2022年高等数学微积分复习题 .docx

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1、精品_精品资料_第五章 一元函数积分学1. 基本要求1懂得原函数与不定积分的概念,熟记基本积分公式,把握不定积分的基本性质.2把握两种积分换元法,特殊是第一类换元积分法凑微分法.3把握分部积分法,懂得常微分方程的概念,会解可别离变量的微分方程,牢记非齐次线性微分方程的通解公式.4懂得定积分的概念和几何意义,把握定积分的基本性质.5会用微积分基本公式求解定积分.6把握定积分的凑微分法和分部积分法.7知道广义积分的概念,并会求简洁的广义积分.8把握定积分在几何及物理上的应用.特殊是几何应用.2. 本章重点难点分析（1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其运算.变上限积分求导公式和牛顿莱布尼茨公式

2、.定积分的应用.（2） 本章难点：求不定积分,定积分的应用.重点难点分析： 一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分,不定积分可看成是微分运算的逆运算, 熟记基本积分公式, 和不定积分的性质是求不定积分的关键,而定积分就源于曲边图形的面积运算等实际问题,懂得定积分的概念并明白其几何意义是应用定积分的基础.3. 本章典型例题分析例 1：求不定积分sin 3xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：被积函数sin 3x 是一个复合函数,它是由f usin u 和 u x3 x 复合而成,因可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

3、料_此,为了利用第一换元积分公式,我们将sin 3x 变形为sin 3x1 sin 3x3x ,故有3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 3 xdx111sin 3x3x dxsin 3xd3 x3 xucosuC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u3x3331 cos3 xC 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2：求不定积分a 2x2 dxa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：为了消去根式,利用三解恒等式sin2 tcos2

4、t1 ,可令xa sin t t 2 ,就2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2x2化为a2a2 sin2 ta cost , dxa cos dt ,因此,由其次换元积分法,所以积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2x2 dxa costa costdta 2cos2 tdta 21cos 2t dt2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2a 2dtcos 2td 2t a 2a2tsin 2tCa 2tsin t costC可编辑资料 - -

5、- 欢迎下载精品_精品资料_24242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 xa sin t t ,所以 sin t 22x, tarcsin x / a ,利用直角三角形直接写a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_出 cost邻边a2x2,于是a2x2 dxa 2arcsin x / a1 xa2x2C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜边a22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3：求不定积分x sinxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：假如被积函数f xxsinx 中没有 x 或 sinx,那么这个积分很简

6、洁运算出来,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可以考虑用分部积分求此不定积分,假如令u=x ,那么利用分部积分公式就可以消去x由于 u1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解令 ux, dvsinxdx ,就 dudx , vcosx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是xsinxdxudvuvvduxcosxcos xdxx cos xsinxC .熟可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_悉分部积分公式以后, 没有必要明确的引入符号接用分部积分公式运算：u, v ,而可以像下面那样先凑微分,然后直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

7、精品资料_x sinxdxxd cos xx cos xcos xdxx cos xsin xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4：求微分方程 dy2 ydx1 的通解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原方程为可别离变量的方程,移项别离变量得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dydx 12y,两端积分得：dydx ,得12 y1 ln 2 y12xC1从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1ln 2 y1e2C1 11xC ye2x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

8、品资料_e2C1由于2仍旧是常数,把它记做C,故原方程的通解为yCe2 x1其中 C 为任意常数2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dy例 5：求微分方程2 yx2的通解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxx解：这是一个一阶线性非齐次方程,通解公式为p x dxyeQxep x dxdxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在此题中P x2 ,Q xxx2 ,由通解公式知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p x dxp x dx2 dx2 dx

9、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ye QxedxCexx2e xdxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11x5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=e 2ln x x2e2ln xdxC x2x4dxC C x25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即原方程的通解为：Cx2yx25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6：求定积分1 x2 dx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分 析 ： 设 函 数f x在 区 间 a, b上 连 续 ,F x是 在 a,b上

10、的 一 个 原 函 数 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxaF bF a ,这就是牛顿 -莱布尼茨公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：依据牛顿 -莱布尼茨公式,由于x是 x2 的一个原函数,所以原式有33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_133x2dxx11301可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_03 0333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

11、 - - 欢迎下载精品_精品资料_8例 7：求定积分0 11 dx3 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：在应用定积分换元时应留意两点：（1） 换元必换限,上限对上限,下限对下限,即假如用xt 把原先的变量换成了新可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变量 t,积分限也必需也必需换成新变量t 的积分限,并且原先下限对应的参数做下限,上限对应的参数做上限.（2） 求出换元后的原函数t 后,不必像运算不定积分那样将它复原成x 的函数,只需可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将新变量的上、下限带入相减即可.解

12、为了去掉被积函数中的根式,令3 xt ,即t=0 .当 x=8 时, t=2,因此由换元公式有xt 3,于是 dx3t 2dt ,并且当 x=0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_812 3t2 t 211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2dxdt3dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 13 x0 1t0t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= 3t1dt3t1dtdt1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0t1

13、00 t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= 3t ln1t3ln 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_200例 8：运算定积分1 xe x dx0分析：定积分的分部积分其本质上与先用不定积分的分部积分法求原函数,再用牛顿-莱布尼茨运算定积分是一样的因此, 定积分的分部积分法的技巧和适应的函数类型与不定积分的分部积分法完全一样可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解令 ux , dvexdx ,就dudx, vex故由分部积分公式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111112xe

14、x dxxe x e xdxe 1e xd xe 1e x100000e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例求反常积分0xe x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：设f x 在 a, 或 ,b 或 , 上连续,定义反常积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xdxalimbbf xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xdxlimaf xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载

15、精品_精品资料_0f xdxf xdxf xdx0假设上述极限存在,就称相应的反常积分收敛,否就称其发散 解由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bxbxx bbxbbx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xedxxdexeedx beed x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_be be xbb11b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以xe0b1xdx0limbebxe xdx0lim 1b1b be1lim b11beb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这里极限l

16、imb是型未定式,由洛必达法就易知其极限为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_be可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例运算由抛物线yx2 与 y2x , x0, x1所围阴影图形的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：设函数f x, g x 在区间 a, b 上连续,并且f xg x x a, b,就由曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 与ygx 以及xa, xb 所围成的图形面积为Ab f xagxdx可编辑资料 - - -

17、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解联立两抛物线方程yx2xy2,得交点O0,0,B1,1,并且由图形可知当x0,1 时均可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有 f xxx2gx ,就所求图形面积为A1xx2 dx 2 x 21 x3 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_303303第六章 多元函数微积分1. 基本要求1明白多元函数的概念,明白二元函数的几何意义,知道求二元函数的定义域.2明白多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶偏导数和全微分.可编辑资料 - - -

18、欢迎下载精品_精品资料_3明白二重积分的概念与基本性质,把握二重积分的运算方法.2. 本章重点难点分析（3） 本章重点：二元函数的定义域、多元复合函数一阶偏导数和全微分以及二重积分的运算方法.（4） 本章难点：一阶偏导数、全微分以及二重积分的运算.3. 本章典型例题分析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1. 求函数 zsinxycos2xy的一阶偏导数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:把 y 看成常数 , 对 x 求导 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zy cos xy x2 cosxy sin xyyycos xysin 2 xy可编

19、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2. 设 zxyx , y求 dz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：依据全微分公式,先求两个偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zy1. zxyyxx .y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 dzz dx xz dy y y1 dx xyx dy. y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3.运算二重积分xyd,其中 D 是由直线

20、yD1, x2 及 yx 所围成的闭区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解区域 D 如下图,可以将它看成一个x -型区域,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 Dx, y | 1x2,1yx 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xydD2xdxxydy11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y x2 x1 y 2dx12y 112x31 x dx91228可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4. 运算二重积分区域xyd,其中 D 是有抛物线 y2Dx 及 yx2 所围成的有

21、界闭可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：如图,区域 D 可以看成是 y 型区域,它表示为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D x, y |1y2, y 2xy2 ,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xydD2ydy1y 22xydxy 22124521yxdyy 28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、挑选题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 xde x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A xe xcB

22、 xexe xcCxe xcD xexe xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、假设f x 是g x 的原函数,就.Af xdxg xCB gxdxf xCCg xdxf xCDf x dxg xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、假设f x dxx2 e2 xc ,就f x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A2 x 2 xeB 2 x22 xe2xC xe D 2 xe1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x4、 sin 2xdx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

23、料_A1 cos 2 xc2B sin 2 xc Ccos 2 xcD1 cos 2 xc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、 d dxxarctan t 20dt .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2arctant11t 2二、填空：Barctan x 2 Carctan x 2D arctant 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、已知f x 的一个原函数为e ,就f x =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2、假设f x存

24、在且连续,就df x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、假设f xdxF xc ,就e x f ex dx =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x 24、dx.x5、 csc xcsc xctgxdx.cos2 x6、dx .cos xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、 ecos x sinxdx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 、 已 知f x 在 , 上 连 续 , 且f 02 , 且 设F xx2 sin xf

25、 t dt , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、 limx sin t 2dt0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10、设f 24,2f x dx01 ,就2xf xdx.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_211、x01dx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12、 xyy 2ycosx0 的阶数是.可编辑资料 - - -

26、 欢迎下载精品_精品资料_13、 y yxy0 的阶数是.四、求不定积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1102x3x2x4sec21x dx24 tan20xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3x 2 12dxx4sin2 x5 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5xx22dx16201dx14x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3e ln xarcsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_27dx8dx可编辑资料

27、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9 2 sin 3 x cos xdx102 x2dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_08111 dxx 22 x3dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 1312xx 23a 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21304x 2 dx 142 xcos xdx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15x2 arctan xdx161 x2exdx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

28、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 17ex sin xdx1822x 213x1 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_191dx154x 20e2ln xdx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21求由曲线 yx 2 ,直线 yx, y2 x 所围成的图形的面积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22求由曲线 yx 2 与直线 yx 2 , x0围成的平面图形面积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23 zx3yxy , 求z , z .3xy可编辑资料 - -

29、 - 欢迎下载精品_精品资料_24 zarctan y ,求 z , z .xxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25 z26 z27Dx ln xy , 求 dz .2xyxe, 求 dz .ydxdy,其中 是由直线y x, yx1, y0及y1及所围成的平面区域 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_28 x2Dy2xdxdy,其中 D 由直线 y2, yx 与 y2x 所围成 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_29Dxy2dxdy 其中 D 由抛物线 yx2 和直线 yx 所围成 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_30解微分方

30、程：dy cos x dxy sin x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_31解微分方程： 1ydx1xdy0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32某厂生产某种商品 q 千件的边际成本为C qq36 万元 / 千件,其固定成本是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9800万元 . 求 1产量为多少时能使平均成本最低？2最低平均成本是多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33已知某产品的边际成本为C q4q万元 / 百台,边际收入为R q6012q万可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_元/ 百台.假如该产品的固定成本为10 万元,求：1产量为多少时总利润L q 最大？ 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从最大利润产量的基础上再增产200 台,总利润会发生什么变化？可编辑资料 - - - 欢迎下载