离散数学代数结构-代数系统.pptx

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1、代数系统代数系统离散数学离散数学9.2 9.2 代数系统代数系统n代数代数或叫或叫代数系统代数系统,应用应用抽象抽象的方法，研究要处理的数学对的方法，研究要处理的数学对象象集合集合上的关系或上的关系或运算运算。n事物中的关系就是事物的事物中的关系就是事物的结构结构，所以，代数系统又称，所以，代数系统又称代数代数结构结构。n代数通常由三部分组成；代数通常由三部分组成；1 1一个一个集合集合，叫做，叫做代数的载体代数的载体。载体是要处理的数学目标的集合，如整数，实数集合等。载体是要处理的数学目标的集合，如整数，实数集合等。代数载体一般是代数载体一般是非空集合非空集合，不讨论载体是空集的代数。，不讨

2、论载体是空集的代数。2 2定义在集合上的定义在集合上的运算运算 定义在载体定义在载体S S上的运算是从上的运算是从S Sm m到到S S的一个映射的一个映射，自然数，自然数m m的值的值叫做运算的元数。叫做运算的元数。3 3特异元素特异元素，叫做代数常数，叫做代数常数 如幺元、零元、等幂元等如幺元、零元、等幂元等n代数通常用由集合、运算和特殊元素组成的代数通常用由集合、运算和特殊元素组成的n n元组元组表示表示 代数系统代数系统1 1、定义定义12 12 非空集合非空集合S S和和S S上上k k个一元或二元运算个一元或二元运算flfl，f2f2，fkfk组组成的成的系统系统称为一个称为一个代

3、数系统代数系统，简称，简称代数代数，记记作：作：S fk u例如例如 N+，Z ，R 都是代数系统，都是代数系统，M(R)其中其中 +和和*表示表示n n阶实矩阵阶实矩阵的加法和乘法的加法和乘法 Zn 是代数系统，其中是代数系统，其中 Zn=0Zn=0，1 1，2 2，n-1 n-1，+n n 和和*n n 分别表示模分别表示模n n的加法和乘法：的加法和乘法：对于对于 x x，yZn yZn，x+x+n n y=(x+y)mod n y=(x+y)mod n x*x*n n y=(x*y)mod n y=(x*y)mod nu有时将有时将特殊元素也放在特殊元素也放在系统的表达式中系统的表达式

4、中 V1 V1 V2 V2 V3 V3 2 2、同类型同类型的代数系统的代数系统定义定义13 13 如果两个代数系统中如果两个代数系统中运算的个数运算的个数相同，对应相同，对应运算的元数运算的元数相相同，且代数同，且代数常数的个数常数的个数也相同，则称这两个代数系统也相同，则称这两个代数系统具有相同具有相同的构成成分的构成成分，也称它们是，也称它们是同类型同类型的代数系统的代数系统如：代数系统如：代数系统 V2 V2 P(S)S V1 V1 R 1 V3 V3 T 均为同类型的均为同类型的代数系统。代数系统。注：同类型的代数系统并不是说它们的注：同类型的代数系统并不是说它们的代数性质相同代数性

5、质相同，仅说明它们，仅说明它们的代数成分相同。的代数成分相同。如上面的如上面的V1V1与与V2V2的代数性质是不相同的，而的代数性质是不相同的，而V2V2与与V3V3的代数性质的代数性质是相同的是相同的。n通常通常我们不去研究单个具体的代数，我们不去研究单个具体的代数，而是按照代数性质进行分类，而是按照代数性质进行分类，一个一个种类种类一个种类地一个种类地去研究代数去研究代数什么样的两个代数算是同什么样的两个代数算是同一一种类种类的的？1 1：要有相同的构成成分：要有相同的构成成分 如果两个代数包含有如果两个代数包含有同样个数同样个数的的运算和常数运算和常数且对应且对应运算的元运算的元数相同数

6、相同，则称两个代数有相同的构成成分，则称两个代数有相同的构成成分 两个代数有相同的构成成分，还不一定有本质的联系两个代数有相同的构成成分，还不一定有本质的联系2 2：要遵从相同的运算律要遵从相同的运算律 交换律、分配律、交换律、分配律、幂等律、吸收律幂等律、吸收律等等等等u具有具有相同构成成分相同构成成分和服从和服从相同运算律相同运算律的的代数称为同种类代数称为同种类的。的。u对代数系统分类，并一类一类的研究代数系统的对代数系统分类，并一类一类的研究代数系统的共同性质共同性质。3 3 相同相同代数性质代数性质(同种类）同种类）的代数系统的代数系统 引入引入代数系统的主要目的是研究具有相同代数性

7、质的代数系统，将相同代代数系统的主要目的是研究具有相同代数性质的代数系统，将相同代数系统归类，并分析该类代数系统的性质。数系统归类，并分析该类代数系统的性质。u代数系统代数系统 V V S,其中其中*是一个是一个可结合可结合的的二元运二元运算算,就代表了一类特殊的就代表了一类特殊的代数系统代数系统半群半群u许多许多具体的代数系统，如具体的代数系统，如Z0，R0，E，P(B)等都是与等都是与V V同类型代数系统同类型代数系统（半群）（半群）u代数系统代数系统 V V S ，其中其中 o o和和*是二元运算，并满是二元运算，并满足足 交换律、结合律、幂等律和吸收律，交换律、结合律、幂等律和吸收律，

8、那么那么V V 代表了另一类特殊的代表了另一类特殊的代数系统代数系统格格u实际实际中的代数系统中的代数系统 Zgcd，P(B)等都是格等都是格 这里的这里的1cm1cm和和gcdgcd分别表示求两个正整数的最小公倍数和最大公约数分别表示求两个正整数的最小公倍数和最大公约数 u代数系统代数系统 V V G ，其中，其中运算运算是可结合的，存在是可结合的，存在单位元单位元e,e,且且G G中的每个元素均为可逆元中的每个元素均为可逆元-代表代数系统代表代数系统-群群 ,对称差对称差,但但不是群不是群 只要只要将典型的将典型的V V S 代数系统的性质分析清楚了代数系统的性质分析清楚了，那么那么就可将

9、其性质应用的所有与之结构相同（同种类）的就可将其性质应用的所有与之结构相同（同种类）的代数系统中去代数系统中去。这种这种方法就是方法就是抽象代数的基本方法抽象代数的基本方法，也是代数结构课程的主，也是代数结构课程的主要要内容内容4 4、子代数系统、子代数系统定义定义14 14 设设V V S fk 是是代数系统代数系统,B B S S，如果如果B B对对flfl，f2f2，fkfk都是都是封闭的封闭的，且，且B B和和S S含有含有相同的代数相同的代数常数常数，则，则称称B fk 是是V V的的子代数系统子代数系统，简称，简称子子代数代数u有时将子代数系统有时将子代数系统简记为简记为B Bu例

10、例 +是是Z+的子代数，因为的子代数，因为N N对加法运算对加法运算+是封闭的是封闭的 N+也是也是Z 0 的子代数，因为的子代数，因为N N对加法对加法运算封闭运算封闭，且且N N中含有代数常数中含有代数常数0 0u注注：从子代数定义不难看出，子代数和原代数不仅具有相同的构：从子代数定义不难看出，子代数和原代数不仅具有相同的构成成分，是同类型的代数系统，而且对应的二元运算都具有相同成成分，是同类型的代数系统，而且对应的二元运算都具有相同的运算的运算性质。性质。u任何代数系统其子代数一定存在；最大的子代数是其本身。任何代数系统其子代数一定存在；最大的子代数是其本身。u如果代数常数构成子代数，最

11、小的子代数。如果代数常数构成子代数，最小的子代数。u最小和最大的的子代数成为平凡的子代数。最小和最大的的子代数成为平凡的子代数。u如果如果B B是是S S的真子集，则的真子集，则B B构成的子代数称为构成的子代数称为V V的真子代数。的真子代数。例例 设设 V=A,V=其中其中A=P(1A=P(1，2 2，3),3),为集合的对称差，给出为集合的对称差，给出V V的所有子代数，并说明哪些是平凡的子代数，哪些是真子代数。的所有子代数，并说明哪些是平凡的子代数，哪些是真子代数。解：解：A=A=，1,2,3,11,2,3,1，2,12,1，3,23,2，3,13,1，2 2，33 根据对称差的运算根

12、据对称差的运算 可知可知 B1=B1=是平凡的真子代数，是平凡的真子代数，V V 是是平凡子代数平凡子代数 B2=B2=,1,1，验证是否对运算封闭：验证是否对运算封闭：因为因为1 1=1 1=,1 ,1 =1,=1,=是真是真子代数。子代数。同理可证：同理可证：B3B3 =,2,B4=,2,B4=,3,3，B5=B5=,1,1，2,2,B6=B6=,1,1，33，B7=B7=,1,B8=,1,B8=,1,1，2 2，3 3 B9=B9=,1,1，2,12,1，22 B10=B10=,1,1，3,13,1，3 3 B11=B11=,3,3，2,32,3，22 分别为含有分别为含有2 2个元素和

13、个元素和4 4个元素的真子代数。个元素的真子代数。*0ab100000a0a0ab00bb10ab1 B,*,+,0,1 中中的的0 0是运算是运算+的幺元，的幺元，1 1是运算是运算*的幺元的幺元 是代数系统且是是代数系统且是真子代数真子代数S1,*,+a,1 是代数系统是代数系统 不是代数系统（运算不封闭）不是代数系统（运算不封闭）例：例：设设B=0,a,b,1B=0,a,b,1，S1=a,1 S2=0,1 S3=a,b S1=a,1 S2=0,1 S3=a,b 二元运算二元运算+和和*由表给出由表给出，则：，则：1 1）是是代数系统吗？代数系统吗？2 2）是代数系统吗？是代数系统吗？是是的子代数吗？的子代数吗？3 3）是是的子代数吗？的子代数吗？4 4）是代数系统吗？是代数系统吗？+0ab100ab1aaa11bb1b111111 V1V2V3+,*可交换可结合，可交换可结合，可交换可结合*对+可分配互相可分配互相可分配*，+无等幂律,都有等幂律都有等幂律*，+无吸收律,有吸收律都有吸收律*，+有消去律,无消去律无消去律返回返回V1 V1 R 1 V2 V2 P(S)S V3 V3 T