高考数学专题复习精课件-11二次函数与方程、不等式.ppt

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1、1.一般式一般式:y=ax2+bx+c(a0);一、二次函数的解析式一、二次函数的解析式2.顶点式顶点式:y=a(x-m)2+n(其中其中(m,n)为抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标);3.两两根根式式:y=a(x-x1)(x-x2)(其其中中x1,x2为为抛抛物物线线与与 x 轴轴两两交交点点 的横坐标的横坐标);注注:求二次函数的解析式求二次函数的解析式,一般都采用待定系数法一般都采用待定系数法.做题时做题时,要根据题设条件要根据题设条件,合理地设出解析式合理地设出解析式.二、二次函数的图象二、二次函数的图象有有关关知知识识:图图象象形形状状;对对称称轴轴;顶顶点点坐坐标标;与与 x 轴

2、轴交交点点坐坐标标;截截 x 轴线段长轴线段长.三、二次函数的性质三、二次函数的性质1.当当 a0 时时,抛抛物物线线开开口口向向上上,函函数数在在(-(-,-上上单单调调递递减减,在在-,+)上单调递增上单调递增,当当 x=-时时,f(x)取得最小值取得最小值,为为 .2ab2ab2ab4a4ac-b2 2.当当 a0)在在m,n上的最值上的最值2.若若 x0 m,n,则则(1)当当 x0n 时时,f(x)min=f(n),f(x)max=f(m).五、不等式五、不等式 ax2+bx+c0 恒成立问题恒成立问题1.若若 x0=-m,n,则则 f(x)min=f(x0)=,f(m),f(n)中

3、中的较大者即为的较大者即为 f(x)在在 m,n 上的最大值上的最大值.2ab4a4ac-b2 1.ax2+bx+c0在在R上恒成立上恒成立.a0=b2-4ac0.或或ax2+bx+c0在在R上恒成立上恒成立.a0=b2-4ac0,a=b=0 c0(a0)在在 m,n 上恒成立上恒成立.f(m)0,-m 2ab=b2-4ac0.-n 2ab或或 f(x)min0(xm,n)f(x)=ax2+bx+c0)在在 m,n 上恒成立上恒成立.f(n)0.f(m)0)的实根分布问题的实根分布问题记记 f(x)=ax2+bx+c(a0),=b2-4ac0.x1+x2=-0 abacx1x2=0 =b2-4

4、ac0 f(0)0.-0 2ab2.方程方程 f(x)=0 有两负根有两负根=b2-4ac0.x1+x2=-0 =b2-4ac0 f(0)0.-0.-k 2ab3.方程方程 f(x)=0 有一正根一负根有一正根一负根 c0.5.方程方程 f(x)=0 的两实根一个大于的两实根一个大于 k,另一个小于另一个小于 k f(k)0.-k 2ab7.方程方程 f(x)=0 的两实根都在区间的两实根都在区间(m,n)内内 f(m)0 =b2-4ac0 m-0.8.方程方程 f(x)=0 的两实根中的两实根中,有且只有一个在区间有且只有一个在区间(m,n)内内.f(m)f(n)0,或或f(m)=0 m-,

5、2abm+n 2-n.2abm+n 2f(n)=0 或或 思考思考 方程的两根有且只有一个在区间方程的两根有且只有一个在区间m,n上时等价于上时等价于?9.方程方程 f(x)=0 的两根分别在区间的两根分别在区间(m,n)和和(p,q)(n0 f(n)0 f(p)0.注注 涉及方程涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a0)的实根分的实根分布问题布问题,一般情况下要从四个方面考虑一般情况下要从四个方面考虑:f(x)图象的开口方向图象的开口方向;方程方程 f(x)=0的判别式的判别式;区间端点处函数值的符号区间端点处函数值的符号.f(x)图象的对称轴与区间的关系图象的对称轴与区间的关系;0=

6、00)的图象的图象二次函数二次函数y=ax2+bx+cxyx1x2x1=x2xyooxy(a0)的解集的解集ax2+bx+c0 x|x1x0)的根的根有两相异实根有两相异实根 x1,x2(x10)的解集的解集Rax2+bx+c0 x|xx2x|x-2ab八、典型例题八、典型例题1.已知二次函数已知二次函数 f(x)满足满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且且 f(x)的最大值的最大值是是 8,试确定此二次函数的解析式试确定此二次函数的解析式.解法一解法一:利用二次函数的一般式利用二次函数的一般式.故所求函数的解析式为故所求函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7.设设f(x)=ax2+

7、bx+c(a0),则则4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,=8.4a4ac-b2 a=-4,b=4,c=7.解得解得解法二解法二:利用二次函数的顶点式利用二次函数的顶点式.设设f(x)=a(x-m)2+n,f(2)=f(-1)=-1,抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线 x=,12m=.12又又 f(x)的最大值是的最大值是 8,n=8.f(x)=a(x-)2+8,12f(2)=-1,a(2-)2+8=-1,12a=-4.故所求函数的解析式为故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7.12解法三解法三:利用二次函数的两根式利用二次函数的两根式.由已知由已知 f

8、(x)+1=0 的两根为的两根为 2 和和-1,故可设故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1),从而从而 f(x)=a(x-2)(x+1)-1.即即 f(x)=ax2-ax-2a-1.又又 f(x)的最大值是的最大值是 8,4a4a(-2a-1)-a2 =8,解得解得 a=-4 或或 a=0(舍去舍去).故所求函数的解析式为故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-2)(x+1)=-4x2+4x+7.f(x)在区间在区间 0,2 上的最小上的最小值为值为 3,可分情况讨论如下可分情况讨论如下:2.已知函数已知函数 f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2 在区间在区间 0,2 上有最小值上有

9、最小值 3,求实数求实数 a 的值的值.解解:由已知由已知 f(x)=4(x-)2-2a+2.a2a2(1)当当 0,即即 a0 时时,函数函数 f(x)在在 0,2 上是增函数上是增函数.f(x)min=f(0)=a2-2a+2.a2(2)当当 0 2,即即 0a0,且当且当 xa 时时,S=(x-3)2+y2 的最小值的最小值为为 4,求参数求参数 a 的值的值.解解:由已知由已知 S=(x-3)2+y2=(x-3)2+4a(x-a)=x-(3-2a)2+12a-8a2.当当 xa 时时,S(x)=x-(3-2a)2+12a-8a2 的最小值为的最小值为 4,对正数对正数 a,可分情况讨论

10、如下可分情况讨论如下:(1)当当 3-2a1 时时,函数函数 S(x)在在 a,+上是增函数上是增函数.S(x)min=S(a)=(a-3)2.由由(a-3)2=4 得得:a=1 或或 5.a1,a=5.(2)当当 3-2aa,即即 0a1 时时,S(x)min=S(3-2a)=12a-8a2.由由 12a-8a2=4 得得:a=1 或或 ,12均满足均满足 00 的解集是的解集是(-(-,),求求 a,b,c 的取值范围的取值范围.1213解解:由已知由已知,二次方程二次方程 ax2+bx+c-250 有实根有实根.=b2-4a(c-25)0.又不等式又不等式 ax2+bx+c0 的解集是的

11、解集是(-(-,),1213 a0.1616 b=-c,c2+24c(c-25)0.解得解得:c24.b-24,a-144.故故 a,b,c 的取值范围分别是的取值范围分别是 a-144,b-24,c24.代入代入 b2-4a(c-25)0 得得:5.已知已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点的图象过点(-1,0),是否存在常数是否存在常数 a,b,c,使不等式使不等式 xf(x)对一切实数对一切实数 x 都成立都成立?x2+1 2则由则由f(x)=ax2+bx+c的图象过点的图象过点(-1,0),得得 a-b+c=0.xf(x)对一切实数对一切实数 x 都成立都成立,当当 x=1 时也成立

12、时也成立,x2+1 2 1f(1)1,即即 f(1)=1,得得 a+b+c=1.由由,得得:a+c=b=.121212 f(x)=ax2+x+-a.解解:假设假设存在常数存在常数 a,b,c,使题中不等式对一切实数使题中不等式对一切实数 x 都成立都成立.1212故应故应xax2+x+-a 对一切实数对一切实数 x 都成立都成立.x2+1 2即即2ax2-x+1-2a0与与(1-2a)x2-x+2a0对一切实数对一切实数 x 都成立都成立.则必有则必有:1-8a(1-2a)0,即即(4a-1)20.14 a=.1214 c=-a=.x2+1 214故存在一组常数故存在一组常数:a=,b=,c=

13、,使不等式使不等式 xf(x)对一切实数对一切实数 x 都成立都成立.1412其中其中,0a0,求实数求实数 a 的取值范围的取值范围;(2)若对若对-1,1 上的一切实数上的一切实数 m,都有都有 f(m)0,求实数求实数 a 的取值范的取值范围围.解解:f(x)的图象是开口向上的抛物线的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为直线其对称轴为直线 x=a-1.(1)问题等价于问题等价于“对于对于 x-1,1,有有 f(x)max0.”讨论如下讨论如下:当当 a-10 即即 a1 时时,f(x)max=f(1)=-a2-2a+15.由由-a2-2a+150 得得:-5a3.a1,-50 即即 a1

14、时时,f(x)max=f(-1)=-a2+6a+7.由由-a2+6a+70 得得:-1a1,1a7.综上所述综上所述,-5a0.”讨论如下讨论如下:当当 a-1-1 即即 a0 得得:-1a7.a0,-1a0 恒成立恒成立.0a2.注注:亦亦可用补集可用补集法求解法求解.综上所述综上所述,-1a1 即即 a2 时时,f(x)min=f(1)=-a2-2a+15.由由-a2-2a+150 得得:-5a2,2a0),方程方程 f(x)-x=0 的两根的两根x1,x2 满足满足 0 x1x2 .(1)当当 x(0,x1)时时,证明证明:xf(x)x1;(2)设函数设函数 f(x)的图象关于直线的图象

15、关于直线 x=x0 对称对称,证明证明:x0 .1a2x10 x1x20,1+a(x-x2)=1+ax-ax21-ax20.1a当当 x(0,x1)时时,由由 x10 有有:F(x)=a(x-x1)(x-x2)0.即即 f(x)-x0,从而从而 f(x)x.又又 x1-f(x)=x1-x+F(x)=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)1+a(x-x2).x1-f(x)0,从而从而 x1f(x).故当故当 x(0,x1)时时,有有 xf(x)x1;(2)依题意依题意 x0=-.2ab由于由于 x1,x2 是方程是方程 f(x)-x=0 即即 ax2+(b-1)x+c=0 的两根的两

16、根,x1+x2=-,b=1-a(x1+x2).b-1 a x0=-2ab1-a(x1+x2)2a=-a(x1+x2)-1 2a=.ax21,即即ax2-10,2x1a(x1+x2)-1 2a=.x0 2aax1故故 x00 在在 0,上恒成立上恒成立,求实数求实数 a 的取值范围的取值范围.解解:(1)令令 t=sinx,则方程则方程 2sin2x-4asinx+1-a=0 在在 0,上有两上有两个个 不同的解等价于不同的解等价于:方程方程 2t2-4at+1-a=0 有一根为有一根为 0,另一根不在另一根不在(0,1)内内;或方程或方程 2t2-4at+1-a=0 在在(0,1)内有两等根内

17、有两等根;或方程或方程 2t2-4at+1-a=0 有一解在有一解在(0,1)内内,另一解在另一解在 0,1 外外.当当 t=0 时时,a=1,方程方程 2t2-4at+1-a=0 的另一根为的另一根为 2 且且 2(0,1),a=1 适合题意适合题意;方程方程 2t2-4at+1-a=0 有两等根时有两等根时,由由=16a2-8(1-a)=0 得得:a=-1 或或.12a=-1时时,方程方程 2t2-4at+1-a=0 的两等根为的两等根为-1 但但-1(0,1),a=-1 不合题意不合题意,舍去舍去;12又又a=时时,方程方程 2t2-4at+1-a=0 的两等根为的两等根为 且且(0,1

18、),1212a=适合题意适合题意;12 设设 f(t)=2t2-4at+1-a,则方程则方程 2t2-4at+1-a=0有一解在有一解在(0,1)内内,另一解在另一解在 0,1 外等价于外等价于:f(0)f(1)0,即即(1-a)(3-5a)0.解得解得 a1.35综上所述综上所述,实数实数 a 的取值范围是的取值范围是 a=,或或 0 在在 0,上恒上恒成立等价于不等式成立等价于不等式 2t2-4at+1-a0 在在 0,1 上恒成立上恒成立.等价于等价于 或或 或或a0 0a1 f(a)0 a1 f(1)0.即即 或或 或或a0 0a1 2a2+a-11 3-5a0.解得解得 a ,12此

19、即为所求实数此即为所求实数 a 的取值范围的取值范围.解法二解法二:分离参数分离参数:a=(0sinx0,当当x(-,-3)(2,+)时时,f(x)0.(1)求求 f(x)在在 0,1 上的上的值域值域;(2)c 为何值时为何值时,ax2+bx+c0 的解集为的解集为 R.10.已知二次函数已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c R)同同时满足下列条时满足下列条件件:f(-1)=0;对任意的实数对任意的实数 x 都有都有 f(x)-x0;当当 x(0,2)时时,有有 f(x)()2.(1)求求 f(1);(2)求求a,b,c 的值的值;(3)若当若当 x-1,1 时时,函数函数

20、g(x)=f(x)-mx(m为实数为实数)是单调函数是单调函数,求求 m 的取值范围的取值范围.x+1 211.已知函数已知函数 f(x)=ax2+4x+b(a0,a,b R).设关于设关于 x 的方程的方程f(x)=0 的两根分别为的两根分别为 x1,x2,f(x)=x 的两根分别为的两根分别为,.(1)若若|-|=1,求求 a,b 满足的关系式满足的关系式;(2)若若 a,b 均为负整数均为负整数,且且|-|=1,求求f(x)的解析式的解析式;(3)若若 1 2,求证求证:(x1+1)(x2+1)7.12,18;c-.1225f(1)=1;,;m0 或或 m1.141214a2+4ab=9(a0,a,b R);f(x)=-x2+4x-2.a=-3,b=5.