的扭矩图（单位：画出以下外力偶矩作用轴的扭矩图（单位：kNkNkN m mm）。）。）。T TTx xx3 kN3 kN3 kN m mm6 kN6 kN6 kN m mm动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔从轴的扭转强度考虑，从轴的扭转强度考虑，从轴的扭转强度考虑，这种布置合理？这种布置合理？这种布置合理？如何布置更合理？如何布置更合理？如何布置更合理？

6、7 75.1.2 5.1.2 5.1.2 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力推导思路推导思路推导思路推导思路推导思路推导思路几何关系几何关系几何关系几何关系几何关系几何关系 (平截面假设平截面假设平截面假设平截面假设平截面假设平截面假设 )物理关系物理关系物理关系物理关系物理关系物理关系 (Hooke Hooke Hooke 定律定律定律定律定律定律 )力学关系力学关系力学关系力学关系力学关系力学关系 (切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩切应力对轴的合力矩

7、即截面上的扭矩切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩 )切应变与相对转角之间的关系切应变与相对转角之间的关系切应变与相对转角之间的关系切应力与相对转角之间的关系切应力与相对转角之间的关系切应力与相对转角之间的关系相对转角表达式及切应力表达式相对转角表达式及切应力表达式相对转角表达式及切应力表达式8 8切应力公式推导切应力公式推导切应力公式推导切应力公式推导切应力公式推导切应力公式推导d ddx xxd ddx xxd ddx xxd ddx xx几何关系几何关系几何关系几何关系几何关系几何关系 (平截面假设平截面假设平截面假设平截面假设

8、平截面假设平截面假设 )d ddx xxRAd ddx xxRA 在外表面处的切应变在外表面处的切应变在外表面处的切应变 在离轴心在离轴心在离轴心 r r r 处的切应变处的切应变处的切应变物理关系物理关系物理关系物理关系物理关系物理关系 (Hooke Hooke Hooke 定律定律定律定律定律定律)d ddx xxRA变形前位置变形前位置d ddx xxdR AAd ddx xxdR AA变形后位置变形后位置d ddx xxRArdA (r rr )是是是外表面沿轴线方向上的切应变。外表面沿轴线方向上的切应变。外表面沿轴线方向上的切应变。d d d 是前后两个端面的相对转角。是前后两个端面

9、的相对转角。是前后两个端面的相对转角。9 9几何关系几何关系几何关系几何关系几何关系几何关系 (平截面假设平截面假设平截面假设平截面假设平截面假设平截面假设 )在外表面处的切应变在外表面处的切应变在外表面处的切应变 在离轴心在离轴心在离轴心 r r r 处的切应变处的切应变处的切应变物理关系物理关系物理关系物理关系物理关系物理关系 (Hooke Hooke Hooke 定律定律定律定律定律定律)是是是外表面沿轴线方向上的切应变。外表面沿轴线方向上的切应变。外表面沿轴线方向上的切应变。d d d 是前后两个端面的相对转角。是前后两个端面的相对转角。是前后两个端面的相对转角。d ddx xxRAr

10、dA (r rr )切应力公式推导切应力公式推导切应力公式推导切应力公式推导切应力公式推导切应力公式推导1010d ddx xxRArdA (r rr )切应力公式推导切应力公式推导切应力公式推导切应力公式推导切应力公式推导切应力公式推导力学关系力学关系力学关系力学关系力学关系力学关系d ddx xxrdATd ddx xxrdAT(切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩 )重要公式重要公式重要公式重要公式重要公式重要公式1111切应力在横截

11、面上的分布规律切应力在横截面上的分布规律切应力在横截面上的分布规律切应力在横截面上的分布规律切应力在横截面上的分布规律切应力在横截面上的分布规律TrR0t1212低碳钢试件：低碳钢试件：低碳钢试件：低碳钢试件：沿横截面断开。沿横截面断开。沿横截面断开。沿横截面断开。铸铁试件：铸铁试件：铸铁试件：铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成沿与轴线约成沿与轴线约成4545 的的的的螺旋线断开。螺旋线断开。螺旋线断开。螺旋线断开。5.1.3 5.1.3 5.1.3 圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力

12、13131.1.点点点点MM的应力单元体如图的应力单元体如图的应力单元体如图的应力单元体如图(b b)：(a)M(b)(c)2.2.斜截面上的应力；斜截面上的应力；斜截面上的应力；斜截面上的应力；取分离体如图取分离体如图取分离体如图取分离体如图(d d)：(d)x5.1.3 5.1.3 5.1.3 圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力1414 xnt转角规定：轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“”由平衡方程：解得：5.1.3 5.1.3 5.1.3 圆轴扭转时斜截面上的应力圆

13、轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力1515=0=45=45=90 45圆轴扭转时，在横截面和纵截面圆轴扭转时，在横截面和纵截面圆轴扭转时，在横截面和纵截面圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角上的剪应力为最大值；在方向角上的剪应力为最大值；在方向角上的剪应力为最大值；在方向角 =45 45 的斜截面上作用有最大的斜截面上作用有最大的斜截面上作用有最大的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。压应力和最大拉应力。压应力和最大拉应力。压应力和最大拉应力。5.1.3 5.1.3 5.1.3 圆轴扭转时

14、斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力1616强度条件强度条件强度条件重要数据重要数据重要数据重要数据重要数据重要数据实心圆截面实心圆截面实心圆截面d空心圆截面空心圆截面空心圆截面D DDd5.1.4 5.1.4 5.1.4 圆轴扭转的强度计算圆轴扭转的强度计算圆轴扭转的强度计算圆轴扭转的强度计算圆轴扭转的强度计算圆轴扭转的强度计算 抗扭截面系数抗扭截面系数抗扭截面系数抗扭截面系数抗扭截面系数抗扭截面系数 (section modulus in torsion)(section modulus in

15、 torsion)(section modulus in torsion)R0t薄壁管截面薄壁管截面对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：1717强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：设计截面尺寸：计算许可载荷：强度条件强度条件强度条件5.1.4 5.1.4 5.1.4 圆轴扭转的强度计算圆轴扭转的强度计算圆轴扭转的强度计算圆轴扭转的强度计算圆轴扭转的强度计算圆轴扭转的强度计算 抗扭截面系数抗扭截面系数抗扭截面系数抗扭截面系数抗扭截面系数抗扭截面系数 (section modulus in torsion)(section modulus in torsion)(

16、section modulus in torsion)对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：1818例例例例例例 如图的轴的许用切应力为如图的轴的许用切应力为如图的轴的许用切应力为 60 MPa 60 MPa 60 MPa，校核强度。若将实心校核强度。若将实心校核强度。若将实心圆轴改为内外径之比为圆轴改为内外径之比为圆轴改为内外径之比为 0.7 0.7 0.7 的空心圆轴，在强度相等的条件的空心圆轴，在强度相等的条件的空心圆轴，在强度相等的条件下，求空心圆轴外径，并求两者的重量比。下，求空心圆轴外径，并求两者的重量比。下，求空心圆轴外径，并求两者的重量比。轴是安全的轴

17、是安全的轴是安全的。TTxx1 1 kNkNmm2 kN2 kNmm（1 1 1）内力扭矩图：）内力扭矩图：）内力扭矩图：m mm1 11=1kN=1kN=1kN m mmm mm2 22 =3kN=3kN=3kN m mmD D D=60=60=60D DD1 11强度相等强度相等强度相等 解解解 （2 2 2）求最大工作应力，并校核强度）求最大工作应力，并校核强度）求最大工作应力，并校核强度即须使抗扭截面系数即须使抗扭截面系数即须使抗扭截面系数 WWWp pp 相等相等相等（3 3 3）等强度下的空心圆轴外径）等强度下的空心圆轴外径）等强度下的空心圆轴外径1919例例例例例例 如图的轴的许

18、用切应力为如图的轴的许用切应力为如图的轴的许用切应力为 60 MPa 60 MPa 60 MPa，校核强度。若将实心校核强度。若将实心校核强度。若将实心圆轴改为内外径之比为圆轴改为内外径之比为圆轴改为内外径之比为 0.7 0.7 0.7 的空心圆轴，在强度相等的条件的空心圆轴，在强度相等的条件的空心圆轴，在强度相等的条件下，求空心圆轴外径，并求两者的重量比。下，求空心圆轴外径，并求两者的重量比。下，求空心圆轴外径，并求两者的重量比。TTxx1 1 kNkNmm2 kN2 kNmmm mm1 11=1kN=1kN=1kN m mmm mm2 22 =3kN=3kN=3kN m mmD D D=6

19、0=60=60D DD1 11轴是安全的轴是安全的轴是安全的。（1 1 1）内力扭矩图：）内力扭矩图：）内力扭矩图：强度相等强度相等强度相等 解解解 （2 2 2）求最大工作应力，并校核强度）求最大工作应力，并校核强度）求最大工作应力，并校核强度即须使抗扭截面系数即须使抗扭截面系数即须使抗扭截面系数 相等相等相等（3 3 3）等强度下的空心圆轴外径）等强度下的空心圆轴外径）等强度下的空心圆轴外径2020例例例例例例 如图的轴的许用切应力为如图的轴的许用切应力为如图的轴的许用切应力为 60 MPa 60 MPa 60 MPa，校核强度。若将实心校核强度。若将实心校核强度。若将实心圆轴改为内外径之

20、比为圆轴改为内外径之比为圆轴改为内外径之比为 0.7 0.7 0.7 的空心圆轴，在强度相等的条件的空心圆轴，在强度相等的条件的空心圆轴，在强度相等的条件下，求空心圆轴外径，并求两者的重量比。下，求空心圆轴外径，并求两者的重量比。下，求空心圆轴外径，并求两者的重量比。TTxx1 1 kNkNmm2 kN2 kNmmm mm1 11=1kN=1kN=1kN m mmm mm2 22 =3kN=3kN=3kN m mmD D D=60=60=60D DD1 11强度相等，使抗扭截面系数强度相等，使抗扭截面系数强度相等，使抗扭截面系数 相等相等相等 解解解 （3 3 3）等强度下的空心圆轴外径）等强

21、度下的空心圆轴外径）等强度下的空心圆轴外径实心轴实心轴实心轴空心轴空心轴空心轴取取取 D DD1 11 为为为 66 mm 66 mm 66 mm。（4 4 4）两者重量比）两者重量比）两者重量比2121例例例例例例5.35.35.3 图中结构由两段等截面圆轴图中结构由两段等截面圆轴图中结构由两段等截面圆轴构成。圆轴总长度为构成。圆轴总长度为构成。圆轴总长度为 L L L，全长上作，全长上作，全长上作用着均布力偶矩用着均布力偶矩用着均布力偶矩 t t t。材料许用切应。材料许用切应。材料许用切应力为力为力为 。要使圆轴重量为最轻，。要使圆轴重量为最轻，。要使圆轴重量为最轻，确定两段轴的长度确定

22、两段轴的长度确定两段轴的长度 L L L1 11 和和和 L L L2 2 2 ，以及，以及，以及直径直径直径 d d d1 11 和和和 d d d2 22 。分析分析分析分析 直径的确定必须满足强度条件。直径的确定必须满足强度条件。直径的确定必须满足强度条件。L L L1 1 1 区段必须以区段必须以区段必须以 B B B 截面强度为准。截面强度为准。截面强度为准。L L L2 2 2 区段必须以区段必须以区段必须以 C C C 截面强度为准。截面强度为准。截面强度为准。L L L1 1 1 的大小制约了的大小制约了的大小制约了d d d1 1 1 的大小。的大小。的大小。以以以 L L

23、L1 1 1 为设计变量，将体积表达为为设计变量，将体积表达为为设计变量，将体积表达为L L L1 1 1 的函数。的函数。的函数。d dd2 22t ttL LL1 11L LLL LL2 22d dd1 11A AAB BBCtLtL扭矩图扭矩图扭矩图扭矩图扭矩图扭矩图TTxx2222d dd2 22t ttL LL1 11L LLL LL2 22d dd1 11A AAB BBC例例例例例例5.35.35.3 图中结构由两段等截面圆轴图中结构由两段等截面圆轴图中结构由两段等截面圆轴构成。圆轴总长度为构成。圆轴总长度为构成。圆轴总长度为 L L L，全长上作，全长上作，全长上作用着均布力偶

24、矩用着均布力偶矩用着均布力偶矩 t t t。材料许用切应。材料许用切应。材料许用切应力为力为力为 。要使圆轴重量为最轻，。要使圆轴重量为最轻，。要使圆轴重量为最轻，确定两段轴的长度确定两段轴的长度确定两段轴的长度 L L L1 11 和和和 L L L2 2 2 ，以及，以及，以及直径直径直径 d d d1 11 和和和 d d d2 22 。在在在 ABABAB 段中，段中，段中，B B B 截面的扭矩最大截面的扭矩最大截面的扭矩最大在在在 BCBCBC 段中，段中，段中，C C C 截面的扭矩最大截面的扭矩最大截面的扭矩最大tLtLtLtLtL11tLtL 解解解 （1 1 1）按强度要求

25、确定圆轴直径）按强度要求确定圆轴直径）按强度要求确定圆轴直径2323d dd2 22t ttL LL1 11L LLL LL2 22d dd1 11A AAB BBCtLtLtLtLtL11tLtL例例例例例例5.35.35.3 图中结构由两段等截面圆轴图中结构由两段等截面圆轴图中结构由两段等截面圆轴构成。圆轴总长度为构成。圆轴总长度为构成。圆轴总长度为 L L L，全长上作，全长上作，全长上作用着均布力偶矩用着均布力偶矩用着均布力偶矩 t t t。材料许用切应。材料许用切应。材料许用切应力为力为力为 。要使圆轴重量为最轻，。要使圆轴重量为最轻，。要使圆轴重量为最轻，确定两段轴的长度确定两段轴

26、的长度确定两段轴的长度 L L L1 11 和和和 L L L2 2 2 ，以及，以及，以及直径直径直径 d d d1 11 和和和 d d d2 22 。在在在 ABABAB 段中，段中，段中，B B B 截面的扭矩最大截面的扭矩最大截面的扭矩最大在在在 BCBCBC 段中，段中，段中，C C C 截面的扭矩最大截面的扭矩最大截面的扭矩最大 解解解 （1 1 1）按强度要求确定圆轴直径）按强度要求确定圆轴直径）按强度要求确定圆轴直径2424轴的体积轴的体积轴的体积要使轴的体积为最小，应有要使轴的体积为最小，应有要使轴的体积为最小，应有d dd2 22t ttL LL1 11L LLL LL2

27、 22d dd1 11A AAB BBC 解解解 （2 2 2）求使圆轴重量为最轻的圆轴长度）求使圆轴重量为最轻的圆轴长度）求使圆轴重量为最轻的圆轴长度2525x xxy yyT分析分析分析分析 圆轴横截面上只有切应力。圆轴横截面上只有切应力。原则上切应力乘以微元面积并原则上切应力乘以微元面积并在指定区域上的积分构成其合力。在指定区域上的积分构成其合力。由于切应力方向在各处并不一致，因此不能直接积分。由于切应力方向在各处并不一致，因此不能直接积分。x xxy yyx xxy yyTx xxy yyT x xxy yyTr x xxy yyTr y yy x x xxy yyT 应将切应力往两个

28、坐标轴方向分解，再分别求两个分量应将切应力往两个坐标轴方向分解，再分别求两个分量的积分。的积分。例例例例 设圆轴横截面上的扭矩为设圆轴横截面上的扭矩为 T T，试，试求其四分之一截面上内力系的合力的求其四分之一截面上内力系的合力的大小、方向及作用点。大小、方向及作用点。2626 y yy x x xxy yyTx xxy yyTx xxy yyTFx例例例例 设圆轴横截面上的扭矩为设圆轴横截面上的扭矩为 T T，试，试求其四分之一截面上内力系的合力的求其四分之一截面上内力系的合力的大小、方向及作用点。大小、方向及作用点。水平方向和竖直方向分量为水平方向和竖直方向分量为水平方向和竖直方向分量为

29、水平方向合力为水平方向合力为水平方向合力为 解解解 2727 水平方向和竖直方向分量为水平方向和竖直方向分量为水平方向和竖直方向分量为 水平方向合力为水平方向合力为水平方向合力为例例例例 设圆轴横截面上的扭矩为设圆轴横截面上的扭矩为 T T，试，试求其四分之一截面上内力系的合力的求其四分之一截面上内力系的合力的大小、方向及作用点。大小、方向及作用点。x xxy yyTFx2828x xxy yyTFx y yy x x xxy yyTx xxy yyTx xxy yyTFyx xxy yyTFxFyFx xxy yyTFrCC 竖直方向合力为竖直方向合力为竖直方向合力为 对对对 O O O 点

30、取矩点取矩点取矩 总合力为总合力为总合力为2929该区域是如何平衡的？该区域是如何平衡的？该区域是如何平衡的？该区域是如何平衡的？该区域是如何平衡的？该区域是如何平衡的？分析与讨论分析与讨论分析与讨论分析与讨论 前端面上应力是如何前端面上应力是如何前端面上应力是如何分布的分布的分布的？顶面上有应力吗顶面上有应力吗顶面上有应力吗？顶面上顶面上顶面上应力是如何分布的应力是如何分布的应力是如何分布的？顶面上的应力合力是怎样的？顶面上的应力合力是怎样的？顶面上的应力合力是怎样的？前前前后后后端面上的应力合力是怎样的？端面上的应力合力是怎样的？端面上的应力合力是怎样的？试对上述各部试对上述各部试对上述各

31、部试对上述各部试对上述各部试对上述各部分分分分分分合力进行定量计算。合力进行定量计算。合力进行定量计算。合力进行定量计算。合力进行定量计算。合力进行定量计算。3030F FFS SST TT R RRF FF例例例例例例 若密圈螺旋弹簧的平均半径若密圈螺旋弹簧的平均半径若密圈螺旋弹簧的平均半径 R R R 远大于簧远大于簧远大于簧丝直径丝直径丝直径 d d d，且簧丝倾角小于，且簧丝倾角小于，且簧丝倾角小于 5 5 5 ，当轴向压力当轴向压力当轴向压力为为为 F F F 时，求簧丝中的最大切应力。时，求簧丝中的最大切应力。时，求簧丝中的最大切应力。（1 1 1）忽略簧丝曲率和倾角）忽略簧丝曲率

32、和倾角）忽略簧丝曲率和倾角 的影响，的影响，的影响，簧丝中的扭矩及切应力簧丝中的扭矩及切应力簧丝中的扭矩及切应力 （2 2 2）剪切剪力所引起的切应力可认为）剪切剪力所引起的切应力可认为）剪切剪力所引起的切应力可认为是平均分布在断面上是平均分布在断面上是平均分布在断面上d dd F FF 解解解 3131（4 4）弹簧丝的强度条件弹簧丝的强度条件弹簧丝的强度条件弹簧丝的强度条件:（3 3）簧丝中的最大切应力）簧丝中的最大切应力精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）其中：称为弹簧指数。称为曲度系数。F FFS SST TT R RRF FFd dd F FF3232L LLL LL 圆轴

33、扭转的刚度用两端面的圆轴扭转的刚度用两端面的圆轴扭转的刚度用两端面的相对转角来表示。相对转角来表示。相对转角来表示。注意注意注意注意注意注意 式中式中式中 的单位是弧度。的单位是弧度。的单位是弧度。扭矩和极惯扭矩和极惯扭矩和极惯扭矩和极惯扭矩和极惯扭矩和极惯性矩是常数性矩是常数性矩是常数性矩是常数性矩是常数性矩是常数5.2 5.2 圆轴扭转的变形与刚度圆轴扭转的变形与刚度圆轴扭转的变形与刚度圆轴扭转的变形与刚度重要公式重要公式重要公式重要公式重要公式重要公式扭矩和极惯性矩扭矩和极惯性矩扭矩和极惯性矩扭矩和极惯性矩扭矩和极惯性矩扭矩和极惯性矩分段是常数分段是常数分段是常数分段是常数分段是常数分段

34、是常数3333分析与讨论分析与讨论分析与讨论分析与讨论 如图结构如图结构如图结构的相对转角该如何计算？的相对转角该如何计算？的相对转角该如何计算？GIGIGIp pp：抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度(torsion stiffness)(torsion stiffness)(torsion stiffness)单位长度相对转角单位长度相对转角单位长度相对转角刚度条件刚度条件刚度条件重要公式重要公式重要公式重要公式重要公式重要公式3434又又 ，例例例例例例 若若若 =70 MPa=70 MPa=70 MPa，求许用转，求许用转，求许用转矩。若端面矩。若端面矩。若端面 AB AB AB 的相对转角与端

35、的相对转角与端的相对转角与端面面面 BC BC BC 相对转角相等，求相对转角相等，求相对转角相等，求 L L L1 11 。许用转矩许用转矩许用转矩 。故故故 。D D D=50=50=50L=L=L=510510510d dd1 11=25=25=25L LL1 11A AAL LL2 22d dd2 22=38=38=38C CCB BBm mm只需对右半段进行计算。只需对右半段进行计算。只需对右半段进行计算。3535h hhm mmh hhh hhm mmx xxh hh例例例例例例 总长度为总长度为总长度为 2 2 2h h h 的钻杆有一半在泥土中。若的钻杆有一半在泥土中。若的钻杆

36、有一半在泥土中。若泥土对于钻杆的阻力矩沿长度均匀分布，钻杆泥土对于钻杆的阻力矩沿长度均匀分布，钻杆泥土对于钻杆的阻力矩沿长度均匀分布，钻杆的抗扭刚度为的抗扭刚度为的抗扭刚度为 G GG I I IP P P，求钻杆的上下端面之间的求钻杆的上下端面之间的求钻杆的上下端面之间的相对转角。相对转角。相对转角。建立如图的坐标系。建立如图的坐标系。建立如图的坐标系。下半段的扭矩下半段的扭矩下半段的扭矩故下半段的相对转角故下半段的相对转角故下半段的相对转角上半段的扭矩为上半段的扭矩为上半段的扭矩为 m mm，故上半段的相对转角故上半段的相对转角故上半段的相对转角故上下端面之间的相对转角故上下端面之间的相对

37、转角故上下端面之间的相对转角3636a a a=200=200=200m mm =1.5 kN1.5 kN1.5 kN m mmD D D=50=50=50d d d=30=30=30例例例例例例 如图的空心圆轴两截面间的如图的空心圆轴两截面间的如图的空心圆轴两截面间的相对转角为相对转角为相对转角为 0.4 0.4 0.4，弹性模量，弹性模量，弹性模量 E E E 为为为 210 GPa 210 GPa 210 GPa，求材料的泊松比。，求材料的泊松比。，求材料的泊松比。由公式由公式由公式可得可得可得又有又有又有故有故有故有3737力学家与材料力学史力学家与材料力学史力学家与材料力学史力学家与

38、材料力学史 圆轴扭转的切应力公圆轴扭转的切应力公圆轴扭转的切应力公式是由式是由式是由 Coulomb Coulomb Coulomb 于于于 1784 1784 1784 年首先建立的。年首先建立的。年首先建立的。Coulomb Coulomb Coulomb 是法国物理是法国物理是法国物理学家、力学家。他在摩擦学家、力学家。他在摩擦学家、力学家。他在摩擦学、电磁学、粘性流体等学、电磁学、粘性流体等学、电磁学、粘性流体等方面有重要贡献。方面有重要贡献。方面有重要贡献。Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806)Charles-Augustin de Coulo

39、mb (1736-1806)Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806)38385.3 5.3 圆轴扭转的超静定问题圆轴扭转的超静定问题圆轴扭转的超静定问题圆轴扭转的超静定问题求解圆轴扭转的超静定问题的主要思路求解圆轴扭转的超静定问题的主要思路求解圆轴扭转的超静定问题的主要思路 在圆轴扭转的超静定问题在圆轴扭转的超静定问题在圆轴扭转的超静定问题中，仍然沿用平截面假设。中，仍然沿用平截面假设。中，仍然沿用平截面假设。平衡条件：平衡条件：平衡条件：平衡条件：平衡条件：平衡条件：外力偶矩、不同区域的扭矩构成平衡关系。外力偶矩、不同区域的扭矩构成平衡关系。外力偶矩、不

40、同区域的扭矩构成平衡关系。物理条件：物理条件：物理条件：物理条件：物理条件：物理条件：扭矩与转角之间的线性关系。扭矩与转角之间的线性关系。扭矩与转角之间的线性关系。协调条件：协调条件：协调条件：协调条件：协调条件：协调条件：不同区域的转角关系。不同区域的转角关系。不同区域的转角关系。m mmm mm3939例例例例例例 图中铜套与钢轴紧图中铜套与钢轴紧图中铜套与钢轴紧密结合。若密结合。若密结合。若 G GGCuCuCu 和和和 G GGStStSt 已知，求铜套与钢轴中已知，求铜套与钢轴中已知，求铜套与钢轴中的最大切应力。的最大切应力。的最大切应力。平衡条件平衡条件平衡条件平衡条件平衡条件平衡

41、条件物理条件物理条件物理条件物理条件物理条件物理条件协调条件协调条件协调条件协调条件协调条件协调条件d ddm mmD DD StStStm mmCuCuCu4040平衡条件平衡条件平衡条件平衡条件平衡条件平衡条件物理条件物理条件物理条件物理条件物理条件物理条件协调条件协调条件协调条件协调条件协调条件协调条件例例例例例例 图中铜套与钢轴紧图中铜套与钢轴紧图中铜套与钢轴紧密结合。若密结合。若密结合。若 G GGCuCuCu 和和和 G GGStStSt 已知，求铜套与钢轴中已知，求铜套与钢轴中已知，求铜套与钢轴中的最大切应力。的最大切应力。的最大切应力。d ddm mmD DD StStStm

42、mmCuCuCu4141例例例例例例 图中铜套与钢轴紧图中铜套与钢轴紧图中铜套与钢轴紧密结合。若密结合。若密结合。若 G GGCuCuCu 和和和 G GGStStSt 已知，求铜套与钢轴中已知，求铜套与钢轴中已知，求铜套与钢轴中的最大切应力。的最大切应力。的最大切应力。d ddm mmD DD StStStm mmCuCuCu4242平衡条件平衡条件平衡条件平衡条件平衡条件平衡条件物理条件物理条件物理条件物理条件物理条件物理条件协调条件协调条件协调条件协调条件协调条件协调条件例例例例例例 在如图的结构中，求两固定在如图的结构中，求两固定在如图的结构中，求两固定端的支反力偶矩。端的支反力偶矩。

43、端的支反力偶矩。设两端的支反力偶矩设两端的支反力偶矩设两端的支反力偶矩分别为分别为分别为 m mmA AA 和和和 m mmB BB联立解得联立解得联立解得a aaa aat ttA AAC CCB BBa aaa aat ttA AAC CCB BBmBmA4343分析与讨论分析与讨论分析与讨论分析与讨论a aaa aat ttA AAC CCB BBmBmA 试画出该结构的扭矩图。试画出该结构的扭矩图。试画出该结构的扭矩图。TTxx 如果沿用扭矩的符号规定来定如果沿用扭矩的符号规定来定如果沿用扭矩的符号规定来定义角位移的正负符号，试画出角位义角位移的正负符号，试画出角位义角位移的正负符号，

44、试画出角位移的图形。移的图形。移的图形。转角与扭矩之间是什么关系？转角与扭矩之间是什么关系？转角与扭矩之间是什么关系？结论结论结论结论结论结论 扭转中的外力偶矩扭转中的外力偶矩扭转中的外力偶矩 -扭矩扭矩扭矩 -角位移的关系可以与弯曲角位移的关系可以与弯曲角位移的关系可以与弯曲梁中的横向力梁中的横向力梁中的横向力 -剪力剪力剪力 -弯矩关系相比拟。弯矩关系相比拟。弯矩关系相比拟。xx44445.4 5.4 矩形截面轴扭转矩形截面轴扭转矩形截面轴扭转矩形截面轴扭转1.1.1.自由扭转和约束扭转自由扭转和约束扭转自由扭转和约束扭转 矩形截面轴自由扭转时不满足平截面假定。矩形截面轴自由扭转时不满足平

45、截面假定。矩形截面轴自由扭转时不满足平截面假定。但自由扭转时无轴向应变和轴向应力。但自由扭转时无轴向应变和轴向应力。但自由扭转时无轴向应变和轴向应力。可以利用两端约束来强制满足平截面假定，但由此会产可以利用两端约束来强制满足平截面假定，但由此会产可以利用两端约束来强制满足平截面假定，但由此会产生轴向应力。生轴向应力。生轴向应力。4545分析与讨论分析与讨论分析与讨论分析与讨论横截面上角点处扭转切应力的情况是怎样的？横截面上角点处扭转切应力的情况是怎样的？横截面上角点处扭转切应力的情况是怎样的？横截面上角点处扭转切应力的情况是怎样的？横截面上角点处扭转切应力的情况是怎样的？横截面上角点处扭转切应

46、力的情况是怎样的？由此可得到什么结论？由此可得到什么结论？由此可得到什么结论？如果角点处存在着切应力，将如果角点处存在着切应力，将如果角点处存在着切应力，将会导致什么情况产生？会导致什么情况产生？会导致什么情况产生？46462.2.2.矩形截面轴矩形截面轴矩形截面轴b bbh hh角点上切应力必为零。角点上切应力必为零。角点上切应力必为零。与与与与与与 h h h /b b b 有关，见有关数表有关，见有关数表有关，见有关数表有关，见有关数表有关，见有关数表有关，见有关数表 与与与与与与 h h h /b b b 有关，见有关数表有关，见有关数表有关，见有关数表有关，见有关数表有关，见有关数表

47、有关，见有关数表b bbh hh最大切应力出现在长边中点最大切应力出现在长边中点最大切应力出现在长边中点短边中点切应力短边中点切应力短边中点切应力轴两端面相对扭角轴两端面相对扭角轴两端面相对扭角4747狭长矩形截面狭长矩形截面狭长矩形截面h hht tt最大切应力最大切应力最大切应力两个端面的两个端面的两个端面的相对转角相对转角相对转角单位长度上单位长度上单位长度上的相对转角的相对转角的相对转角4848例例例例例例 立柱横截面是长为立柱横截面是长为立柱横截面是长为 2 2 2b b b、宽为、宽为、宽为 b b b 的矩形。两的矩形。两的矩形。两端转矩为端转矩为端转矩为 3 kN 3 kN 3

48、 kN m m m，许用切应力为，许用切应力为，许用切应力为 70 MPa 70 MPa 70 MPa，试，试，试确定尺寸确定尺寸确定尺寸 b b b 。若材料。若材料。若材料 G G G=80 GPa=80 GPa=80 GPa，根据所选定，根据所选定，根据所选定的尺寸确定单位长度的相对转角。的尺寸确定单位长度的相对转角。的尺寸确定单位长度的相对转角。b bb2 22b bb转矩在长边中点引起最大切应力。转矩在长边中点引起最大切应力。转矩在长边中点引起最大切应力。由由 h h/b b=2 =2 查表得查表得 =0.246=0.246取取 b b=45 mm=45 mm。由由 h h/b b=

49、2 =2 查表得查表得 =0.229=0.2294949例例例例例例 正方形截面轴两端承受转矩而产生自由扭转正方形截面轴两端承受转矩而产生自由扭转正方形截面轴两端承受转矩而产生自由扭转。在强度相同。在强度相同。在强度相同长度相等的条件下计算圆轴与正方形截面轴的重量比。长度相等的条件下计算圆轴与正方形截面轴的重量比。长度相等的条件下计算圆轴与正方形截面轴的重量比。转矩转矩转矩 T T T 在矩形边中点引起最大切应力。在矩形边中点引起最大切应力。在矩形边中点引起最大切应力。由正方形由正方形 h h/b b=1 1 查表得查表得 =0.2080.208圆轴圆轴两者重量比即横截面积之比：两者重量比即横

50、截面积之比：b bbb bbd dd5050本本本本 章章章章 内内内内 容容容容 小小小小 结结结结线弹性圆轴扭转切应力线弹性圆轴扭转切应力线弹性圆轴扭转切应力线弹性圆轴扭转切应力线弹性圆轴扭转切应力线弹性圆轴扭转切应力 最大切应力最大切应力最大切应力最大切应力最大切应力最大切应力 切应力在横截面上的分布规律切应力在横截面上的分布规律切应力在横截面上的分布规律切应力在横截面上的分布规律切应力在横截面上的分布规律切应力在横截面上的分布规律 当圆轴各段的轴径和扭矩互不相同时，应综合考虑以当圆轴各段的轴径和扭矩互不相同时，应综合考虑以当圆轴各段的轴径和扭矩互不相同时，应综合考虑以确定最大切应力所在