正弦稳态电路分析电路理论教学.ppt

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1、电路理论电路理论华中科技大学电气与电子工程学院华中科技大学电气与电子工程学院何仁平何仁平 20112011年年9 9月月 第六章第六章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析 华中科技大学电气与电子工程学院华中科技大学电气与电子工程学院 20112011年年9 9月月6.1 正弦量的概念6.2 正弦量的相量表示6.3 电阻电感电容上电压电流相量关系6.4 简单正弦稳态电路分析6.5 复杂正弦稳态电路分析6.6 正弦稳态电路的功率6.7 正弦稳态电路中最大功率传输定理6.8 电路的频率特性6.9 正弦电路中的谐振目目 录录第六章第六章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析 重点：重点：相位差相位差 正弦量

2、的相量表示正弦量的相量表示 复阻抗复导纳复阻抗复导纳 相量图相量图 用相量法分析正弦稳态电路用相量法分析正弦稳态电路 正弦交流电路中的功率分析正弦交流电路中的功率分析6-1 6-1 正弦量的概念正弦量的概念一一.正弦量的三要素：正弦量的三要素：i(t)=Imsin(t+)i+_u i(1)幅值幅值(amplitude)(振幅、振幅、最大值最大值)Im(2)(2)角角频频率率(angular frequency)(3)初相位初相位(initial phase angle)为正弦电流的最大值为正弦电流的最大值正弦量的三要素之一正弦量的三要素之一：振幅振幅 在工程应用中常用在工程应用中常用有效值有效

3、值表示幅度。表示幅度。交流电交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压的有效值。标准电压220V，也是指供电电压也是指供电电压的有效值。的有效值。电量名称必须大电量名称必须大写写,下标加下标加 m。如：如：Um、Im最大值最大值有效值有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量其大小工程上采用有变，为了确切的衡量其大小工程上采用有效值来衡量。效值来衡量。有效值有效值(effective value)定义定义定定义义：若若周周期期性性电电流流 i 流流过过电电阻阻 R，在在一一周周期期T 内内

4、产产生生的的热热量量，等等于于一一直直流流电电流流I 流流过过R,在在时时间间T 内内产产生生的的热热量量，则则称称电电流流I 为为周周期期性性电电流流 i 的有效值。的有效值。则有则有（均方根值）（均方根值）可得可得当当 时，时，交流交流直流直流热效应相当热效应相当电量必须大写电量必须大写如：如：U、I有效值有效值有有效效值值概概念念有效值也称方均根值有效值也称方均根值(root-meen-square，简记为，简记为 rms。)W2=I 2RTRi(t)RI同样，可定义同样，可定义电压有效值：电压有效值：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若一交

5、流电压有效值为若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为，则其最大值为Um 311V；U=380V，Um 537V。工工程程上上说说的的正正弦弦电电压压、电电流流一一般般指指有有效效值值，如如设设备备铭铭牌牌额额定定值值、电电网网的的电电压压等等级级等等。但但绝绝缘缘水水平平、耐耐压压值值指指的的是是最最大大值值。因因此此，在在考考虑虑电电器器设设备备的的耐耐压水平时应按最大值考虑。压水平时应按最大值考虑。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。*区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。

6、问题与讨论问题与讨论 电器电器 220V最高耐压最高耐压=300V 若购得一台耐压为若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于的电器，是否可用于 220V 的线路上的线路上?该用电器最高耐压低于电源电压的最大值该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所，所以以不能用不能用。有效值有效值 U=220V 最大值最大值 Um=220V=311V 电源电压电源电压 描述变化周期的几种方法：描述变化周期的几种方法：1.周期周期 T：变化一周所需的时间变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒单位：秒，毫秒.正弦量三要素之二正弦量三要素之二:角频率角频率3.角频率角频率：每秒变化的弧度每秒变化的弧度 单位：弧度

7、单位：弧度/秒秒2.频率频率 f：每秒变化的次数每秒变化的次数 单位：赫兹，千赫兹单位：赫兹，千赫兹.iT正弦量三要素之三正弦量三要素之三:初相位初相位：t=0 时的相位，称为时的相位，称为初相位或初相角初相位或初相角。说明：说明：给出了观察正弦波的起点或参考点，给出了观察正弦波的起点或参考点，常用于描述多个正弦波相位间的关系。常用于描述多个正弦波相位间的关系。i：正弦波的相位角或相位。：正弦波的相位角或相位。两个两个同频率同频率正弦量间的相位差正弦量间的相位差(初相差初相差)t同频正弦信号的相位关系同频正弦信号的相位关系同同相相位位相相位位超超前前超前于超前于相相位位滞滞后后滞后于滞后于 =

8、0，同相：同相：=(180o)，反相：反相：规定：规定：|(180)特殊相位关系：特殊相位关系：tu,i u i0 tu,iu i0 tu,iu i0 =90 u 领先领先 i 90 或或 i 落后落后 u 90 为什么要研究正弦信号为什么要研究正弦信号?主要考虑以下几点：主要考虑以下几点：1.正正弦弦量量是是最最简简单单的的周周期期信信号号之之一一，同同频频正正弦弦量量在在加加、减减、微微分分、积积分分运运算算后后得得到的仍为同频正弦量；到的仍为同频正弦量；2.正弦信号应用广泛（如市电，载波等）；正弦信号应用广泛（如市电，载波等）；3.非正弦量用傅立叶级数展开后得到一系列非正弦量用傅立叶级数

9、展开后得到一系列正弦函数。正弦函数。6-2 6-2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示瞬时值表达式瞬时值表达式相量相量必须必须小写小写前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。波形图波形图i 正弦波的表示方法：正弦波的表示方法：重点重点 概念概念：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示。向线段在纵轴上的投影值来表示。正弦波的相量表示法正弦波的相量表示法矢量长度矢量长度 =矢量与横轴夹角矢量与横轴夹角=初相位初相位矢量以角速度矢量以角速度 按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转 滞后于滞后于超前超前 滞后滞后

10、？正弦波的相量表示法举例正弦波的相量表示法举例例例1：将将 u1、u2 用相量表示。用相量表示。相位：相位：幅度：幅度：相量大小相量大小设：设：同频率正弦量的同频率正弦量的相量画在一起，相量画在一起，构成相量图。构成相量图。例例2：同频率同频率正弦量相加正弦量相加-平行四边形法则平行四边形法则注意注意 ：1.只有正弦量只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。才能用相量表示，非正弦量不可以。2.只有只有同频率同频率的正弦量才能画在一张相量图上，不的正弦量才能画在一张相量图上，不同频率不行。同频率不行。新问题新问题提出：提出：平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。平行四边形法则可以用于相量运

11、算，但不方便。故引入故引入相量的复数运算法。相量的复数运算法。相量相量 复数表示法复数表示法复数运算复数运算 1.复数复数A表示形式：表示形式：一一个个复复数数A可可以以在在复复平平面面上上表表示示为为从从原原点点到到A的的向向量量，此此时时a可可看看作作与与实实轴轴同同方方向向的的向向量量，b可可看看作作与与虚虚轴轴同同方方向向的的向向量量。由由平平行行四四边边形形法法则则。则则a+jb即即表表示示从从原原点点到到A的的向向量量，其其摸摸为为|A|，幅幅角为角为 。所以复数。所以复数A又可表示为又可表示为A=|A|ej =|A|AbReImaOA=a+jbAbReImaO 一、复数及其运算一

12、、复数及其运算（复习复数的有关知识复习复数的有关知识）两种表示法的关系：两种表示法的关系：A=a+jb A=|A|ej =|A|直角坐标表示直角坐标表示极坐标表示极坐标表示或或2.复数运算复数运算则则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2)(1)加减运算加减运算直角坐标直角坐标若若 A1=a1+jb1，A2=a2+jb2A1A2ReImO加减法可用图解法。加减法可用图解法。(2)乘除运算乘除运算极坐标极坐标若若 A1=|A1|1 ，若若A2=|A2|2 则则 A1 A2=|A1|A2|1+2乘法：模相乘，角相加；乘法：模相乘，角相加；除法：模相除，角相减。除法：模相除，角相减。例例1.5 47

13、 +10 25 =(3.41+j3.657)+(9.063-j4.226)=12.47-j0.567=12.48 -2.61 例例2.+j,j,-1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。3.旋转因子旋转因子复数复数 ej =cos +jsin =1 A逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度 ，模不变模不变Aej ReIm0Ij+I-I-Ij造一个复函数造一个复函数没有物理意义没有物理意义 若对若对A(t)取虚部：取虚部：是一个正弦量，有物理意义。是一个正弦量，有物理意义。对对于于任任意意一一个个正正弦弦时时间间函函数数都都可可以以找找到到唯唯一一的的与与其对应的复指数函数：其对应的复指数函数

14、：A(t)包含了三要素：包含了三要素：Im、，复常数包含了复常数包含了I I m,。A(t)还可以写成还可以写成复常数复常数二二.相量相量加加一一个个小小圆圆点点是是用用来来和和普普通通的的复复数数相相区区别别(强强调调它它与与正正弦弦量量的的联联系系)，同同时时也也改改用用“相相量量”，而而不不用用“向向量量”，是是因因为为它它表表示示的的不不是是一一般般意意义义的的向向量量，而而是是表表示示一一个个正正弦弦量。量。同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：相量图相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：不同频率的相

15、量不能画在一张向量图上。不同频率的相量不能画在一张向量图上。q q称称 为正弦量为正弦量 i(t)对应的相量。对应的相量。正弦量的相量表示正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位已知已知例例1 1.试用相量表示试用相量表示 i,u。解解：旋转因子旋转因子相量相量例例2.试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解：A(t)是旋转相量是旋转相量旋转相量在纵轴上的投影就是正弦函数旋转相量在纵轴上的投影就是正弦函数 I=I =II)(I sin(2+=ttitt)jAe2(=I相量的几何意义相量的几何意

16、义2.相量运算相量运算(1)同频率正弦量相加减同频率正弦量相加减故同频的正弦量相加减运算就变成对应的向量相加故同频的正弦量相加减运算就变成对应的向量相加减运算。减运算。小结：正弦量的四种表示法小结：正弦量的四种表示法波形图波形图 Ti瞬时值瞬时值相量图相量图复数复数表示法表示法提示提示计算相量的相位角时，要注意所在计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：象限。如：j j+1+1+3+3-3-3+4+4-4-4符号说明瞬时值瞬时值-小写小写u、i有效值有效值-大写大写U、I复数、相量复数、相量-大写大写 +“.”最大值最大值-大写大写+下标下标正误判断正误判断瞬时值瞬时值相量相量？瞬时值瞬时值相

17、量相量？已知：已知：正误判断正误判断？有效值有效值j45？则：则：已知：已知：正误判断正误判断？则：则：正误判断正误判断最大值最大值？已知：已知：6-3 6-3 电电阻阻、电电感感和和电电容容元元件件上上电压和电流的相量关系电压和电流的相量关系一一.电阻电阻uR(t)i(t)R+-相量形式：相量形式：有效值关系：有效值关系：UR=RI相位关系：相位关系：u,i 同相同相相量模型相量模型R+-相量关系相量关系相量图相量图UR=RI=RIUR=RI波形图及相量图：波形图及相量图：t iOuRpR u=i频域频域有效值关系有效值关系 U=L I相位关系相位关系u 超前超前 i 90j L相量模型相量

18、模型+-相量图相量图二二.电感电感i(t)u(t)L+-时域模型时域模型时域时域 tu,iu i0波形图波形图感抗的物理意义：感抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；(2)感抗和频率成正比。感抗和频率成正比。XLXL=U/I=L=2 f L，单位单位:欧欧感抗感抗U=L I(3)由于由于感抗的存在使电流落后电压。感抗的存在使电流落后电压。错误的写法错误的写法频域频域有效值关系有效值关系 I=C U相位关系相位关系i 超前超前u 90时域时域 tu,iu i0波形图波形图二二.电容电容时域模型时域模型i(t)u(t)C+-相量图相量图相量模型相量模型+-容抗的物理意义：容抗

19、的物理意义：(1)表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；(2)容抗的绝对值和频率成反比。容抗的绝对值和频率成反比。容抗容抗I=CU(3)由于由于容抗的存在使电流领先电压。容抗的存在使电流领先电压。错误的写法错误的写法 1.单一参数电路中电压电流的基本关系式单一参数电路中电压电流的基本关系式电感元件电感元件基本关系基本关系复阻抗复阻抗L复阻抗复阻抗电容元件电容元件基本关系基本关系C电阻元件电阻元件R基本关系基本关系复阻抗复阻抗小小 结结6-4 6-4 简单正弦稳态电路分析简单正弦稳态电路分析一一.基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式二二.电路元件的相量关系电路元件的相量关系2.电路的相

20、量模型电路的相量模型(phasor model)时域列解微分方程时域列解微分方程求非齐次方程特解求非齐次方程特解频域列解代数方程频域列解代数方程LCRuSiLiCiR+-j L1/j CR+-时域电路时域电路频域电路频域电路四四.相量图相量图1.同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中；同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中；2.以以 角速度反时针方向旋转；角速度反时针方向旋转；3.选定一个参考相量选定一个参考相量(设初相位为零。设初相位为零。)选选 R为参考相量为参考相量j L1/j CR+-+-+-小结：小结：1.求求正正弦弦稳稳态态解解是是求求微微分分方方程程的的特特解解，应应用用相相量量

21、法法将将该该问问题题转转化化为为求求解解复复数数代数方程问题。代数方程问题。2.引引入入电电路路的的相相量量模模型型，不不必必列列写写时时域域微微分分方方程程，而而直直接接列列写写相相量量形形式式的的代代数方程。数方程。3.采采用用相相量量法法后后，电电阻阻电电路路中中所所有有网网络络定定理理和和一一般般分分析析方方法法都都可可应应用用于于交交流流电路。电路。LCRuuLuCi+-+-+-j LR+-+-+-用相量法分析用相量法分析R R、L L、C C串联电路的正弦稳态响应。串联电路的正弦稳态响应。由由KVL：五、典型的五、典型的RLC串联、并联电路串联、并联电路Z 复阻抗；复阻抗；R电阻电

22、阻(阻抗的实部阻抗的实部)；X电抗电抗(阻抗的虚部阻抗的虚部)；|Z|复阻抗的模；复阻抗的模；阻抗角。阻抗角。关系：关系：或或R=|Z|cos X=|Z|sin|Z|RX 阻抗三角形阻抗三角形|Z|=U/I =u-i具体分析一下具体分析一下 R-L-C 串联电路串联电路Z=R+j(L-1/C)=|Z|L 1/C，X0，0，电压领先电流，电路呈感性；，电压领先电流，电路呈感性；L1/C ，X0，1/C)电压三角形电压三角形UXU L=1/C ，X=0，=0，电压与电流同相，电路呈电阻性。，电压与电流同相，电路呈电阻性。例例.LCRuuLuCi+-+-+-已知：已知：R=15,L=0.3mH,C=

23、0.2 F,求求 i,uR,uL,uC.解解：其相量模型为其相量模型为j LR+-+-+-则则UL=8.42U=5，分电压大于总电压，原，分电压大于总电压，原因是因是uL，uC相位相差相位相差180，互相抵消，互相抵消的结果。的结果。-3.4相量图相量图由由KCL：iLCRuiLiC+-iLj LR+-用相量法分析用相量法分析R R、L L、C C并联电路的正弦稳态响应。并联电路的正弦稳态响应。Y 复导纳；复导纳；G电导电导(导纳的实部导纳的实部)；B电纳电纳(导纳的虚部导纳的虚部)；|Y|复阻抗的模；复阻抗的模；阻抗角。阻抗角。关系：关系：G=|Y|cos B=|Y|sin|Y|GB 导纳三

24、角形导纳三角形|Y|=I/U =i-uY=G+j(C-1/L)=|Y|C 1/L，B0，0，电路为容性，电路为容性，i领先领先u；C1/L ，B0，0，电路为感性，电路为感性，i落后落后u；C=1/L ，B=0，=0，电路为电阻性，电路为电阻性，i与与u同相。同相。画相量图画相量图：选电压为参考向量：选电压为参考向量(C 1/L，0,电路吸收功率：电路吸收功率：p0,0,感性，感性，滞后功率因数滞后功率因数X0,0，表示网络吸收无功功率；，表示网络吸收无功功率；Q UIsin 2解决办法解决办法：并联电容，提高功率因数：并联电容，提高功率因数(改进自身设备改进自身设备)。补偿容量的确定补偿容量

25、的确定：1 2代入上式代入上式补偿容补偿容量不同量不同全全不要求不要求(电容设备投资增加电容设备投资增加,经济效果不明显经济效果不明显)欠欠过过使功率因数又由高变低使功率因数又由高变低(性质不同性质不同)综合考虑，提高到适当值为宜综合考虑，提高到适当值为宜(0.9 左右左右)。已知已知：f=50Hz,U=380V,P=20kW,cos 1=0.6(滞后滞后)。要使功率因数提高到要使功率因数提高到0.9,求并联电容求并联电容C。例例.LRC+_解解：1 2PQS 已知：变压器容量为已知：变压器容量为100KVA,电动机电动机 P=10kW,cos 1 1=0.6。问这台变压器满负荷运行可以带多少

26、台。问这台变压器满负荷运行可以带多少台这样的电动机。如果功率因数提高到这样的电动机。如果功率因数提高到0.9,这台变压这台变压器满负荷运行可以带多少台这样的电动机。器满负荷运行可以带多少台这样的电动机。例例.功率三角形功率三角形解解：P=10kW100/16.666台台P=10kW100/11.119台台PQS 已知：变压器容量为已知：变压器容量为100KVA,电动机电动机 P=10kW,cos 1 1=0.6。问这台变压器满负荷运行可以带多少台。问这台变压器满负荷运行可以带多少台这样的电动机。如果功率因数提高到这样的电动机。如果功率因数提高到0.9,这台变压这台变压器满负荷运行可以带多少台这

27、样的电动机。器满负荷运行可以带多少台这样的电动机。例例.功率三角形功率三角形解解：P=10kW100/S100*0.6/10=6台台P=10kW100/S=100*0.9/109台台单单纯纯从从提提高高cos 看看是是可可以以，但但是是负负载载上上电电压压改改变变了了。在在电电网网与与电电网网连连接接上上有有用用这这种种方方法的，一般用户采用并联电容。法的，一般用户采用并联电容。思考思考：能否用串联电容提高能否用串联电容提高cos?6-7正弦稳态电路中的最大功率传输定理正弦稳态电路中的最大功率传输定理讨论正弦电流电路中负载获得最大功率讨论正弦电流电路中负载获得最大功率Pmax的条件。的条件。Z

28、LZi+-Zi=Ri+jXi，ZL=RL+jXL(1)ZL=RL+jXL可任意改变可任意改变(a)先讨论先讨论XL改变时，改变时，P的极值的极值显然，当显然，当Xi+XL=0，即，即XL=-Xi时，时，P获得极值获得极值(b)再讨论再讨论RL改变时，改变时，P的最大值的最大值当当RL=Ri时，时，P获得最大值获得最大值综合综合(a)、(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：，可得负载上获得最大功率的条件是：ZL=Zi*，即，即RL=RiXL=-Xi此结果可由此结果可由P分别对分别对XL、RL求偏导数得到求偏导数得到。(2)若若ZL=RL+jXL只允许只允许XL改变改变 此时获得最大功率的条件此

29、时获得最大功率的条件Xi+XL=0，即，即XL=-Xi。(3)若若ZL=RL+jXL=|ZL|，RL、XL均可改变，均可改变，但但XL/RL不变不变(即即|ZL|可变，可变，不变不变)最大功率为最大功率为此时获得最大功率的条件此时获得最大功率的条件|XL|=|Xi|。最大功率为最大功率为例例已知已知:要要使使R0上上获获最最大大率率，则则C0为何值？为何值？用戴维南等效电路：用戴维南等效电路：2.5H5 5 1 R0C0uS(t)+解：解：2.5 1 C0+j5 Zi1 C0+要使要使R0上功率最大，只需使电上功率最大，只需使电流流I 最大即可。最大即可。若使若使 I 最大，须使最大，须使|Z

30、i+R0 j1/(C)|最小。最小。若使其最小，只须使若使其最小，只须使11/(C0)=0。即：即：Zi1 C0+I6-9 6-9 正弦电路中的谐振正弦电路中的谐振一、串联谐振一、串联谐振 当当 ，L，C 满满足足一一定定条条件件，恰恰好好使使XL=|XC|，=0，电电路路中中电电压压、电电流流出出现现同同相，电路的这种状态称为谐振。相，电路的这种状态称为谐振。Rj L+_谐振时谐振时、串联谐振的条件、串联谐振的条件1.L C 不变，改变不变，改变 2.电源频率不变，改变电源频率不变，改变 L 或或 C(常改变常改变C)，使使 XL=|XC|。谐振角频率谐振角频率(resonant angul

31、ar frequency)谐振频率谐振频率(resonant frequency)Rj L+_、RLCRLC串联谐振的特征串联谐振的特征Z=RX=0、参数、参数1.特性阻抗特性阻抗(characteristic impedance)单位：单位：2.品质因数品质因数(quality factor)无量纲无量纲().谐振时元件上的电压谐振时元件上的电压谐振时的相量图谐振时的相量图串联谐振又称串联谐振又称电压谐振电压谐振Rj L+_+-+-+-例：例：图中电路处于谐振状态，已知图中电路处于谐振状态，已知U=100V，I1=I2=10A，求电阻，求电阻R及谐振时的感抗和容抗。及谐振时的感抗和容抗。L+

32、-+-+RC解：相量图解：相量图45o由电流三角形得由电流三角形得 I=14.14 A由电压三角形中由电压三角形中UL=U=100 V 得得UC=141.4 VR=UC/I1=14.14 ，XC=-UC/I2=-14.14 XL=UL/I=7.07 、简单、简单 G、C、L 并联电路并联电路对偶：对偶：R L C 串联串联G C L 并联并联二、二、并联谐振并联谐振+_GCLR L C 串联串联G C L 并联并联电压谐振电压谐振电流谐振电流谐振UL(0)=UC(0)=QUIL(0)=IC(0)=QIS 、实际的并联谐振电路、实际的并联谐振电路(电感线圈与电容并联电感线圈与电容并联)谐振时谐振时 B=0，即，即CLR谐振角频率谐振角频率当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻：当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻：CLR+-CLR等效电路：等效电路：其中：其中：C不变不变。GeCLe