2022年高中数学解析几何专题之椭圆汇总解析版.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -圆锥曲线第1 讲椭圆【学问要点】 一、椭圆的定义1. 椭圆的第肯定义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面内到两个定点F1 、 F2 的距离之和等于定长2a（ 2aF1 F2）的点的轨迹叫椭圆,这两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注 1： 在椭圆的定义中,必需强调：到两个定点的距离之和（记作2a ）大于这两个定点之可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

2、- - 欢迎下载精品_精品资料_间的距离F1F2（记作2c ）,否就点的轨迹就不是一个椭圆.详细情形如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）当2a2c 时,点的轨迹是椭圆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）当2a2c 时,点的轨迹是线段F1 F2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）当2a2c 时,点的轨迹不存在.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

3、精品资料_注2 ： 如用 M 表示动点,就椭圆轨迹的几何描述法为MF1MF22a （2a2c ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F1 F22c ）,即MF1MF2F1F2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注 3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题,通常可利用椭圆的第肯定义求解,即隐含条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_件： MF1MF22 a 千万不行遗忘.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 椭圆的其次定义：平面内到某肯定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e（ 0e1 ）的点的

4、轨迹叫做椭圆.二、椭圆的标准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是yx2y222aby2x222ab1（ ab1ab0 ）.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）焦点在轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是（） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 41 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - -

5、 - - - - - - - - -注 1：如题目已给出椭圆的标准方程,那其焦点到底是在x 轴仍是在y 轴,主要看长半轴跟谁走.长半轴跟x 走,椭圆的焦点在x 轴.长半轴跟y 走,椭圆的焦点在y 轴.（1） 注 2： 求椭圆的方程通常采纳待定系数法.如题目已指明椭圆的焦点的位置,就可设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2其方程为ay122b（ ay 22b0 ）或 ax122b（ ab0 ）.如题目未指明椭圆的焦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点到底是在x 轴上仍是y 轴上,就中心在坐标原点的椭圆的方程可设为mx

6、2ny21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ m0 , n0 ,且 mn ） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、椭圆的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2以标准方程ay122b（ ab0 ）为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）范畴：axa ,byb .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）对称性：关于x 轴、 y 轴轴对称,关于坐标原点中心对称.可编辑资料 -

7、- - 欢迎下载精品_精品资料_（3）顶点：左右顶点分别为A1a,0 ,A2 a,0 .上下顶点分别为B1 0,b ,B2 0,b) .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4）长轴长为2a ,短轴长为2b ,焦距为2c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（5）长半轴 a 、短半轴 b 、半焦距 c 之间的关系为ab 2c2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2x（6）准线方程：c.b 2（7）焦准距：c.ce（8）离心率：a 且 0e1 . e 越小

8、,椭圆越圆.e越大,椭圆越扁.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（9）焦半径：如P x0, y0 x2为椭圆 a2y12b2在第一象限内一点,就由椭圆的其次定义,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有 PF1aex0 ,PF2aex0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 41 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结

9、归纳 - - - - - - - - - - - -b 22（10）通径长：a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注 1： 椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离.以椭圆的右焦点F2 c,0 和右可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2a 2xca 2c2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_准线 l ：c为例,可求得其焦准距为ccc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注 2： 椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦.椭圆的通径指的是过椭圆的某

10、一焦点且垂直于其对称轴的弦.通径是椭圆的全部焦点弦中最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_短的弦.设椭圆的方程为x2y2a 2b21（ ab0 ）,过其焦点F2 c,0且垂直于x 轴的直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交该双曲线于A 、 B 两点（不妨令点A 在 x 轴的上方） ,就Ac, b2a,B c,b2a ,于是该可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB椭圆的通径长为b b 2b 222aaa.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、关于

11、椭圆的标准方程,需要留意的几个问题（1）关于椭圆的标准方程,最基本的两个问题是：其一,当题目已指明曲线的位置特点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并给出了“特点值” （指 a 、 b 、 c 的值或它们之间的关系,由这个关系结合c2a 2b 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_我们可以确定出a 、 b 、 c 的值）时,我们便能快速精确的写出椭圆的标准方程.其二,当题目已给出椭圆的标准方程时,我们便能精确的判定出曲线的位置特点,并能得到a 、 b 、c 的值.（2）椭圆的标准方程中的参数a 、 b 、 c 是椭圆所固有的,与坐标系的建立无关.a 、 b 、可编

12、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2c 三者之间的关系：ca 2b 2 必需坚固把握.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）求椭圆的标准方程,实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数a 、 b .依据题目已知条件,我们列出以a 、 b 为未知参数的两个方程,联立后便可确定出a 、 b 的值.特殊需要留意的是：如题目中已经指明椭圆的焦点在x 轴或 y 轴上,就以 a 、 b 为未知参数的方程组只有一个解,即a 、 b 只有一个值.如题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上,就以a 、 b 为未可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - -

13、- - - -第 3 页,共 41 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_知参数的方程组应有两个解,即a 、 b 应有两个值.（4）有时为便利解题,中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为mx2ny21 ,但此时 m 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 必需满意条件：m0 , n0 ,且 mn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、点与椭圆的位置关

14、系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 Px0, y0 x 22与椭圆 ay122b（ ab0 ）的位置关系有以下三种情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x0y01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如a2b2,就点P x0 ,y0 在椭圆上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x0y01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如a2b2,就点P x0 ,y0 在椭圆外.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy22001可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如a2b2,就点P x0 , y

15、0 在椭圆内.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题选讲】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 1：椭圆定义的应用1. 平面内存在一动点M 到两个定点F1 、 F2 的距离之和为常数2a （ 2aF1F2）,就点 M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.线段D.椭圆或线段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由题意知,MF1MF22aF1F2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）当 2a（）当 2aF1F2 F1F2时,点 M 的轨迹是椭圆.时,

16、点 M 的轨迹是线段F1F2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故点 M 的轨迹是椭圆或线段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知圆 C ： x1 2y236 ,点 A1,0 , M 是圆 C 上任意一点,线段AM 的中垂线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l 和直线 CM 相交于点 Q ,就点 Q 的轨迹方程为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 41 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word

17、精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 圆 C ： x12y236的圆心坐标为C 1,0 ,半径 r6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连接 QA ,由 l 是直线 AM 的中垂线知,QMQA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_QAQCQMQCCMr6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 AC2 ,QAQCAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是点 Q 的轨迹是以A1,0

18、 , C 1,0 为左右焦点的椭圆,其中2a6 , 2c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a3 , c1 , b 2a2c 2918可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又该椭圆的中心为坐标原点x2y21故点 Q 的轨迹方程为98可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 已知点 A3,0 ,点 Q 是圆x2y 24 上的一个动点,线段AQ 的垂直平分线交圆的半可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_径 OQ 于点 P ,当点 Q 在圆周上运动时,点P 的轨迹方程为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精

19、品_精品资料_解： 圆 O ： x2y24 的圆心坐标为O0,0 ,半径 r2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连接 PA ,由 l 是直线 AQ 的垂直平分线知,PQPA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_POPAPOPQOQr2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 OA3 ,POPAOA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是点 P 的轨迹是以O0,0 , A3,0 为左右焦点的椭圆,其中2 a2 , 2c3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

20、_精品资料_c3b 2a2c2131可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 ,2,440,33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又该椭圆的中心为OA 的中点x3 22故点 P 的轨迹方程为2OA0,22y1143 ,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 此题点 P 的轨迹方程虽是椭圆,但该椭圆不关于坐标原点对称,而是关于点2对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 41 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料wo

21、rd 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称,其方程可由把椭圆y22x1143沿 x 轴向右平移了2个单位得到.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x4. 方程y2x2 y2xy22表示的曲线是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解： 由 2xy22 x2 y2x y2 ,有22 x1 y1xy2220,12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

22、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这说明,点P x, y 到定点F 1,1的距离与它到定直线l ： xy 20 的距离之比等于常可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20数2（212） 由 椭 圆 的 第 二 定 义 知 , 点P x, y的 轨 迹 是 椭 圆 , 即 方 程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2y2 x2 y2xy22表示的曲线是椭圆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112

23、3FFPFy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 椭圆上,就PF1 是PF2的左、 右焦点分别为1 、2 ,点 P 在椭圆上. 如线段1 的中点在轴的（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.7 倍B.5 倍C.4 倍D.3 倍可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22xy122222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 在椭圆 123中, a12,b3, cab1239可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a23,b3, c3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 F1 3,0, F2 3,0可编辑资料 - -

24、- 欢迎下载精品_精品资料_又线段PF1 的中点在y 轴上,而 O 是线段F1F2 的中点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF2 y 轴于是 PF2x轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（法一）在RtPF2 F1 中,2PF12PF22F1 F2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 41 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载

25、精品_精品资料_22 PFPF PFPFF F4c4936可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_121212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由椭圆的定义,有PF1PF22a22343 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF1PF23633可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_联立、得,PF14333273PF22,4373322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_73PF127可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF2故

26、32,即b23PF1是 PF23的 7 倍.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（法二）PF2a232 ,而PF1PF22a22343可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF14337322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_73PF127可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF2故32,即PF1 是PF2的 7 倍.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 设 F1 、 F2 为椭圆94的两个焦点,P 为椭圆上的一点.已知P , F1 , F2 是一个PF1可编辑资料 -

27、- - 欢迎下载精品_精品资料_直角三角形的三个顶点,且x 2y 2PF1PF2 ,就PF2= .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 在椭圆9124中, a9,b 24, c2a2b 2945可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a3, b2, c5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 F1 5,0 ,F PFF2 905,022PFPFF F24c24520可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）当12时,1212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又PF1PF22 a236 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

28、学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 41 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2PF1PF2 PF1PF2 2 PF12222PF2362082可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 PF1PF2 PF1PF2 4 PF1PF236484可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

29、精品资料_又 PF1PF2PF1PF22 PF624可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1联立、得,2PF142, PF2642可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是此时（）当PF22PF2F190 时,2PF12PF22F1F2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ PFPF PF2PFF F4c24520可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1而 PF121PF22 a221236 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF1PF22010

30、63 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_联立、得,PF161032281463 ,PF2614433可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是此时PF1故 PF214PF137PF24237的值为 2 或 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 2：求椭圆的方程2x2y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. （1）如方程5kk3x2y21表示椭圆,就k 的取值范畴是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）如方程5kk3表示焦点

31、在x 轴上的椭圆,就k 的取值范畴是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 41 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x2y215kk3yk 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）如方程x2解：（ 1）方程 5k表示焦点在2y1k3表示椭圆轴上的椭圆,就的取值范畴是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5k0k305kk33k4或4k5x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故当 k3,4 4,5x2时,方程5ky21k3表示椭圆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 方程 5k5k0k305kk31k3表示焦点在x 轴上的椭圆3 k4x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故