椭圆的几何性质谭焕国.ppt

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1、椭圆几何性椭圆几何性质探究质探究1 1、范围：、范围：-axa,-byb 椭圆落在椭圆落在x=a,y=b组成的矩形中组成的矩形中 oyB2B1A1A2F1F2cab(ab0)在在中中判断以下各点是否在椭圆 上，（-4，）（1,2）（2，）思考一 2、椭圆的对称性、椭圆的对称性在在从图形上看，从图形上看，椭圆关于椭圆关于x轴、轴、y轴、原轴、原点对称。点对称。从方程上看：从方程上看：（1）把）把x换成换成-x方程不变，图象关于方程不变，图象关于y轴对称；轴对称；（2）把）把y换成换成-y方程不变，图象关于方程不变，图象关于x轴对称；轴对称；（3）把）把x换成换成-x，同时把，同时把y换成换成-y

2、方方程不变，图象关于原点成中心对称。程不变，图象关于原点成中心对称。中心：中心：椭圆的对称中心椭圆的对称中心叫做椭圆的中心叫做椭圆的中心 oyB2B1A1A2F1F2cab中中思考二思考二 若P（3，2）点在椭圆则以下哪些点还在这个椭圆上？A（3，-2）B（2，-3）C（-3，2）D（-2，-3）E（-3，-2）3、椭圆的顶点、椭圆的顶点在在中，令中，令 x=0，得，得 y=？，说明椭圆与？，说明椭圆与 y轴的交点？轴的交点？令令 y=0，得，得 x=？说明椭圆与？说明椭圆与 x轴的交点？轴的交点？顶点：顶点：椭圆与它的对称轴的四个椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。交点，叫做椭圆的顶

3、点。长轴、短轴：长轴、短轴：线段线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半轴长长半轴长和和短半轴长短半轴长。c叫椭圆的叫椭圆的半焦距半焦距。图中反映了上节课提到的图中反映了上节课提到的a、b、c的几何意义。它们的的几何意义。它们的数量关系数量关系：oyB2B1A1A2F1F2cab123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 1、根据椭圆的对称性画草图、根据椭圆的对称性画草图B2 A2 B1 A1 思考三2、问题：、问题：怎样画出上面椭圆的焦点位置呢？怎样画出上面椭圆的焦点位置呢？依据是什么？依据是什

4、么？xy4、椭圆的离心率、椭圆的离心率 oxy离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。1离心率的取值范围：离心率的取值范围：因为因为 a c 0，所以，所以1 e 02离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，从而，从而 b就越小（就越小（?），椭圆），椭圆就越扁（？）就越扁（？）2）e 越接近越接近 0，c 就越接近就越接近 0，从而，从而 b就越大（？），椭圆就越大（？），椭圆就越圆（？）就越圆（？）3）特例：）特例：e=0，则，则 a=b，则，则 c=0，两个焦点重合，椭

5、圆，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）方程变为（？）思考四 （1）（2)(3)问题问题:判断以上椭圆离心率的大小关系例例1 求椭圆求椭圆 4 x2+9y2=36的长轴和短轴的长、离心率、的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。焦点和顶点坐标。解：解：把已知方程化成标准方程把已知方程化成标准方程这里，这里，因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是离心率离心率焦点坐标分别是焦点坐标分别是四个顶点坐标是四个顶点坐标是典例剖析典例剖析,性质应用性质应用例例2：设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点点B（0，）与两个焦点）与两个焦点,是一个正三

6、角形的顶是一个正三角形的顶点，求这个椭圆的标准方程和离心率。点，求这个椭圆的标准方程和离心率。解：因椭圆的一个短轴端点B（0，）可知椭圆的）可知椭圆的焦点在焦点在x轴上，可轴上，可设椭圆的标准方程为：且且b=，又因为，又因为B 为正三角形，所以为正三角形，所以a=2，c=1，从而所求椭圆标准方程为，从而所求椭圆标准方程为离心率为离心率为 变式训练，深化提高如图，把椭圆 的长轴AB分成8等份，过每个分点作X轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,七个点，F是椭圆的左焦点，则 =OxP1P2P3P4P5P6P7y1、若焦点在x轴上的椭圆 的离心率为 ，则m为（）。A、B

7、、C、D、2、下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴都对称的是（）。A、B、C、D、3、方程 （ab0,k0且k1)与方程（ab0)表示的椭圆（）。A、有等长的短轴、长轴；B、有共同的交点；C、有相同的离心率；D、有相同的顶点。4、如果椭圆的短轴长等于焦距，那么它的离心率 等于 。BDC当堂检测小小 结结这一节课我们学会了什么？用到了那些数学方法？标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率 a a、b b、c c的关系的关系|x|a,|y|b关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a,短短半轴长为半轴长为b.b.ababa2=b2+c2|x|b,|y|a(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称长半轴长为长半轴长为a a,短短半轴长为半轴长为b.b.ababa2=b2+c2我们 所用到的数学思想方法有：数形结合的思想方法；归纳、类比的思想方法。