计算机图形学第五章.ppt

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1、甘朝华第五章 图形的几何变换5.1 5.1 齐次坐标表示齐次坐标表示5.2 5.2 二维几何变换二维几何变换5.3 5.3 通用二维复合变换通用二维复合变换5.4 5.4 二维坐标系变换二维坐标系变换5.5 5.5 三维空间的几何变换三维空间的几何变换 图形的几何变换是计算机图形学图形的几何变换是计算机图形学中利用简单基本图元生成复杂场景的中利用简单基本图元生成复杂场景的主要方法之一主要方法之一;同时在观察过程中通过对图形进同时在观察过程中通过对图形进行一系列连续的几何变换可方便达到行一系列连续的几何变换可方便达到用户的要求。用户的要求。图形的几何变换一般是指将表示图形的几何变换一般是指将表示

2、图形的几何信息经过几何变换后产生图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形的过程。新的图形的过程。5.1 5.1 齐次坐标表示齐次坐标表示 在计算机图形学中使用齐次坐标技在计算机图形学中使用齐次坐标技术，图形几何变换中的复杂计算可通过术，图形几何变换中的复杂计算可通过将图形的点集矩阵与某些变换矩阵相乘将图形的点集矩阵与某些变换矩阵相乘的方式来实现，从而可以利用计算机的的方式来实现，从而可以利用计算机的高速运算功能。高速运算功能。5.1 5.1 齐次坐标表示齐次坐标表示 齐次坐标表示法就是用齐次坐标表示法就是用n+1n+1维矢量表维矢量表示一个示一个n n维矢量。维矢量。即即n n维空间中的点的位

3、置矢量维空间中的点的位置矢量(P1,P2,Pn)(P1,P2,Pn)被表示为具有被表示为具有n+1n+1个坐标个坐标分量的位置矢量分量的位置矢量(hP1,hP2,hPn,h)(hP1,hP2,hPn,h)，且不唯一。且不唯一。规范化齐次坐标表示规范化齐次坐标表示?5.1 5.1 齐次坐标表示齐次坐标表示采用齐次坐标表示法的优点：采用齐次坐标表示法的优点：(1)(1)用变换矩阵实现对图形的几何变换；用变换矩阵实现对图形的几何变换；(2)(2)它提供了用矩阵运算把二维、三维甚它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效

4、方法；变换到另一个坐标系的有效方法；(3)(3)它可以表示无穷远的点。它可以表示无穷远的点。5.2 5.2 二维几何变换二维几何变换 平移平移、旋转旋转和和缩放缩放是所有图形软件是所有图形软件均支持的均支持的基本几何变换基本几何变换形式，在有些软形式，在有些软件包中还支持反射和错切变换。件包中还支持反射和错切变换。5.2 5.2 二维几何变换二维几何变换平移（平移（translationtranslation）变换）变换:通过将平移位移量加到一个点的坐通过将平移位移量加到一个点的坐标上来生成一个新的坐标位置的过程来标上来生成一个新的坐标位置的过程来实现。实现。5.2.1 5.2.1 二维平移变

5、换二维平移变换5.2 5.2 二维几何变换二维几何变换旋转（旋转（rotationrotation）变换）变换:通过指定一个旋转轴和一个旋转角通过指定一个旋转轴和一个旋转角度，将图形对象按指定角度围绕旋转轴度，将图形对象按指定角度围绕旋转轴旋转的刚体变换。旋转的刚体变换。二维对象的旋转二维对象的旋转:在在xoyxoy平面内进行，旋转轴垂直于平面内进行，旋转轴垂直于xoyxoy平面并穿过平面上的某一坐标点，该平面并穿过平面上的某一坐标点，该坐标点称为旋转基准点。坐标点称为旋转基准点。5.2.2 5.2.2 二维旋转变换二维旋转变换5.2 5.2 二维几何变换二维几何变换5.2.2 5.2.2 二

6、维旋转变换二维旋转变换5.2 5.2 二维几何变换二维几何变换缩放（缩放（scalingscaling）变换）变换:是一种改变图形对象大小的非刚体是一种改变图形对象大小的非刚体变换。变换。5.2.3 5.2.3 二维缩放变换二维缩放变换5.2 5.2 二维几何变换二维几何变换当当SxSx、SySy取不同值时，图形可产生多种取不同值时，图形可产生多种变化，典型的变化，典型的4 4种情况如下：种情况如下：当当Sx=Sy=1Sx=Sy=1时，为恒等比例变换，即图时，为恒等比例变换，即图形不变。形不变。当当Sx=Sy1Sx=Sy1时，图形沿两个坐标轴方向时，图形沿两个坐标轴方向等比例放大。等比例放大。

7、当当Sx=Sy1Sx=Sy1时，图形沿两个坐标轴方向时，图形沿两个坐标轴方向等比例缩小。等比例缩小。当当SxSySxSy时，图形沿两个坐标轴方向时，图形沿两个坐标轴方向作非均匀的比例变换。作非均匀的比例变换。5.2.3 5.2.3 二维缩放变换二维缩放变换5.2 5.2 二维几何变换二维几何变换 经过缩放变换既可以改变物体的大经过缩放变换既可以改变物体的大小，同时也改变了图形对象的位置。小，同时也改变了图形对象的位置。为了控制缩放后对象的位置，可使为了控制缩放后对象的位置，可使图形对象以某一固定点为参考进行缩放图形对象以某一固定点为参考进行缩放变换。变换。5.2.3 5.2.3 二维缩放变换二

8、维缩放变换5.2 5.2 二维几何变换二维几何变换分类分类:(1)(1)图形是由顶点集合组成，且相邻顶点图形是由顶点集合组成，且相邻顶点间有线段相连，如多边形、曲线等。间有线段相连，如多边形、曲线等。对每一顶点施加几何变换对每一顶点施加几何变换(2)(2)以某些参考点为中心并使用某种算法以某些参考点为中心并使用某种算法来生成的图形，如圆锥曲线。来生成的图形，如圆锥曲线。选择中心点变换选择中心点变换,对其他控制量进行变换对其他控制量进行变换（3 3）可用参数表示的曲线或曲面图形。）可用参数表示的曲线或曲面图形。直接进行几何变换直接进行几何变换复杂图形的几何变换复杂图形的几何变换5.2 5.2 二

9、维几何变换二维几何变换反射（反射（reflectionreflection）变换）变换:是围绕某一反射轴产生镜像图形的是围绕某一反射轴产生镜像图形的变换。变换。5.2.4 5.2.4 反射变换反射变换写出它们的变换矩阵？5.2 5.2 二维几何变换二维几何变换错切（错切（ShearShear）变换）变换:是一种使对象形状相对某个坐标轴是一种使对象形状相对某个坐标轴发生比例变化的变换。其效果相当于对发生比例变化的变换。其效果相当于对象内部夹层沿某一坐标方向发生滑动。象内部夹层沿某一坐标方向发生滑动。5.2.5 5.2.5 错切变换错切变换写出它们的变换矩阵？5.3 5.3 通用二维复合变换通用二

10、维复合变换复合变换复合变换:是指图形在几何上发生一次以上变是指图形在几何上发生一次以上变换，其变换结果是每次的变换矩阵相乘。换，其变换结果是每次的变换矩阵相乘。5.3 5.3 通用二维复合变换通用二维复合变换5.3.1 5.3.1 复合二维平移复合二维平移5.3 5.3 通用二维复合变换通用二维复合变换5.3.2 5.3.2 复合二维旋转复合二维旋转5.3 5.3 通用二维复合变换通用二维复合变换5.3.3 5.3.3 复合二维缩放复合二维缩放5.3 5.3 通用二维复合变换通用二维复合变换 旋转、缩放变换过程均与参考点有旋转、缩放变换过程均与参考点有关，前述基本几何变换都是相对于坐标关，前述

11、基本几何变换都是相对于坐标原点的变换。原点的变换。5.3.4 5.3.4 相对任一参考点的二维几何变换相对任一参考点的二维几何变换5.3 5.3 通用二维复合变换通用二维复合变换 而相对于某个参考点（而相对于某个参考点（xf,yfxf,yf）的二）的二维几何变换，其基本过程相同：维几何变换，其基本过程相同：（1 1）将参考点进行平移变换，使其与坐）将参考点进行平移变换，使其与坐标原点重合。变换式为标原点重合。变换式为T(-xf,-yf)T(-xf,-yf)。（2 2）针对原点进行二维几何变换。变换）针对原点进行二维几何变换。变换式为式为R()R()或或S S（SxSx，SySy）。）。（3 3

12、）进行逆平移变换，将参考点移回原）进行逆平移变换，将参考点移回原始位置。变换式为始位置。变换式为T(xf,yf)T(xf,yf)。5.3.4 5.3.4 相对任一参考点的二维几何变换相对任一参考点的二维几何变换5.4 5.4 二维坐标系变换二维坐标系变换 在计算机图形应用中经常需要在不在计算机图形应用中经常需要在不同的坐标系间进行变换。同的坐标系间进行变换。5.4 5.4 二维坐标系变换二维坐标系变换5.4.1 5.4.1 指定角度和原点位置的指定角度和原点位置的2 2个笛卡尔坐标系间的转换个笛卡尔坐标系间的转换5.4 5.4 二维坐标系变换二维坐标系变换 指定向量和原点位置的指定向量和原点位

13、置的2 2个笛卡尔坐标系间的转换个笛卡尔坐标系间的转换5.5 5.5 三维空间的几何变换三维空间的几何变换 三维空间的几何变换是在二维空间三维空间的几何变换是在二维空间几何变换的基础上拓展了几何变换的基础上拓展了z z轴所代表的第轴所代表的第三维空间变换，其特点如下：三维空间变换，其特点如下：（1 1）在平移、旋转、缩放等变换中增加）在平移、旋转、缩放等变换中增加了第三维分量；了第三维分量；（2 2）旋转变换的参考对象由二维变换中）旋转变换的参考对象由二维变换中以绕某个点坐标变化为绕某个旋转轴进以绕某个点坐标变化为绕某个旋转轴进行；行；（3 3）齐次坐标表示变为）齐次坐标表示变为4 4元列向量

14、，变元列向量，变换矩阵也变为换矩阵也变为4444矩阵。矩阵。5.5 5.5 三维空间的几何变换三维空间的几何变换 三维平移变换是一种使得图形对象三维平移变换是一种使得图形对象沿沿x x、y y、z z方向移动一个位置的刚体几何方向移动一个位置的刚体几何变换。变换。三维平移变换三维平移变换5.5 5.5 三维空间的几何变换三维空间的几何变换 三维旋转的参考对象为一条直线三维旋转的参考对象为一条直线（称为旋转轴），该旋转轴最简单的情（称为旋转轴），该旋转轴最简单的情况是使用三个坐标轴，而较复杂的情况况是使用三个坐标轴，而较复杂的情况是绕任意轴的旋转。是绕任意轴的旋转。绕每个旋转轴的三维旋转可看成在

15、绕每个旋转轴的三维旋转可看成在另外另外2 2个坐标轴组成的平面内的二维旋转个坐标轴组成的平面内的二维旋转变换，而旋转轴坐标值不变。变换，而旋转轴坐标值不变。三维旋转变换也是只改变对象的位三维旋转变换也是只改变对象的位置和方向而不改变对象的大小的刚体变置和方向而不改变对象的大小的刚体变换。换。简单三维旋转变换简单三维旋转变换5.5 5.5 三维空间的几何变换三维空间的几何变换绕绕z z轴的旋转轴的旋转:简单三维旋转变换简单三维旋转变换5.5 5.5 三维空间的几何变换三维空间的几何变换 在三维缩放变换中也可区分为以坐在三维缩放变换中也可区分为以坐标原点做为参考点的简单变换和以任意标原点做为参考点

16、的简单变换和以任意点为参考点的复杂变换。点为参考点的复杂变换。三维缩放也是一种非刚体变换，缩三维缩放也是一种非刚体变换，缩放变换会引起图形对象大小和位置的改放变换会引起图形对象大小和位置的改变。变。简单三维缩放变换简单三维缩放变换5.5 5.5 三维空间的几何变换三维空间的几何变换 三维反射变换可以相对于给定的反三维反射变换可以相对于给定的反射轴，或相对于给定的反射平面来进行射轴，或相对于给定的反射平面来进行变换。变换。三维反射变换三维反射变换5.5 5.5 三维空间的几何变换三维空间的几何变换 三维错切变换可用来修改对象形状，三维错切变换可用来修改对象形状，也可用于透视投影的三维观察中。也可用于透视投影的三维观察中。三维错切变换三维错切变换5.5 5.5 三维空间的几何变换三维空间的几何变换 与二维复合变换相同，简单的三维与二维复合变换相同，简单的三维同类型变换遵守与二维变换相同的规律，同类型变换遵守与二维变换相同的规律，如两个连续三维平移的复合矩阵的结果如两个连续三维平移的复合矩阵的结果是相加的。是相加的。三维复合变换三维复合变换5.6 OpenGL5.6 OpenGL几何变换函数几何变换函数习题习题Q Q&A A？