大学概率与统计第2节概率.ppt

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1、第二节第二节1研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率就是事件的概率.概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！2现在，让我们看一个现在，让我们看一个 的故事的故事从死亡线上生还从死亡线上生还本来，这位犯臣抽到本来，这位犯臣抽到“生生”还是还是“死死”是一个随机事件，且抽到是一个随机事件，且抽到“生生”和和“死死”的可的可能性各占一半，也就是各有能性各占一半，也

2、就是各有 1/2 概率概率.但由于国但由于国王一伙王一伙“机关算尽机关算尽”，通过偷换试，通过偷换试 验条件，想验条件，想把这种把这种 概率只有概率只有1/2 的的“抽到死签抽到死签”的随机事的随机事件，变为概率为件，变为概率为 1 的必然事件，终于搬起石头砸的必然事件，终于搬起石头砸了自己的脚，反使犯臣得以死里逃生了自己的脚，反使犯臣得以死里逃生.3 了解事件发生的可能性即概率的大小，对人了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？下面举几个例子们的生活有什么意义呢？下面举几个例子.例如，了解发生意外人身事故的可能性大小例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额确定

3、保险金额.4 了解来商场购物的顾客人数的各种可能了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员性大小，合理配置服务人员.5 了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度确定堤坝高度.6 对一个随机事件对一个随机事件A，我们用一个数我们用一个数 P(A)来表示来表示 A 发生的可能性大小，称之为随机事件发生的可能性大小，称之为随机事件A 的的概率概率.那么，怎么来规定那么，怎么来规定 P(A)的大小呢？的大小呢？7定义定义 在相同的条件下进行在相同的条件下进行n次试次试 验验,其中事件其中事件A 发发生的次数生的次数nA称为称为频数频数

4、,比值比值nA/n称为称为频率频率,记为记为fn(A).).既然概率既然概率 P(A)度量了随机事件度量了随机事件A发生的可能性大小，发生的可能性大小，可以预料，在大量的重复试验中，若可以预料，在大量的重复试验中，若P(A)较大，则频较大，则频率也较大率也较大;反之，若反之，若P(A)较小，则较小，则 频频 率也较小，而且率也较小，而且概率概率P(A)应与频率有许多相似的性质应与频率有许多相似的性质.下面我们先对下面我们先对频率的性质进行一番考察频率的性质进行一番考察.一、事件的频率与概率一、事件的频率与概率8这个性质称为这个性质称为频率的可加性频率的可加性.当大量重复同一当大量重复同一试验时

5、试验时，事件，事件A发发生的生的频频率往往率往往 呈呈现现一定的一定的稳稳定性定性.9例例1 1 历史上曾有人做过试验历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等硬币时，出现正反面的机会均等.实验者实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K.Pearson 12000 6019 0.5016K.Pearson 24000 12012 0.500510数据引自数据引自L.Brillouin,Science and Information Theory,New York,1

6、956例例2 2 英文字母被使用的频率相当稳定英文字母被使用的频率相当稳定.字母使用频率的研究，对键盘设计、铅字铸造、字母使用频率的研究，对键盘设计、铅字铸造、信息编码、密码破译等方面都是十分有用的信息编码、密码破译等方面都是十分有用的.11请回答请回答:福尔摩斯破密码福尔摩斯破密码请看请看福尔摩斯为什么能破译出那份密码福尔摩斯为什么能破译出那份密码?对案情的深入了解和分析；对案情的深入了解和分析；运用字母出现的规律运用字母出现的规律.1213二、概率的公理化定义二、概率的公理化定义定义定义 如果对任意事件如果对任意事件A，都有一个实数都有一个实数 P(A)，满足满足以下条件：以下条件：(1)

7、非负性非负性(2)规范性规范性(3)可列可加性可列可加性则称则称 P(A)为事件为事件A的的概率概率.14三、概率的性质三、概率的性质 由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质干性质.下面我们给出概率的一些下面我们给出概率的一些重要性质重要性质.性质性质1 1 证证利用概率的可列可加性及规范性，有利用概率的可列可加性及规范性，有 再由概率的非负性，再由概率的非负性，15性质性质2 2(有限可加性有限可加性)证证由可列可加性及性由可列可加性及性质质1 1，得，得 16性质性质3 3证证特别地，特别地，对对立事件立事件的概率有的概率有事件组，则有事件组

8、，则有17性质性质3 3证证特别地，特别地，对对立事件立事件的概率有的概率有事件组，则有事件组，则有18性质性质4 4证证由可加性知由可加性知,移项即得结论移项即得结论.19推推论论2.2.对对任意事件任意事件A,有有注注若没有条件若没有条件则公式应改为则公式应改为性质性质4 4证证由可加性知由可加性知,移项即得结论移项即得结论.20性质性质5 5(加法公式加法公式)证明证明对任意两个事件对任意两个事件A,B,有有由性由性质质4 4得得 推论：推论：一般地，一般地，21推广推广：三个事件的加法公式三个事件的加法公式证明留作练习证明留作练习.一般地一般地,22例例3 3解解23例例4 4解解(1

9、)A发发生但生但B不不发发生的概率生的概率为为 (2)B发发生但生但A不不发发生的概率生的概率为为 (3)A与与B至少有一个至少有一个发发生的概率生的概率为为 24例例5 5解解25四、古典概型四、古典概型假定某个试验有假定某个试验有有限个有限个可能的结果可能的结果 假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei 比任一比任一其他结果例如其他结果例如ej 更有优势，则我们只好认为所有结更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即果在试验中有同等可能的出现机会，即 1

10、/N的出现的出现机会机会.e1,e2,eN ,26常常把这样的试验结果称为常常把这样的试验结果称为“等可能的等可能的”.试验结果试验结果e1,e2,，eN 你认为哪个你认为哪个结果出现的结果出现的可能性大？可能性大？272 3479108615 例如，一个袋子中装有例如，一个袋子中装有10个大小、形个大小、形 状完全状完全相同的球相同的球.将球编号为将球编号为110.把球搅匀，闭上眼把球搅匀，闭上眼睛，从中任取一球睛，从中任取一球.因为抽取时这些球是完全平因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为等的，我们没有理由认为10个球个球中的某一个会比另一个更容易取中的某一个会比另一个更容易取得得

11、.也就是说，也就是说，10个球中的任一个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为个被取出的机会是相等的，均为1/10.28称这种试验为称这种试验为古典概型古典概型.若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同.称此概率为称此概率为 古典概率古典概率.这种确定这种确定 概率的方法称概率的方法称为为古典方法古典方法.定义定义(概率的概率的古典定义古典定义)在古典概型下，若所有基在古典概型下，若所有基本事件本事件总总数数为为n，而事件而事件A包含了其中的包含了其中

12、的m个个(称称为为有利有利场场合数合数)，那么事件，那么事件A的概率定的概率定义为义为 29求概率问题转化为求概率问题转化为计数问题计数问题.排列组合排列组合是计算古典概率的重要工具是计算古典概率的重要工具.基本计数原理基本计数原理1.加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m类方式，类方式，第一类方式有第一类方式有n1种方法，种方法，第二类方式有第二类方式有n2种方法种方法,第第m类方式有类方式有nm种方法种方法.则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1+n2+nm 种方法种方法.特点特点:一步完成一步完成30 例如，某人要从甲地到乙地去例如，某人要从甲地到乙地去,甲地甲地乙地乙地 可以

13、乘火车可以乘火车,也可以乘轮船也可以乘轮船.火车有两班火车有两班轮船有三班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3+2 种方法种方法回答是回答是31基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法.2.乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法.特点：多步完成特点：多步完成 例如例如,A地到地到B地有两种走法地有两种走法,B地到地到C地有三种地有三种走法走法,C地地 到到

14、 D地有四种走法地有四种走法,则则 A地到地到 D 地共有地共有种走法种走法.32特别特别,k=n时称时称全排列全排列排列、组合的定义及计算公式排列、组合的定义及计算公式1.排列排列:从从n个元素中取个元素中取 k个个不同不同元素的排列数为：元素的排列数为：阶乘阶乘 若允许重复若允许重复,则从则从n个元素中取个元素中取 k个元素的个元素的排列数为：排列数为：注意注意332.组合组合:从从n个元素中取个元素中取 k个元素的组合数为：个元素的组合数为：推广推广:n个元素分为个元素分为s组，各组元素数目分别为组，各组元素数目分别为r1,r2,rs的分法总数为的分法总数为34例例6 在在11张卡片上分

15、别写上张卡片上分别写上 probability 这这 11 个个 字字母，从中任取母，从中任取7 张，求其恰好排列成张，求其恰好排列成 ability 的概率的概率.假定字母假定字母b及及i是可辨的，是可辨的，解解古典概率计算举例古典概率计算举例35 至少有两张同号的情况比较复杂，但它的反面至少有两张同号的情况比较复杂，但它的反面即没有同号的概率比较容易求，即没有同号的概率比较容易求，例例7 7 某某一一副副扑扑克克牌牌1313张张黑黑桃桃，有有放放回回取取3 3次次，求求至至少少有两张同号的概率有两张同号的概率.分析分析解解36例例8 某城市的电话号码由某城市的电话号码由5个数字组成，每个数

16、字可个数字组成，每个数字可能是从能是从 09 这这10个数字中的任一个，求电话号码由个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率个不同数字组成的概率.解解问：问：错在何处？错在何处？计算样本空间样本点总数和所求事件计算样本空间样本点总数和所求事件所含样本点数计数方法不同所含样本点数计数方法不同.从从10个数字中取个数字中取5个个不同数字的排列不同数字的排列允许重复的排列允许重复的排列37例例9 9 在在1 2000的整数中任取一数，求取到的数的整数中任取一数，求取到的数（1）能被能被6或或8整除的概率；整除的概率；（2）既不能被既不能被6也不能被也不能被8整除的概率；整除的概率；（3）

17、能被能被6整除而不能被整除而不能被8整除的概率整除的概率.解解38例例9 9 在在1 2000的整数中任取一数，求取到的数的整数中任取一数，求取到的数（1）能被能被6或或8整除的概率；整除的概率；（2）既不能被既不能被6也不能被也不能被8整除的概率；整除的概率；（3）能被能被6整除而不能被整除而不能被8整除的概率整除的概率.39练练习习 在在1 1 1000010000的的整整数数中中任任取取一一数数，求求取取到到的的数数能被能被4,5,64,5,6之一整除的概率之一整除的概率.解解转下页转下页40例例10 10 假设电话号码为假设电话号码为8 8位数（第一位数不为位数（第一位数不为0），），

18、解解引进事件：引进事件：则则易见易见 所以所以41例例11 设有设有N件产品件产品,其中有其中有M件次品件次品,现从这现从这 N件件中任取中任取n件件,求其中恰有求其中恰有k件次品的概率件次品的概率.这是一种不放回抽样这是一种不放回抽样,称称为为超几何分布超几何分布.次品次品正品正品M件次件次品品N-M件件正品正品解解思考思考:若是放回抽样呢若是放回抽样呢?42例例12 全班有全班有50个学生，问至少有两人生日相同的个学生，问至少有两人生日相同的概率为多少？（设一年有概率为多少？（设一年有365天）天）解解事件总数事件总数:有利场合数有利场合数:概率之大有点出乎意料概率之大有点出乎意料.从下表

19、中可以看出从下表中可以看出,当人数超过当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有时，打赌说至少有两人同生日是有利的利的.43 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994有人同生有人同生日的概率日的概率人数人数44例例13 一个家庭中，若有两个孩子，问恰都是男孩一个家庭中，若有两个孩子，问恰都是男孩的概率为多大？假定男女出生率相同的概率为多大？假定男女出生率相同.解解以下解法是错误的以下解法是错误的:样本空间取为样本空间取为两男两男,两女两女,一男一女一男一女,所以所以 p=1

20、/3.注意注意：在古典概型中，样本空间中的基本事件必须：在古典概型中，样本空间中的基本事件必须是是等可能的等可能的.错误在于样本点不是等可能的错误在于样本点不是等可能的.正确的解法是正确的解法是:样本空间取为样本空间取为(男男,男男),(),(男男,女女),(),(女女,男男),(),(女女,女女).所以所以 p=1/4.45四只猫的性别四只猫的性别 M：很很容容易易作作出出错错误误的的概概率率计计算算.这这儿儿有有两两只只猫猫已已住住在一起在一起.猫先生猫先生：亲爱的，我们的新房舍中有几只小猫？亲爱的，我们的新房舍中有几只小猫？猫太太猫太太：你不会数呀？你不会数呀？4 4只，你这个笨蛋只，你

21、这个笨蛋.猫先生猫先生：几只雄猫？几只雄猫？猫太太猫太太：很难说，我也不知道呢很难说，我也不知道呢.猫先生猫先生：4 4只猫都是雄的不太可能只猫都是雄的不太可能.猫太太猫太太：也不可能也不可能4 4只都是雌猫只都是雌猫.猫先生猫先生：也许只有也许只有1 1只是雄猫只是雄猫.猫太太猫太太：或许只有或许只有1 1只是雌猫只是雌猫.课外读物46M：猫先生的理由对不对？猫先生的理由对不对？让让我我们们来来检检验验它它的的理理论论.用用B表表示示雄雄猫猫,用用G表表示示雌雌猫猫，这就很容易列出这就很容易列出1616种同等可能的情况种同等可能的情况.M：在在1616种中只有两种是所有猫都具有同种中只有两种

22、是所有猫都具有同样样性性别别，所，所以，以，这这种情况种情况发发生的概率是生的概率是2/16,或或1/8.猫先生猫先生认为这认为这种种情况具有最低概率是情况具有最低概率是对对的的.M：现现在在,让让我我们检验们检验一下一下22分配，猫先生分配，猫先生认为这认为这是是可能性最大的一种可能性最大的一种.这这种情况有种情况有6 6次，所以其次，所以其 概率是概率是6/16，或，或3/8.这显这显然比然比1/8高高.猫先生也猫先生也许许是是对对的的.猫先生猫先生：这也不是很难想出来的这也不是很难想出来的,亲爱的亲爱的.每只猫是雄每只猫是雄是雌的机会是一半对一半是雌的机会是一半对一半,所以很明显所以很明

23、显,最有可能的结最有可能的结果是两个雄的果是两个雄的,两个雌的两个雌的.你还不能把它们算出来吗？你还不能把它们算出来吗？47M：可可是是，我我们们还还有有一一个个更更大大可可能能的的情情况况要要考考虑虑：31分分配配，由由于于这这种种情情况况有有8次次，其其概概率率是是8/16或或1/2.这这就就比比22分配高分配高.我们大概是搞错了吧我们大概是搞错了吧.一家一家 4 4个孩子最可能的个孩子最可能的 情况是情况是 3 3个孩子是一种性个孩子是一种性别别，另一孩子是另一种性，另一孩子是另一种性别别，而不是，而不是 两个男孩、两个两个男孩、两个女孩，女孩，这这一点使大多数学生感到惊一点使大多数学生

24、感到惊讶讶.M：如果我如果我们们算出的概率是算出的概率是对对的，它的，它们们相加相加应应等于等于l.加加一加果然一加果然为为1.这这就向我就向我们说们说明，三种情况都会明，三种情况都会发发生生,猫猫先生猜先生猜错错了，最可能的情况是了，最可能的情况是31，而不是，而不是22.在班在班级级里，用里，用 4个硬个硬币币反复抛反复抛掷掷很容易作出很容易作出试验试验.将每次抛将每次抛掷结掷结果果记录记录下来下来.在抛了在抛了100次之后，差不多次之后，差不多有有50次是次是31组组合，而合，而22组组合大合大约约是是33次次.48 在做了在做了这这个个练习练习之后，之后，大家可以考虑大家可以考虑在一个

25、有在一个有5 5个个孩子或孩子或6 6个孩子的家庭中不同性个孩子的家庭中不同性别组别组合的概率合的概率.一个一个类类似的似的问题问题是关于一手是关于一手桥牌桥牌中中4 4种花色的最可种花色的最可能分布，其答案也同能分布，其答案也同样违样违反直反直觉觉.最不可能的情形自然最不可能的情形自然是是 拿到同一花色的拿到同一花色的1313张张牌（你拿到牌（你拿到这这手牌的可能性是手牌的可能性是分之一）分之一）.可是最可能出可是最可能出现现的情况是什么呢？的情况是什么呢？即使是很有即使是很有经验经验的的桥桥牌手也往往猜想答案是牌手也往往猜想答案是4，3，3，3.这这就就错错了了.最可能的一手牌是最可能的一

26、手牌是4，4，3，2.你可以期你可以期望望这类这类牌大牌大约约要要5 5圈拿到一次；而圈拿到一次；而4，3，3，3这这种分布种分布则则大大约约要每要每9 9圈或圈或1010圈才能拿一次圈才能拿一次.就是就是5，3，3，2这这种种分布也可能是每分布也可能是每6 6圈拿一次圈拿一次.49 在古典概型的场合，容易知道概率有以下三个在古典概型的场合，容易知道概率有以下三个基本性质基本性质：(1)非负性非负性(2)规范性规范性(3)可加性可加性(1)(2)是显然的，下面说明是显然的，下面说明(3).由于由于A,B互斥互斥,故它故它们们所包含的所包含的样样本点是不重复的，本点是不重复的，设设分分别为别为k

27、个和个和l个个,则则AB所包含的所包含的样样本点数本点数为为k+l个，个，所以所以50*五、几何概率模型五、几何概率模型几何概型几何概型借助于几何度量确定事件的概率，借助于几何度量确定事件的概率，习习惯上称这种概率为惯上称这种概率为几何概率几何概率类似于古典概类似于古典概型的有限性和等可能性，几何概型满足下述型的有限性和等可能性，几何概型满足下述两两个特征：个特征：其几何度量其几何度量度、面积或体积等）大小可用度、面积或体积等）大小可用表示；表示；1 1随机试验的样本空间随机试验的样本空间充满某个区域，充满某个区域，51事件事件A A的概率为的概率为对于几何概型下的任何事件对于几何概型下的任何

28、事件A A，若，若A A对应于对应于中的某中的某个子区域，其几何度量可用个子区域，其几何度量可用表示，则表示，则2 2任意一点落在任意一点落在中任何子区域的概率只中任何子区域的概率只与与其几何度量有关，并与之成正比其几何度量有关，并与之成正比52例例1.121.12 某地铁车站每隔某地铁车站每隔5 5分钟有一列车通分钟有一列车通过，乘客到达车站的时刻是随机的，求一位乘过，乘客到达车站的时刻是随机的，求一位乘客候车时间不超过客候车时间不超过3 3分钟的概率分钟的概率记记A=A=候车时间不超过候车时间不超过3 3分钟分钟 则则 这里这里和和分别表示分别表示A A和和的长度的长度解解 设设x x为乘

29、客到达车站的时刻，则样本空为乘客到达车站的时刻，则样本空间间53例例1.11.1 在区间（在区间（0,10,1）中随机地取两个数，）中随机地取两个数，求两数之差的绝对值小于求两数之差的绝对值小于1/21/2的概率的概率1A1解解 设设x x，y y为所取的两个数，则样本空间为所取的两个数，则样本空间记记54这里这里和和分别表示分别表示A A和和的的面积面积则则（a a为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，求原点区域的概率与该区域的面积成正比，求原点的概率的概率 例例1.141.14 随机地向半圆随机地向半圆 和该点的连线与轴的夹

30、角小于和该点的连线与轴的夹角小于 解解 过原点作线段过原点作线段OCOC，使其与，使其与x x轴的夹角轴的夹角 为为 55记图中阴影部分区域为记图中阴影部分区域为D D，所求概率为所求概率为 其面积为其面积为 56例例9 9（蒲丰投针蒲丰投针）平面上平面上 有间隔为有间隔为d（d0)的等距平行线，向平面任意投掷一枚长的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为为l(ld)的针，求针与任一平行线相交的的针，求针与任一平行线相交的概率概率.（P24）注：蒲丰投针问题在概率史上非常著名。这给出了计注：蒲丰投针问题在概率史上非常著名。这给出了计 算圆周率的另一种方法。将此方法一般化，即可以算圆周率的另一种方法。将此方法一般化，即可以 通过反复试验和计数的方法来估计概率大小通过反复试验和计数的方法来估计概率大小,就是就是 现在广泛应用的现在广泛应用的ontearlo方法方法57