大学物理刚体运动学.ppt

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1、1.刚体运动学刚体运动学1.1 1.1 刚体的平动和转动刚体的平动和转动(1)(1)刚体、刚体的平动刚体、刚体的平动刚体：无论在多大的外力作用下，总是保持其形状、大小刚体：无论在多大的外力作用下，总是保持其形状、大小不变，理想化的模型。不变，理想化的模型。(2)(2)刚体的平动刚体的平动刚体内任何一条给定的直线刚体内任何一条给定的直线,在运在运动中始终保持它的方向不变。动中始终保持它的方向不变。各质点具有相同的速度和各质点具有相同的速度和加速度，所以刚体平动时任何加速度，所以刚体平动时任何一点的运动都可代表整个刚体一点的运动都可代表整个刚体的运动。的运动。刚体的平动时可看成质点。刚体的平动时可

2、看成质点。1(3)(3)刚体的转动刚体的转动刚体中各点都绕同一直线刚体中各点都绕同一直线(转轴转轴)作圆周运动作圆周运动.转轴固定不动转轴固定不动,称为定轴转动称为定轴转动.P为刚体上一质点，在转动平面为刚体上一质点，在转动平面内绕内绕0点作圆周运动。点作圆周运动。转轴转轴参考方向参考方向0 d PdtKd 转动平面：转动平面：任取一垂直于转轴的平面任取一垂直于转轴的平面(4)(4)转动运动学的物理量转动运动学的物理量 再任取一点再任取一点K，在同一个，在同一个dt内，内，也转过同样的也转过同样的d 角。角。所以：刚体中任何其它质点都具有相同的所以：刚体中任何其它质点都具有相同的，2即即(，)

3、三量具有普遍性。知一点三量具有普遍性。知一点的的(，)，可知整个刚体的运动。，可知整个刚体的运动。故用故用(,）描写刚体的转动。描写刚体的转动。所以：定轴转动刚体中任何其它质点所以：定轴转动刚体中任何其它质点都具有相同的都具有相同的，30转轴转轴P1.2角速度矢量角速度矢量4例：一刚体以每分钟例：一刚体以每分钟60转绕转绕z轴做匀速运动轴做匀速运动,(沿沿z轴正方向轴正方向)，设某时刻刚体上一点设某时刻刚体上一点P 的位置矢量为：的位置矢量为：（单位为（单位为“10-2m”），若以），若以“10-2m s-1”为单位，则该时刻为单位，则该时刻P点的速度为：点的速度为：解：解：还可解行列式还可解

4、行列式5(1)(1)求角加速度求角加速度 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N；(2)(2)求制动开始后求制动开始后t =25s时飞轮的角速度时飞轮的角速度 ；0rO解解(1)(1)初角速度为初角速度为 0 0=21500/60=50 rad/s，方向如图方向如图刚体运动学刚体运动学综合例题综合例题:一飞轮转速一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀，受到制动后均匀地减速，经地减速，经t=50s后静止。后静止。从开始制动到静止，飞轮的角位移从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数及转数N分别为分别为对于对于匀变速转动匀变速转动，应用，应用以角量表示的运动

5、方程以角量表示的运动方程，在在t=50s 时刻时刻 =0=0，代入方程，代入方程 =0+t 得得(2)(2)t=25=25s 时飞轮的角速度为时飞轮的角速度为 的方向与的方向与 0 0相同；相同；6对轴的角动量和对轴的力矩对轴的角动量和对轴的力矩,矢量代数的一般处理方式：矢量代数的一般处理方式：在具体的坐标系中，角动量（或在具体的坐标系中，角动量（或力矩）在各坐标轴的分量，就叫力矩）在各坐标轴的分量，就叫对轴对轴的角动量（或力矩）。的角动量（或力矩）。讨论讨论Lz：质点对：质点对z轴的角动量轴的角动量Mz：质点对：质点对z 轴的力矩轴的力矩P637转动平面转动平面求力对求力对z 轴的力矩轴的力

6、矩Mz的的(教材教材)简化步骤：简化步骤：结论：结论：z轴转动平面内的分量的运算就是对轴转动平面内的分量的运算就是对z轴的力矩轴的力矩第第2步，认定位矢和力在转动平面内的分量步，认定位矢和力在转动平面内的分量,第第3步，算出力对步，算出力对z轴的力矩轴的力矩.第第1步，通过质点画步，通过质点画z轴轴转动平面转动平面（过质点垂直转轴的平面，即（过质点垂直转轴的平面，即过质点的过质点的xy平面）平面）转轴转轴82.12.1力对转轴的力矩力对转轴的力矩.(1)(1)外力在垂直于转轴的平面内。外力在垂直于转轴的平面内。如果：如果：2 2 转动定理转动定理 转动惯量转动惯量（刚体动力学）（刚体动力学）0

7、p 90(2)(2)外力不在垂直于转轴的平面内外力不在垂直于转轴的平面内PP63结论：结论：z轴转动平面内的分量轴转动平面内的分量的运算就是对的运算就是对z轴的力矩。轴的力矩。转动平面转动平面转轴转轴102.2转动定理转动定理合外力矩合外力矩M合内力矩合内力矩=0=0O i11合外力矩合外力矩M合内力矩合内力矩=0M=I 转动定理转动定理定轴转动定理（律）在转动问题中的地位定轴转动定理（律）在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律相当于平动时的牛顿第二定律12例例:几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体

8、如果这几个力的矢量和为零，则此刚体(A)必然不会转动必然不会转动(B)转速必然不变转速必然不变(C)转速必然改变转速必然改变(D)转速可能不变，也可能改变转速可能不变，也可能改变答案：答案：()D参考解答：参考解答：在应用转动定律在应用转动定律M=I 时应注意时应注意M是是合外力矩合外力矩，是外力是外力力矩之和，而不是合外力的力矩。力矩之和，而不是合外力的力矩。几个力的矢量和为零，有合外力几个力的矢量和为零，有合外力矩也为零或不为零的两种情况，所以定轴转动的刚体其转速可能不矩也为零或不为零的两种情况，所以定轴转动的刚体其转速可能不变，也可能改变。变，也可能改变。例例:一个有固定轴的刚体，受到两

9、个力的作用。当这两个力的合力为零时，一个有固定轴的刚体，受到两个力的作用。当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定为零吗？举例说明之。它们对轴的合力矩也一定为零吗？举例说明之。答答:并不是一定为零。并不是一定为零。如汽车的方向盘可绕垂直于转盘且过盘中心的定轴转动。当驾驶员用如汽车的方向盘可绕垂直于转盘且过盘中心的定轴转动。当驾驶员用两手操纵方向盘时，就可在盘的左右两侧加上方向相反、大小相等的两个两手操纵方向盘时，就可在盘的左右两侧加上方向相反、大小相等的两个力。对转盘而言，合外力为零，但这两个力的力矩大小相等，方向一致，力。对转盘而言，合外力为零，但这两个力的力矩大小相等，方向一致，故合

10、力矩不为零。故合力矩不为零。讨论讨论13dm质元的质量质元的质量r 质元到转轴的距离质元到转轴的距离刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成积分形式积分形式按转动惯量的定义有按转动惯量的定义有2.3转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量是转动中惯性大小的量度转动惯量是转动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。类比类比：平动：一维直线运动平动：一维直线运动 转动：定轴转动转动：定轴转动 14注意：注意：转动惯量转动惯量与质量有关，与运动速度无关。与质量有关，与运动速度无关。质量一定时质量一定时,与质量的分布有关，并

11、且与转轴的位置有关。与质量的分布有关，并且与转轴的位置有关。转动惯量计算：转动惯量计算：例：例：mmmdddA0三个质点三个质点m组成一个正三角形组成一个正三角形刚体结构。刚体结构。求求IA、I0。叠加原理叠加原理与转轴的位置有关。与转轴的位置有关。15(2)(2)转轴过顶端转轴过顶端,与棒垂直与棒垂直x取取dx：转动惯量与转轴转动惯量与转轴的位置有关的位置有关0例：细棒质量例：细棒质量m,均匀分布均匀分布,长长l(1)(1)转轴过中心转轴过中心,与棒垂直与棒垂直.x0dxx取取dx：质量连续分布：质量连续分布：dx16平行轴定理：平行轴定理：d 两平行轴之间的距离。两平行轴之间的距离。12例

12、：均匀薄圆盘，转轴过中心与盘面垂直，求例：均匀薄圆盘，转轴过中心与盘面垂直，求I0。m，Rr0rdr取半径为取半径为r，宽为宽为dr的圆环的圆环质心质心C17（m2 m1）T2aT1m1ga 又，绳与轮间无滑动，滑轮边缘的切向又，绳与轮间无滑动，滑轮边缘的切向加速度加速度R,和物体的加速度相等和物体的加速度相等.例：如图所示例：如图所示,滑轮质量滑轮质量m,半径半径R(注意注意:在中学里在中学里一般滑轮质量一般滑轮质量略去不计略去不计）求：物体的加速度和绳的张力。求：物体的加速度和绳的张力。18例例:一一半半径径为为R，质质量量为为m匀匀质质圆圆盘盘，平平放放在在粗粗糙糙的的水水平平桌桌面面上

13、上。设设盘盘与与桌桌面面间间摩摩擦擦系系数数为为，令令圆圆盘盘最最初初以以角角速速度度 0 0 绕绕通通过过中中心心且且垂垂直直盘盘面面的的轴轴旋旋转转，问问它它经经过过多多少少时时间间才才停停止止转动？转动？解解：由由于于摩摩擦擦力力不不是是集集中中作作用用于于某某一一点点，而而是是分分布布在在整整个个圆圆盘盘与与桌桌子子的的接接触触面面上上，其其力力矩矩的的计计算算要用要用积分法积分法。质元质元圆盘所受阻力矩圆盘所受阻力矩 0e如如图图，把把圆圆盘盘分分成成许许多多如如图图的的质质元元，每每个质元的质量为个质元的质量为dm，dm=dV=rd dre，(e是盘的厚度是盘的厚度)所受到的阻力矩

14、所受到的阻力矩dM=r dmg。drd 阻力矩向下，阻力矩向下，与与 0 0方向相反方向相反！19也可以把圆盘分成许多也可以把圆盘分成许多圆环形质元圆环形质元，每每个质元的质量个质元的质量dm=dV=2 rdre，所受到的阻力矩是所受到的阻力矩是r dmg。因因m=eR2，代入得，代入得r e质元质元根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度.设圆盘经过时间设圆盘经过时间t 停止转动，则有停止转动，则有由此求得：由此求得：20例：均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为例：均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为 0 0，转动时受到

15、空气的，转动时受到空气的阻力阻力垂直于板面，阻力阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度的每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度的平方的乘积成正比，比例常数为平方的乘积成正比，比例常数为k试计算经过多少时间，薄板角速度试计算经过多少时间，薄板角速度减为原来的一半设薄板竖直边长为减为原来的一半设薄板竖直边长为b，宽为，宽为a，薄板质量为，薄板质量为m 解解 在板上距离转轴为在板上距离转轴为r处取一长度为处取一长度为b，宽度，宽度为为dr的的面积元面积元，其面积为，其面积为dS=bdr 当板的角速度当板的角速度 时，面积元的速率为时，面积元的速率为v =r所受的阻力为所受的阻力为df

16、=kv2dS=k 2r2bdr，阻力产生的力矩为阻力产生的力矩为dM=rdf=k 2r3bdr，因此合力矩为因此合力矩为 abdSrr0其角加速度为其角加速度为负号表示角加速度的方向与角速度的方向相反负号表示角加速度的方向与角速度的方向相反.注意：注意：不成立！？不成立！？21由于由于 =d/dt，可得转动的微分方程可得转动的微分方程分离变量得分离变量得积分得积分得 当当t=0时时，=0，所以所以C=-1/0，因此得：因此得：当当=0/2时时，解得时间为解得时间为：223 3 刚体的动能与势能刚体的动能与势能整个刚体的转动动能等于整个刚体的转动动能等于各质点动能之和。各质点动能之和。刚体的转动

17、动能刚体的转动动能3.1 3.1 刚体的转动动能刚体的转动动能O O Z Z23(1)(1)力矩的功力矩的功外力矩外力矩刚体从角位移刚体从角位移 1 2时，时，外力矩外力矩M所作的功。所作的功。3.2定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 i id d 0 0 i iZ ZP PP P24合外力矩对定轴转动刚体所作的功等于合外力矩对定轴转动刚体所作的功等于其转动动能的增量。其转动动能的增量。(2)(2)定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理25解：当棒摆到如图所示位置时，解：当棒摆到如图所示位置时，例：如图：均匀细棒例：如图：均匀细棒（m、l），），水平开始下摆，到竖直位置时，水平开始下摆，到竖直

18、位置时，中心点中心点C和端点和端点A的速度各为多少？的速度各为多少？.CmgCA0光滑轴光滑轴.再问：水平位置和竖直位置再问：水平位置和竖直位置棒的角加速度各为多少棒的角加速度各为多少?下摆下摆d，任取一中间过程任取一中间过程263.3刚体的重力势能刚体的重力势能x0h(y)mc.刚体势能的计算刚体势能的计算:把刚体的质量看成集中于把刚体的质量看成集中于质心质心,计算质心势能即可计算质心势能即可.273.4刚体系统的功能原理刚体系统的功能原理A外力外力+A非保守内力非保守内力=（Ek2+Ep2）（Ek1+Ep1）系统外力与非保守内力作功之和等于系统机械能的增量系统外力与非保守内力作功之和等于系

19、统机械能的增量功能原理功能原理3.5机械能守恒定律机械能守恒定律系统机械能守恒系统机械能守恒.平动动能平动动能+转动动能转动动能+重力势能重力势能+弹性势能弹性势能=恒量恒量如上例：棒定轴转动，只有保守力如上例：棒定轴转动，只有保守力(重力重力)作功，机械能守恒。作功，机械能守恒。水平，机械能：水平，机械能：mgh （注意势能零点的选择）（注意势能零点的选择）竖直，机械能：竖直，机械能：机械能守恒：机械能守恒：28例例:质量质量m1，半径为半径为R 的定滑轮（当作均质圆盘）上绕的定滑轮（当作均质圆盘）上绕一轻绳，绳的一端固定在滑轮上，另一端挂一质量为一轻绳，绳的一端固定在滑轮上，另一端挂一质量

20、为m2的物体而下垂，如图所示。忽略轴处摩擦，求物体的物体而下垂，如图所示。忽略轴处摩擦，求物体m2由由静止下落静止下落h高度时的速度。高度时的速度。hROm2m1解解 将将滑轮、物体、绳和地球视为一滑轮、物体、绳和地球视为一个系统，根据机械能守恒定律个系统，根据机械能守恒定律291.1.刚体的角动量刚体的角动量4.4刚体角动量和角动量守恒定律刚体角动量和角动量守恒定律刚体为特殊质点系，质点系对轴线的角动量定理刚体为特殊质点系，质点系对轴线的角动量定理（2.43）可直接应用于刚体，略去下标可直接应用于刚体，略去下标z，写成，写成刚体所受对刚体所受对某给定轴某给定轴 的合外力矩等于刚体的合外力矩等

21、于刚体对对该轴该轴 的角动量对时间的变化率。的角动量对时间的变化率。P63302.2.角动量角动量(动量矩动量矩)定理定理动量定理动量定理:设想设想:角动量定理角动量定理:313.角动量守恒定律角动量守恒定律刚体所受的合外力矩等于零时刚体所受的合外力矩等于零时,刚体的角动量保持不变刚体的角动量保持不变.32例：如图所示例：如图所示,球球棒棒,完全弹性碰撞完全弹性碰撞.求小球的回跳速度求小球的回跳速度v,棒的角速度棒的角速度。.0解解:小球：小球：动量定理动量定理(向上为正向上为正)：细棒：细棒：角动量定理角动量定理(方向以方向以 为正为正)：球球,棒系统棒系统,弹性碰撞弹性碰撞,动能守恒：动能

22、守恒：问题：公式（问题：公式（3）的）的物理意义？物理意义？另解另解:棒球系统棒球系统,碰撞过程角动量守恒碰撞过程角动量守恒.平面平面33解解:完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞,外力外力:重力重力,轴的支承力轴的支承力,对对转轴的力矩为零转轴的力矩为零,角动量守恒角动量守恒.碰后瞬间：设棒和枪弹开始一起运动时的角碰后瞬间：设棒和枪弹开始一起运动时的角速度为速度为 角动量守恒：角动量守恒：例：均匀细杆长例：均匀细杆长L 质量质量M,可绕可绕A端的水平轴自由转动端的水平轴自由转动,在杆自由在杆自由下垂时下垂时,质量为质量为m的枪弹沿水平方向射进杆的的枪弹沿水平方向射进杆的P点点.并使杆摆动并使杆摆动,

23、摆摆动的最大偏转角为动的最大偏转角为,已知已知AP长为长为l,求枪弹射入之前的速度求枪弹射入之前的速度v.常见错误：常见错误：PA.Bm vl叠加原理叠加原理34此后，棒和枪弹一起以此后，棒和枪弹一起以 运动，机械能守恒。运动，机械能守恒。枪弹射入后枪弹射入后,棒和枪弹系统的质心位置棒和枪弹系统的质心位置rc：竖直，竖直，机械能：机械能：最大偏转角最大偏转角 处处,机械能：机械能：例：均匀细杆长例：均匀细杆长L 质量质量M,可绕可绕A端的水平轴自由转动端的水平轴自由转动,在杆自由在杆自由下垂时下垂时,质量为质量为m的枪弹沿水平方向射进杆的的枪弹沿水平方向射进杆的P点点.并使杆摆动并使杆摆动,摆

24、摆动的最大偏转角为动的最大偏转角为,已知已知AP长为长为l,求枪弹射入之前的速度求枪弹射入之前的速度v.PA.Bm vlCh.Crc.零势能点零势能点35例例:工工程程上上，两两飞飞轮轮常常用用摩摩擦擦啮啮合合器器使使它它们们以以相相同同的的转转速速一一起起转转动动。如如图图所所示示，A和和B两两飞飞轮轮的的轴轴杆杆在在同同一一中中心心线线上上，A轮轮的的转转动动惯惯量量为为IA=10kg m2，B B的的转转动动惯惯量量为为IB=20kg m2 。开开始始时时A轮轮的的转转速速为为600r/min，B轮轮静静止止。C为为摩摩擦擦啮啮合合器器。求求两两轮轮啮啮合合后后的的转转速速；在在啮啮合合

25、过过程中，两轮的机械能有何变化？程中，两轮的机械能有何变化？A ACBACB36解：以飞轮解：以飞轮A、B和啮合器和啮合器C作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对者对转轴转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得 为两轮啮合后共同转动的角速度为两轮啮合后共同转动的角速度以各量的数值代入得

26、以各量的数值代入得或共同转速为或共同转速为在在啮啮合合过过程程中中，摩摩擦擦力力矩矩作作功功，所所以以机机械械能能不不守守恒恒，部部分分机机械械能能将将转转化为热量，损失的机械能为化为热量，损失的机械能为 ACBACB37例例:均均质质圆圆轮轮A的的质质量量为为M1，半半径径为为R1，以以角角速速度度 绕绕OA杆杆的的A端端转转动动，此此时时，将将其其放放置置在在另另一一质质量量为为M2的的均均质质圆圆轮轮B上上，B轮轮的的半半径径为为R2B轮轮原原来来静静止止，但但可可绕绕其其几几何何中中心心轴轴自自由由转转动动放放置置后后，A轮轮的的重重量量由由B轮轮支支持持略略去去轴轴承承的的摩摩擦擦与

27、与杆杆OA的的重重量量，并并设设两两轮轮间间的的摩摩擦擦因因素素为为，问问自自A轮放在轮放在B轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？OAR1R2B解解 圆轮圆轮A对对B的压力为的压力为N=M1g，两轮之间的摩擦力大小为两轮之间的摩擦力大小为f=N=M1g，摩擦力对摩擦力对A的力矩大小为的力矩大小为MA=fR1=M1gR1，摩擦力对摩擦力对B的力矩大小为的力矩大小为MB=fR2=M1gR2设设A和和B的角加速度大小分别为的角加速度大小分别为 A和和 B，转动惯量分别转动惯量分别为为IA和和IB，根据转动定律得方程根据转动定律得方程MA=I

28、A A，即即 A=MA/IA同理可得同理可得 B=MB/IB当两轮没有相对滑动时，它们就具有相同的线速度当两轮没有相对滑动时，它们就具有相同的线速度v，A的角速度为的角速度为 A=v/R1，B的角速度为的角速度为 B=v/R2根据转动运动学的公式得根据转动运动学的公式得 A =At，B=Bt，得得 R1=(R1 A+R2 B)t38解得解得经过的时间为经过的时间为 注意注意 在此题中，由于在此题中，由于A、B两轮不是绕着同一轴转两轮不是绕着同一轴转动的，所以不能用角动量动的，所以不能用角动量守恒定律守恒定律 问题：能用角动量守恒问题：能用角动量守恒定律解答？定律解答？OAR1R2B39线线 量量 角角 量量位置矢量位置矢量位位 移移速速 度度加加 速速 度度平动与转动的对应关系平动与转动的对应关系角角 位位 置置角角 位位 移移角角 速速 度度角加速度角加速度质质 量量力力牛顿定律牛顿定律动动 能能转动惯量转动惯量力力 矩矩转动定律转动定律转动动能转动动能40平动与转动的对应关系平动与转动的对应关系(续前续前)平平 动动动量定理动量定理动量守恒定律动量守恒定律动能定理动能定理 机机 械械 能能 守守 恒恒 定定 律律定定 轴轴 转转 动动角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律动能定理动能定理动量动量角动量角动量本章结束本章结束41