中南大学工程力学、材料力学第11章(弯曲应力).pdf

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1、zy dAA yM=SdAAF=dA纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲对称弯曲对称弯曲对称弯曲对称弯曲梁的变形对称于纵向对称面梁的变形对称于纵向对称面梁的变形对称于纵向对称面梁的变形对称于纵向对称面对称纯弯曲对称纯弯曲对称纯弯曲对称纯弯曲+FS 图图+M 图图一、截面的静矩与形心一、截面的静矩与形心CdyASz Az A=Ozy(,)y zdA截面对截面对y轴的静矩轴的静矩CdzASy Ay A=截面对截面对z轴的静矩轴的静矩ySCdAz AzA=dAz A=截面对形心轴的静矩恒等于零；截面对某轴的静矩为零，则该轴过截面形心。截面对形心轴的静矩恒等于零；截面对某轴的静矩为零，则该轴过截面形心。截面对形心

2、轴的静矩恒等于零；截面对某轴的静矩为零，则该轴过截面形心。截面对形心轴的静矩恒等于零；截面对某轴的静矩为零，则该轴过截面形心。组合截面的静矩等于截面各部分对同一轴静矩的代数和。组合截面的静矩等于截面各部分对同一轴静矩的代数和。组合截面的静矩等于截面各部分对同一轴静矩的代数和。组合截面的静矩等于截面各部分对同一轴静矩的代数和。=C11nnzziiiiiSSA y=1nyyiiSS=C1niiiA zOzyCC(,)yzCCySz A=C0z=0yS=C0ySz A=C0z=例：计算图示三角形截面对其底边重合的例：计算图示三角形截面对其底边重合的y 轴的静矩。轴的静矩。dyASz A=解：解：0(

3、)dhhz bzzh=26bh=CySAz=23bhh=26bh=三、惯性矩和惯性半径三、惯性矩和惯性半径1.惯性矩1.惯性矩2AdzIyA=2AdyIzA=二、极惯性矩二、极惯性矩2PdAIA=Ozy(,)y zdA截面对截面对O点的极惯性矩点的极惯性矩截面对截面对y轴的惯性矩轴的惯性矩截面对截面对z轴的惯性矩轴的惯性矩2.惯性半径2.惯性半径yyIiA=zzIiA=222zy=+=+22PA()dIzyA=+=+pzyIII=+Ozy(,)y zdA惯性矩与极惯性矩的关系惯性矩与极惯性矩的关系2PdAIA=22AAddzAyA=+=+截面对截面对y、z轴的惯性半径轴的惯性半径三、惯性积三、

4、惯性积dyzAIyz A=y、z轴之一为截面对称轴，则轴之一为截面对称轴，则Iyz=0。y、z轴之一为截面对称轴，则轴之一为截面对称轴，则Iyz=0。截面对截面对y、z轴的惯性积轴的惯性积Ozy(,)y zdAOzy(,)y zdAdA(,)y zOzybh四、常见截面的惯性矩和惯性半径四、常见截面的惯性矩和惯性半径1.矩形截面1.矩形截面2AdzIyA=222(d)hhyb y=312bh=312zbhI=zzIiA=3/12bhbh=2 3h=2 3zhi=Ozyydy2.圆形截面3.圆环截面2.圆形截面3.圆环截面464zyDII=4444()(1)6464zDdDI=4zyDii=22

5、4zDdi+=+=zyII=4p32DI=OzyDpzyIII=+=+OzyDd2dzAIyA=21+2+ndAAAyA=12nzzzIII=+n1yyiiII=n1zziiII=22212ndddAAAyAyAyA=+=+截面对轴的惯性矩或惯性积等于该截面各部分对同一轴的惯性矩或惯性积代数和。截面对轴的惯性矩或惯性积等于该截面各部分对同一轴的惯性矩或惯性积代数和。截面对轴的惯性矩或惯性积等于该截面各部分对同一轴的惯性矩或惯性积代数和。截面对轴的惯性矩或惯性积等于该截面各部分对同一轴的惯性矩或惯性积代数和。五、组合截面的惯性矩和惯性积五、组合截面的惯性矩和惯性积n1yzyziiII=六、惯性矩

6、的平行移轴定理六、惯性矩的平行移轴定理2AdyIzA=2CA()dzaA=+=+22CCAAAd2ddzAazAaA=+=+C2yIa A=+=+截面对任一坐标轴的惯性矩，等于对其平行形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方之乘积。截面对任一坐标轴的惯性矩，等于对其平行形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方之乘积。截面对任一坐标轴的惯性矩，等于对其平行形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方之乘积。截面对任一坐标轴的惯性矩，等于对其平行形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方之乘积。C2yyIIa A=+=+Ozy(,)b adACzCy(0,0)(,)y zCC(,)yzC例：计算

7、图示例：计算图示T 形截面对其形心轴形截面对其形心轴yC的惯性矩。的惯性矩。解：确定形心轴的位置，坐标系如图截面对形心轴解：确定形心轴的位置，坐标系如图截面对形心轴yC的惯性矩的惯性矩C(0.14 0.02)0.08(0.1 0.02)0(0.14 0.02)(0.1 0.02)z+=+=+CCC12yyyIII=+=+3210.02 0.14(0.080.0467)0.02 0.1412=+=+3210.1 0.020.04670.02 0.112+6412.12 10 m=0.0467m=例：单臂液压机机架的横截面尺寸如图，计算该截面对形心轴例：单臂液压机机架的横截面尺寸如图，计算该截面对

8、形心轴yC的惯性矩。的惯性矩。解：确定形心轴的位置，坐标系如图截面对形心轴解：确定形心轴的位置，坐标系如图截面对形心轴yC的惯性矩的惯性矩C(0.86 1.4)0.7(0.828 1.334)0.717(0.86 1.4)(0.828 1.334)z+=+=+CCC12yyyIII=+=+3210.86 1.40.190.86 1.412=+=+321(0.828 1.3340.2070.828 1.334)12+40.029m=0.51m=一、纯弯曲时的正应力一、纯弯曲时的正应力1.变形几何关系1.变形几何关系纵向线弯成弧线，且上半部分缩短，下半部分伸长纵向线弯成弧线，且上半部分缩短，下半部

9、分伸长纵向线弯成弧线，且上半部分缩短，下半部分伸长纵向线弯成弧线，且上半部分缩短，下半部分伸长横向线保持为直线，相对旋转一个角度，垂直于变形后的纵向线横向线保持为直线，相对旋转一个角度，垂直于变形后的纵向线横向线保持为直线，相对旋转一个角度，垂直于变形后的纵向线横向线保持为直线，相对旋转一个角度，垂直于变形后的纵向线变形前原为平面的横截面变形后仍保持为平面，垂直于变形后的纵向线，绕截面的某一轴旋转一个角度变形前原为平面的横截面变形后仍保持为平面，垂直于变形后的纵向线，绕截面的某一轴旋转一个角度变形前原为平面的横截面变形后仍保持为平面，垂直于变形后的纵向线，绕截面的某一轴旋转一个角度变形前原为平

10、面的横截面变形后仍保持为平面，垂直于变形后的纵向线，绕截面的某一轴旋转一个角度中性轴垂直于横截面纵向对称轴中性轴垂直于横截面纵向对称轴中性轴垂直于横截面纵向对称轴中性轴垂直于横截面纵向对称轴中性轴中性轴中性轴中性轴中性层中性层中性层中性层纵向纤维缩短纵向纤维缩短纵向纤维伸长纵向纤维伸长纵向纤维长度不变纵向纤维长度不变y2O1O12abO O=?12O O =d =?()da by =+=+?a babab =()dddyy +=+=ydxabdab2O1Oy =纵向纤维线应变与该纤维到中性层的距离成正比纵向纤维线应变与该纤维到中性层的距离成正比纵向纤维线应变与该纤维到中性层的距离成正比纵向纤维

11、线应变与该纤维到中性层的距离成正比横截面上点的正应变与该点到中性轴的距离成正比横截面上点的正应变与该点到中性轴的距离成正比横截面上点的正应变与该点到中性轴的距离成正比横截面上点的正应变与该点到中性轴的距离成正比d0 xyydab2O1ObE =y =yE =中性轴与横截面纵向对称轴垂直，但位置无法确定中性轴与横截面纵向对称轴垂直，但位置无法确定中性轴与横截面纵向对称轴垂直，但位置无法确定中性轴与横截面纵向对称轴垂直，但位置无法确定中性层曲率半径中性层曲率半径未知未知中性层曲率半径中性层曲率半径未知未知横截面上点的正应力与该点到中性轴的距离成正比横截面上点的正应力与该点到中性轴的距离成正比横截面

12、上点的正应力与该点到中性轴的距离成正比横截面上点的正应力与该点到中性轴的距离成正比tmax cmax 问题:问题:Ey =Ey =yE =Ey =2.物理关系2.物理关系xyd0AA=dAEy A 0zS=中性轴必过截面形心中性轴必过截面形心中性轴必过截面形心中性轴必过截面形心dAEy A=zES=0=xzy yE =dAA dA dAEy A=z横截面上无轴力横截面上无轴力横截面上无轴力横截面上无轴力dAC3.静力关系3.静力关系xyxzy zdA(,)y z2dAEyA=1zMEI=dAA yM=dAEy A y zEI=M=yE =dA dA y dAA y 2dAEyA=横截面上有弯矩

13、横截面上有弯矩M横截面上有弯矩横截面上有弯矩MEIz：抗弯刚度，构件抵抗弯曲变形的能力。：抗弯刚度，构件抵抗弯曲变形的能力。EIz：抗弯刚度，构件抵抗弯曲变形的能力。：抗弯刚度，构件抵抗弯曲变形的能力。1zIME=zMyI=yE =1zMEI=M+M 拉压拉压拉压拉压zyMI=zMyI=zyMI=纯弯正应力公式纯弯正应力公式xzy(,)y z横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲()zM xyI=lh二、横力弯曲时的正应力二、横力弯曲时的正应力tmax cmax 三、最大弯曲正应力三、最大弯曲正应力maxzzIWy=maxmaxzMyI=maxzMW=Wz：抗弯截面系数，反映构件抵抗弯曲破坏的能力。

14、：抗弯截面系数，反映构件抵抗弯曲破坏的能力。Wz：抗弯截面系数，反映构件抵抗弯曲破坏的能力。：抗弯截面系数，反映构件抵抗弯曲破坏的能力。maxzWM=26zbhW=332zdW=34(1)32zDW =矩形截面矩形截面实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面max2hy=312zbhI=max2Dy=464zDI=max2Dy=44(1)64zDI =例：图所示悬臂梁，承受的集中力偶例：图所示悬臂梁，承受的集中力偶M=20kNm作用。梁采用作用。梁采用No18工字钢，钢的弹性模量工字钢，钢的弹性模量E=200GPa。计算梁内的最大弯曲正应力与梁轴的曲率半径。计算梁内的最大弯曲正应力与梁轴的曲率

15、半径。解：截面的弯矩解：截面的弯矩20kN mM=查型钢表查型钢表541.660 10 mzI=431.85 10 mzW=梁内的最大弯曲正应力梁内的最大弯曲正应力3max420 10108.1MPa1.85 10zMW =梁轴的曲率半径梁轴的曲率半径953200 101.660 10166m20 10zEIM=例：宽度例：宽度b=6mm、=2mm厚度的钢带环绕在直径厚度的钢带环绕在直径D=1400mm的带轮上，已知钢带的弹性模量为的带轮上，已知钢带的弹性模量为E=200GPa。试求钢带内的最大弯曲正应力与钢带承受的弯矩。试求钢带内的最大弯曲正应力与钢带承受的弯矩。解：钢带的应力状态同弯曲，其

16、轴线的曲率半径解：钢带的应力状态同弯曲，其轴线的曲率半径31.42 100.701m2222D=+=+=+=+=横截面离中性轴最远距离横截面离中性轴最远距离33max2 101.0 10 m22y=39maxmax1 10200 10285MPa0.701yE=1zMEI=9312200 106 2101.414N m12 0.701zEIM =一、矩形截面梁的弯曲切应力一、矩形截面梁的弯曲切应力假设横截面上各点切应力方向平行于剪力，切应力沿截面宽度均匀分布。假设横截面上各点切应力方向平行于剪力，切应力沿截面宽度均匀分布。假设横截面上各点切应力方向平行于剪力，切应力沿截面宽度均匀分布。假设横截

17、面上各点切应力方向平行于剪力，切应力沿截面宽度均匀分布。zy()y bhydA 右右 右右dA*(d)dAzMM yAI+=+=*N1dAFA=右右*(d)dAzMMy AI+=+=*(d)zzMM SI+=+=*(d)dAzMMIy A+=+=bdxzyy 右右dA*N1(d)zzMM SFI+=+=*N2dzAzMSFAI=左左zySN2N1dFFF =*dzzSMI=ybdx 右右dAzy*SddzzSMFI=ybdx*SddddzzSFMb xx bI =*SzzF SbI=*SzzF SbI=SdAb x=*SddddzzSFb xMbxI =*SzzF SIb=S*zzF SbI=

18、*SzzF SIb=S*zzF SbI=b2h2h2224(1)8bhyh=切应力沿截面高度抛物线分布切应力沿截面高度抛物线分布切应力沿截面高度抛物线分布切应力沿截面高度抛物线分布Smax32Fbh=最外缘处切应力等于零最外缘处切应力等于零最外缘处切应力等于零最外缘处切应力等于零中性轴处切应力最大中性轴处切应力最大中性轴处切应力最大中性轴处切应力最大2S234(1)2Fybhh=*SzzF SbI=ymax S32FA=*()()242zhhySbyy=+=+zyC1.腹板的切应力1.腹板的切应力*SzzF SI=最大切应力在中性轴上最大切应力在中性轴上最大切应力在中性轴上最大切应力在中性轴上

19、腹板内切应力沿高度抛物线分布腹板内切应力沿高度抛物线分布腹板内切应力沿高度抛物线分布腹板内切应力沿高度抛物线分布最小切应力在腹板与翼缘的交界处最小切应力在腹板与翼缘的交界处最小切应力在腹板与翼缘的交界处最小切应力在腹板与翼缘的交界处*SmaxmaxzzF SdI=二、工字形截面梁的弯曲切应力二、工字形截面梁的弯曲切应力ydbmax min min zyC2.翼缘的切应力翼缘部分切应力复杂且很小，一般不作计算，认为翼缘承受截面弯矩。2.翼缘的切应力翼缘部分切应力复杂且很小，一般不作计算，认为翼缘承受截面弯矩。翼缘部分切应力复杂且很小，一般不作计算，认为翼缘承受截面弯矩。翼缘部分切应力复杂且很小，

20、一般不作计算，认为翼缘承受截面弯矩。SFA=腹板厚度远小于翼缘宽度时，可认为腹板上的切应力均匀分布腹板厚度远小于翼缘宽度时，可认为腹板上的切应力均匀分布腹板厚度远小于翼缘宽度时，可认为腹板上的切应力均匀分布腹板厚度远小于翼缘宽度时，可认为腹板上的切应力均匀分布dbmax min min zyC三、圆形截面梁的弯曲切应力三、圆形截面梁的弯曲切应力截面边缘点的切应力与圆周相切截面边缘点的切应力与圆周相切截面边缘点的切应力与圆周相切截面边缘点的切应力与圆周相切假设假设AB弦上各点切应力作用线通过一点，且垂直分量相等弦上各点切应力作用线通过一点，且垂直分量相等假设假设AB弦上各点切应力作用线通过一点，

21、且垂直分量相等弦上各点切应力作用线通过一点，且垂直分量相等*SzyzF SbI=zyORymin y 2bR=2*423zRRS =SSmax24433FFRA=*SzzF SbI=44zRI=最大切应力在中性轴上最大切应力在中性轴上最大切应力在中性轴上最大切应力在中性轴上max zyORC43R四、薄壁环形截面梁的弯曲切应力四、薄壁环形截面梁的弯曲切应力假设横截面上切应力的大小沿壁厚无变化。方向与圆周相切假设横截面上切应力的大小沿壁厚无变化。方向与圆周相切假设横截面上切应力的大小沿壁厚无变化。方向与圆周相切假设横截面上切应力的大小沿壁厚无变化。方向与圆周相切2b=*200022zrSrr=3

22、0zIr =Smax2FA=zyOmax C02r最大切应力在中性轴上最大切应力在中性轴上最大切应力在中性轴上最大切应力在中性轴上0r*SzzF SbI=例：图所示矩形截面悬臂梁承受均布载荷例：图所示矩形截面悬臂梁承受均布载荷q作用，比较梁的最大正应力与最大切应力。作用，比较梁的最大正应力与最大切应力。解：梁的最大剪力、最大弯矩为解：梁的最大剪力、最大弯矩为SmaxFql=2max2qlM=22maxmax22/23/6zMqlqlWbhbh=Smaxmax3322FqlAbh=maxmax2()lh =一、弯曲正应力强度条件一、弯曲正应力强度条件 maxmax()zMW =确定危险截面：弯矩

23、图、截面、材料。确定危险截面：弯矩图、截面、材料。确定危险截面：弯矩图、截面、材料。确定危险截面：弯矩图、截面、材料。当材料抗拉、抗压性能不同时，应分别进行抗拉、抗压的强度计算。当材料抗拉、抗压性能不同时，应分别进行抗拉、抗压的强度计算。当材料抗拉、抗压性能不同时，应分别进行抗拉、抗压的强度计算。当材料抗拉、抗压性能不同时，应分别进行抗拉、抗压的强度计算。当中性轴为截面对称轴时，危险截面在弯矩绝对值最大处；当中性轴不为截面对称轴时，危险截面在正、负弯矩最大处。当中性轴为截面对称轴时，危险截面在弯矩绝对值最大处；当中性轴不为截面对称轴时，危险截面在正、负弯矩最大处。当中性轴为截面对称轴时，危险截

24、面在弯矩绝对值最大处；当中性轴不为截面对称轴时，危险截面在正、负弯矩最大处。当中性轴为截面对称轴时，危险截面在弯矩绝对值最大处；当中性轴不为截面对称轴时，危险截面在正、负弯矩最大处。例：图所示圆截面轴例：图所示圆截面轴AD，中段，中段BC承受均布载荷承受均布载荷q=1000kN/m作用，材料许用应力作用，材料许用应力=140MPa。试确定轴径。试确定轴径。解：确定支座约束力，作弯矩图解：确定支座约束力，作弯矩图AD700kNyyFF=确定轴径 确定轴径AB、CD段最大弯矩段最大弯矩1210kN mM=确定确定AB、CD段轴径段轴径 111max31132zMMWd=331163232 210

25、100.248m140 10Md =确定确定BC段轴径段轴径 222max32232zMMWd=332263232 455 100.321m140 10Md =BC段最大弯矩段最大弯矩2455kN mM=例：图所示意管道支架，例：图所示意管道支架，1-1截面的形状和尺寸如图。支架上管道重量截面的形状和尺寸如图。支架上管道重量P=1.0kN，求，求 1-1截面上的最大正应力；支架中间部分为实心时，截面上的最大正应力；支架中间部分为实心时，1-1截面上的最大正应力。截面上的最大正应力。解：解：1-1截面的弯矩截面的弯矩3311.01076010760N mM=计算截面中心有孔时的最大正应力 计算截

26、面中心有孔时的最大正应力1-1截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩33374160 200140 18020 803.78 10 mm121212zI=计算截面中心无孔时的最大正应力 计算截面中心无孔时的最大正应力1-1截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩3374160 200140 1803.86 10 mm1212zI=31maxmax712760 100 101.97MPa3.86 1010zM yI=31maxmax712760 100 102.01MPa3.78 1010zM yI=1760N mM=743.78 10 mmzI=例：例：T 形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图示

27、。铸铁的抗拉许用应力为形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图示。铸铁的抗拉许用应力为t=30MPa，抗压许用应力为，抗压许用应力为c=160MPa，试校核梁的强度。，试校核梁的强度。解：求支座约束力，作弯矩图解：求支座约束力，作弯矩图A()0:MF=B9 124 30yF +=+=0:yF=AB940yyFF+=+=解得：解得：A2.5kNyF=B10.5kNyF=截面性质形心位置 截面性质形心位置C80 20 1020 120 8052mm80 2020 120y+=+=+152mmy=288mmy=截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩332280 2020 1204280 202820 12

28、01212zI=+=+47630000mm=强度校核最大拉应力校核，强度校核最大拉应力校核，B截面和截面和C截面可能是最大拉应力发生位置截面可能是最大拉应力发生位置C截面截面B截面截面33B1tmaxt124 1052 1027.2MPa7630000 10zM yI =33C2tmaxt122.5 1088 1028.8MPa7630000 10zM yI =最大压应力校核，最大压应力在最大压应力校核，最大压应力在B截面截面33B2cmaxc124 1088 1046.2MPa7630000 10zM yI =B截面所以此梁的强度满足要求截面所以此梁的强度满足要求例：单梁吊车跨度例：单梁吊车

29、跨度l=10.5m，由，由No45a工字钢制成，材料的工字钢制成，材料的=140MPa。试计算能否起吊。试计算能否起吊F=85kN的重物；若不能，则在上下翼缘各焊接一块的重物；若不能，则在上下翼缘各焊接一块100100的钢板，钢板长的钢板，钢板长a=7m，再校核其强度；求加固钢板的经济安全长度。，再校核其强度；求加固钢板的经济安全长度。解：校核未加固梁的强度当小车位于梁的中点时，在梁的中点位置处弯矩最大查型钢表解：校核未加固梁的强度当小车位于梁的中点时，在梁的中点位置处弯矩最大查型钢表631430 10 mzW=3maxmax6223 10155.9MPa1430 10zMW =所以此梁不能起

30、吊所以此梁不能起吊F=85kN的重物的重物max85 10.5223kN m44FlM=校核加固梁的强度加固处截面强度校核 校核加固梁的强度加固处截面强度校核34284100 1032240 102(100 10 230)4.282 10 mm12zI=+=+=863max4.282 101.822 10 mm22510zzIWy=+=+当小车位于梁的中点时，在梁的中点位置处弯矩最大当小车位于梁的中点时，在梁的中点位置处弯矩最大max85 10.5223kN m44FlM=3maxmax6223 10122.5MPa1822 10zMW =未加固处截面强度校核设加固钢板长度为未加固处截面强度校

31、核设加固钢板长度为x，当小车作用在梁中点位置处，未加固截面的最大弯矩，当小车作用在梁中点位置处，未加固截面的最大弯矩max()4F lxM=当小车作用在加固钢板边缘处，未加固截面的最大弯矩当小车作用在加固钢板边缘处，未加固截面的最大弯矩max()()4F lx lxMl+=+=所以未加固截面的最大弯矩所以未加固截面的最大弯矩22max()()85(10.57)124kN m44 10.5F lx lxMl+=max124kN mM=未加固截面未加固截面631430 10 mzW=3maxmax6124 1086.7MPa1430 10zMW =所以加固以后该梁是安全的 计算加固钢板的经济安全长

32、度，设加固钢板为所以加固以后该梁是安全的 计算加固钢板的经济安全长度，设加固钢板为x 22maxmax()4zzMF lxWlW =24zlWxlF 66234 10.5 140 101430 1010.53.36m85 10=二、弯曲切应力强度条件二、弯曲切应力强度条件 *Smaxmaxmax()zzF SbI=梁的最大弯矩较小，而最大剪力却很大时（粗短梁、支座附近有很大集中力作用）。梁的最大弯矩较小，而最大剪力却很大时（粗短梁、支座附近有很大集中力作用）。梁的最大弯矩较小，而最大剪力却很大时（粗短梁、支座附近有很大集中力作用）。梁的最大弯矩较小，而最大剪力却很大时（粗短梁、支座附近有很大集

33、中力作用）。各向异性材料（木梁顺纹、组合截面梁胶粘层抗剪强度计算）。各向异性材料（木梁顺纹、组合截面梁胶粘层抗剪强度计算）。各向异性材料（木梁顺纹、组合截面梁胶粘层抗剪强度计算）。各向异性材料（木梁顺纹、组合截面梁胶粘层抗剪强度计算）。在焊接或铆接的组合截面钢梁中，横截面腹板部分的宽度与梁高之比小于型钢截面的相应比值。在焊接或铆接的组合截面钢梁中，横截面腹板部分的宽度与梁高之比小于型钢截面的相应比值。在焊接或铆接的组合截面钢梁中，横截面腹板部分的宽度与梁高之比小于型钢截面的相应比值。在焊接或铆接的组合截面钢梁中，横截面腹板部分的宽度与梁高之比小于型钢截面的相应比值。例：图所示起重机梁用工字钢制

34、成，已知负载例：图所示起重机梁用工字钢制成，已知负载F=20kN，梁的跨度，梁的跨度l=6m，许用正应力，许用正应力=100MPa，许用切应力，许用切应力=60MPa。试选择工字钢型号。解：按梁弯曲正应力强度条件初步选择工字钢型号当小车位于梁的中点时，在梁的中点位置处弯矩最大。试选择工字钢型号。解：按梁弯曲正应力强度条件初步选择工字钢型号当小车位于梁的中点时，在梁的中点位置处弯矩最大max20 630kN m44FlM=maxmaxzMW =343max630 103.0 10100 10zMWm=查型钢表选择查型钢表选择No22a工字钢工字钢查型钢表选择查型钢表选择No22a工字钢工字钢*m

35、ax0.189mzzIS=7.5mm=按梁弯曲切应力强度条件复核初步选择的工字钢型号当小车位于支座位置时，在此位置剪力最大 按梁弯曲切应力强度条件复核初步选择的工字钢型号当小车位于支座位置时，在此位置剪力最大Smax20kNFF=*3Smaxmaxmax330 1014.11MPa7.5 100.189zzFSI=所以选择工字钢满足弯曲正应力和弯曲切应力强度条件所以选择工字钢满足弯曲正应力和弯曲切应力强度条件例：图所示左端嵌固，右端用螺栓联结的悬臂梁，在自由端作用一集中力例：图所示左端嵌固，右端用螺栓联结的悬臂梁，在自由端作用一集中力F。不考虑上下层梁的摩擦，试分析螺栓的受力。不考虑上下层梁的

36、摩擦，试分析螺栓的受力。解：螺栓联结后，两根梁看成一个整体（高解：螺栓联结后，两根梁看成一个整体（高2a，宽，宽b）在载荷作用下整体弯曲，两根梁的接触面相当于整个梁的中性层各横截面中性轴处切应力）在载荷作用下整体弯曲，两根梁的接触面相当于整个梁的中性层各横截面中性轴处切应力S33322 24FFFAabab=中性层面上切应力中性层面上切应力34Fab=中性层面上的剪力中性层面上的剪力S3344FblFlFblaba=实际中性层间的剪力完全由螺栓承受，所以螺栓受剪力实际中性层间的剪力完全由螺栓承受，所以螺栓受剪力S34FlFa=中性层面上切应力中性层面上切应力34Fab=一、梁的合理截面形状一、

37、梁的合理截面形状1.合理的截面形状应该是截面面积较小，抗弯截面系数较大。1.合理的截面形状应该是截面面积较小，抗弯截面系数较大。maxzMW=maxzWM=zzzdabh236zbhW=3132zdW=4164zdI=4212zaI=326zaW=3312zbhI=321zzWhWa=.211 181zzWW=zzzdabh236zbhW=3132zdW=326zaW=方形比圆形合理方形比圆形合理方形比圆形合理方形比圆形合理矩形比方形合理矩形比方形合理矩形比方形合理矩形比方形合理zzzmaxzWM=Wz与截面面积对于中性轴的分布有关。材料分布越远离中性轴，截面的与截面面积对于中性轴的分布有关。

38、材料分布越远离中性轴，截面的Wz越大。越大。Wz与截面面积对于中性轴的分布有关。材料分布越远离中性轴，截面的与截面面积对于中性轴的分布有关。材料分布越远离中性轴，截面的Wz越大。越大。bhbhzz26zbhW=x26zhbW=tmax cmax z合理的截面：面积一定时，面积分布远离中性轴合理的截面：面积一定时，面积分布远离中性轴合理的截面：面积一定时，面积分布远离中性轴合理的截面：面积一定时，面积分布远离中性轴z应力大的地方材料用得多，应力小的地方材料用得少应力大的地方材料用得多，应力小的地方材料用得少应力大的地方材料用得多，应力小的地方材料用得少应力大的地方材料用得多，应力小的地方材料用得

39、少工字钢工字钢z空心预制板空心预制板zzzzz蜂窝梁蜂窝梁2.考虑材料的特性来选择截面的合理形状抗拉和抗压强度相等的材料，宜采用中性轴为对称轴的截面。2.考虑材料的特性来选择截面的合理形状抗拉和抗压强度相等的材料，宜采用中性轴为对称轴的截面。抗拉和抗压强度相等的材料，宜采用中性轴为对称轴的截面。抗拉和抗压强度相等的材料，宜采用中性轴为对称轴的截面。抗拉和抗压强度不相等的材料，宜采用中性轴偏向一侧的截面，使抗拉和抗压强度不相等的材料，宜采用中性轴偏向一侧的截面，使y1和和y2之比接近于下列关系之比接近于下列关系抗拉和抗压强度不相等的材料，宜采用中性轴偏向一侧的截面，使抗拉和抗压强度不相等的材料，

40、宜采用中性轴偏向一侧的截面，使y1和和y2之比接近于下列关系之比接近于下列关系ttmaxmax1max21cmax2c()/()zzMyMyyIIy =例：图所示梯形截面承受正弯矩作用。已知材料的许用拉应力例：图所示梯形截面承受正弯矩作用。已知材料的许用拉应力t=45MPa，许用压应力，许用压应力c=80MPa，为使梁重量最轻，试确定截面的顶边宽度，为使梁重量最轻，试确定截面的顶边宽度a 与底边宽度与底边宽度b 的最佳比值。的最佳比值。解：截面形心距底边距离是解：截面形心距底边距离是C(2)3()habyab+=+=+为使截面合理，满足下列条件为使截面合理，满足下列条件6cC6Ct80 104

41、5 10hyy=解得：解得：C925hy=223ab=二、变截面梁和等强度梁二、变截面梁和等强度梁1.变截面梁2.等强度梁1.变截面梁2.等强度梁 ()()zM xWx=改变截面尺寸，使抗弯截面系数随弯矩而变化。改变截面尺寸，使抗弯截面系数随弯矩而变化。改变截面尺寸，使抗弯截面系数随弯矩而变化。改变截面尺寸，使抗弯截面系数随弯矩而变化。变截面梁各横截面的最大正应力都等于许用应力。变截面梁各横截面的最大正应力都等于许用应力。变截面梁各横截面的最大正应力都等于许用应力。变截面梁各横截面的最大正应力都等于许用应力。例：图示集中力例：图示集中力F 作用下的简支梁，截面为矩形，设宽度作用下的简支梁，截面为矩形，设宽度b 不变，设计等强度梁。不变，设计等强度梁。解：解：2()()()62zbhxM xFxWx =3()Fxh xb=在支座附近，按切应力强度条件确定截面最小高度在支座附近，按切应力强度条件确定截面最小高度 Smax3324FFAbh =34Fhb 三、梁的合理受力三、梁的合理受力1.合理布置梁的支座2.尽量将载荷分散作用1.合理布置梁的支座2.尽量将载荷分散作用