复合材料力学Lecture-5.pdf

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1、复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论桥联模型公式的特点：桥联模型公式的特点：桥联模型公式的特点：桥联模型公式的特点：1 1 1 1）全部为封闭、显式；）全部为封闭、显式；）全部为封闭、显式；）全部为封闭、显式；2 2 2 2）不仅可以计算弹性性能参数，而且可以计算）不仅可以计算弹性性能参数，而且可以计算）不仅可以计算弹性性能参数，而且可以计算）不仅可以计算弹性性能参数，而且可以计算复合材料的非弹性性能参数；复合材料的非弹性性能参数；复合材料的非弹性性能参数；复合材料的非弹性性能参数；3 3 3

2、3）精度高；）精度高；）精度高；）精度高；4.6 4.6 4.6 4.6 4.6 4.6 4.6 4.6 桥联模型公式桥联模型公式桥联模型公式桥联模型公式桥联模型公式桥联模型公式桥联模型公式桥联模型公式4.6.1 4.6.1 4.6.1 4.6.1 4.6.1 4.6.1 4.6.1 4.6.1 引言引言引言引言引言引言引言引言 桥联模型的出发点是要为复合材料建立一个统一的桥联模型的出发点是要为复合材料建立一个统一的桥联模型的出发点是要为复合材料建立一个统一的桥联模型的出发点是要为复合材料建立一个统一的细观力学弹塑性本构和强度理论。本课程只介绍细观力学弹塑性本构和强度理论。本课程只介绍细观力学

3、弹塑性本构和强度理论。本课程只介绍细观力学弹塑性本构和强度理论。本课程只介绍其最基本的内容。其最基本的内容。其最基本的内容。其最基本的内容。4 4 4 4）公式比较复杂。）公式比较复杂。）公式比较复杂。）公式比较复杂。复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论x x x x1 1 1 1纤维纤维纤维纤维 基体基体基体基体x x x x2 2 2 2桥联模型的基本思路（物理背景）是：当复合材料桥联模型的基本思路（物理背景）是：当复合材料桥联模型的基本思路（物理背景）是：当复合材料桥联模型的基本思路（物理

4、背景）是：当复合材料受到外载作用并且没有破坏，其组份材料（纤维和受到外载作用并且没有破坏，其组份材料（纤维和受到外载作用并且没有破坏，其组份材料（纤维和受到外载作用并且没有破坏，其组份材料（纤维和基体）的内应力之间必然存在一个非奇异的系数矩基体）的内应力之间必然存在一个非奇异的系数矩基体）的内应力之间必然存在一个非奇异的系数矩基体）的内应力之间必然存在一个非奇异的系数矩阵，使两者之间互为函数关系。阵，使两者之间互为函数关系。阵，使两者之间互为函数关系。阵，使两者之间互为函数关系。该该该该系数矩阵类似一座桥，将两者联系起来，故称为系数矩阵类似一座桥，将两者联系起来，故称为系数矩阵类似一座桥，将两

5、者联系起来，故称为系数矩阵类似一座桥，将两者联系起来，故称为桥联矩阵。桥联模型亦因此而得名。桥联矩阵。桥联模型亦因此而得名。桥联矩阵。桥联模型亦因此而得名。桥联矩阵。桥联模型亦因此而得名。4.6.2 4.6.2 4.6.2 4.6.2 4.6.2 4.6.2 4.6.2 4.6.2 基本原理基本原理基本原理基本原理基本原理基本原理基本原理基本原理 mmmm f f f f =A=A=A=A桥联矩阵桥联矩阵桥联矩阵桥联矩阵纤维中的纤维中的纤维中的纤维中的内应力内应力内应力内应力基体中的基体中的基体中的基体中的内应力内应力内应力内应力(4.15)(4.15)(4.15)(4.15)(4.15)(4

6、.15)(4.15)(4.15)复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论 i i i i i i i if f f f f f f f=(=(=(=(=(=(=(=(V V V V V V V Vf f f f f f f f I+VI+VI+VI+VI+VI+VI+VI+VmmmmmmmmAAAAAAAAij ij ij ij ij ij ij ij)-1-1-1-1-1-1-1-1 j j j j j j j j (4.16)(4.16)(4.16)(4.16)i i i i i i i imm

7、mmmmmm=A A A A A A A Aij ij ij ij ij ij ij ij(V(V(V(V(V(V(V(Vf f f f f f f f I+VI+VI+VI+VI+VI+VI+VI+VmmmmmmmmAAAAAAAAij ij ij ij ij ij ij ij)-1-1-1-1-1-1-1-1 j j j j j j j j (4.17)(4.17)(4.17)(4.17)S S S S S S S Sij ij ij ij ij ij ij ij=(V=(V=(V=(V=(V=(V=(V=(Vf f f f f f f fSSSSSSSSij ij ij ij ij ij

8、 ij ijf f f f f f f f+V+V+V+V+V+V+V+VmmmmmmmmSSSSSSSSij ij ij ij ij ij ij ijmmmmmmmmAAAAAAAAij ij ij ij ij ij ij ij)(V)(V)(V)(V)(V)(V)(V)(Vf f f f f f f fI+VI+VI+VI+VI+VI+VI+VI+VmmmmmmmmAAAAAAAAij ij ij ij ij ij ij ij)-1-1-1-1-1-1-1-1 (4.18)(4.18)(4.18)(4.18)mimfifiVV+=mimfifiVV+=fjfjifiS=mjmjimiS=i

9、 i i i i i i i=S S S S S S S Sij ij ij ij ij ij ij ij j j j j j j j j 应用应用应用应用(4.15)(4.15)(4.15)(4.15)(4.15)(4.15)(4.15)(4.15)式，并根据下述基本方程：式，并根据下述基本方程：式，并根据下述基本方程：式，并根据下述基本方程：通过简单的代数运算，可以将纤维的内应力、基体通过简单的代数运算，可以将纤维的内应力、基体通过简单的代数运算，可以将纤维的内应力、基体通过简单的代数运算，可以将纤维的内应力、基体的内应力、单向复合材料的柔度矩阵都表作为桥联的内应力、单向复合材料的柔度矩阵

10、都表作为桥联的内应力、单向复合材料的柔度矩阵都表作为桥联的内应力、单向复合材料的柔度矩阵都表作为桥联矩阵的显示函数：矩阵的显示函数：矩阵的显示函数：矩阵的显示函数：复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论另一方面，只要知道了这三个物理量（严格说，只需另一方面，只要知道了这三个物理量（严格说，只需另一方面，只要知道了这三个物理量（严格说，只需另一方面，只要知道了这三个物理量（严格说，只需要两个，即纤维和基体中的内应力），就可以确定单要两个，即纤维和基体中的内应力），就可以确定单要两个，即纤维和基体中的

11、内应力），就可以确定单要两个，即纤维和基体中的内应力），就可以确定单向复合材料的响应：应变。向复合材料的响应：应变。向复合材料的响应：应变。向复合材料的响应：应变。如何得到？如何得到？如何得到？如何得到？如何得到？如何得到？如何得到？如何得到？如何根据纤维和基体所受的内应力，来确定单向复合如何根据纤维和基体所受的内应力，来确定单向复合如何根据纤维和基体所受的内应力，来确定单向复合如何根据纤维和基体所受的内应力，来确定单向复合材料的应变？材料的应变？材料的应变？材料的应变？mimfifiVV+=由由由由基本公式基本公式基本公式基本公式以及以及以及以及 fjfjifiS=mjmjimiS=i i

12、i i i i i if f f f f f f f=(=(=(=(=(=(=(=(V V V V V V V Vf f f f f f f f I+VI+VI+VI+VI+VI+VI+VI+VmmmmmmmmAAAAAAAAij ij ij ij ij ij ij ij)-1-1-1-1-1-1-1-1 j j j j j j j j i i i i i i i immmmmmmm=A A A A A A A Aij ij ij ij ij ij ij ij(V(V(V(V(V(V(V(Vf f f f f f f f I+VI+VI+VI+VI+VI+VI+VI+VmmmmmmmmAAAA

13、AAAAij ij ij ij ij ij ij ij)-1-1-1-1-1-1-1-1 j j j j j j j j 和和和和(4.16)(4.16)(4.16)(4.16)(4.16)(4.16)(4.16)(4.16)、(4.17)(4.17)(4.17)(4.17)(4.17)(4.17)(4.17)(4.17)式，即式，即式，即式，即 i i i i i i i i=(=(=(=(=(=(=(=(V V V V V V V Vf f f f f f f fSSSSSSSSij ij ij ij ij ij ij ijf f f f f f f f+V+V+V+V+V+V+V+Vmm

14、mmmmmmSSSSSSSSij ij ij ij ij ij ij ijmmmmmmmmAAAAAAAAij ij ij ij ij ij ij ij)(V)(V)(V)(V)(V)(V)(V)(Vf f f f f f f f I+VI+VI+VI+VI+VI+VI+VI+VmmmmmmmmAAAAAAAAij ij ij ij ij ij ij ij)-1-1-1-1-1-1-1-1 j j j j j j j j 得到：得到：得到：得到：复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论=333231

15、232221131211aaaaaaaaaAij经验告诉我们，桥联矩阵中一定存在经验告诉我们，桥联矩阵中一定存在经验告诉我们，桥联矩阵中一定存在经验告诉我们，桥联矩阵中一定存在0 0 0 0元素，先定它们。元素，先定它们。元素，先定它们。元素，先定它们。=ffffffffijGEEEES122211121112111000101=mmmmmmmmijGEEEES1000101=122211121112111000101GEEEESij=IIIijSSGEEEES001|000|10|112221112111211完全完全矩阵矩阵 分块分块矩阵矩阵 4.6.3 4.6.3 4.6.3 4.6.3

16、 4.6.3 4.6.3 4.6.3 4.6.3 桥联矩阵桥联矩阵桥联矩阵桥联矩阵桥联矩阵桥联矩阵桥联矩阵桥联矩阵=22111211121111EEEESI=121GSII S S S Sij ij ij ij=(V=(V=(V=(Vf f f fSSSSij ij ij ijf f f f+V+V+V+VmmmmSSSSij ij ij ijmmmmAAAAij ij ij ij)(V)(V)(V)(Vf f f fI+VI+VI+VI+VmmmmAAAAij ij ij ij)-1-1-1-1 分别将分块对角阵代入分别将分块对角阵代入分别将分块对角阵代入分别将分块对角阵代入(4.18)(4

17、.18)(4.18)(4.18)(4.18)(4.18)(4.18)(4.18)，即：，即：，即：，即：其次，单向复合材料平面问题中须有四个独立元素，其次，单向复合材料平面问题中须有四个独立元素，其次，单向复合材料平面问题中须有四个独立元素，其次，单向复合材料平面问题中须有四个独立元素，即，即，即，即，A A A A A A A Aij ij ij ij ij ij ij ij 中须有四个独立元素，其中中须有四个独立元素，其中中须有四个独立元素，其中中须有四个独立元素，其中a a a a a a a a3333333333333333须独立。另一须独立。另一须独立。另一须独立。另一个因变量由个

18、因变量由个因变量由个因变量由 S S S S S S S Sij ij ij ij ij ij ij ij 的对称性确定：的对称性确定：的对称性确定：的对称性确定：=33222112110000aaaaaAij（4.194.194.194.19）S S S S S S S S2121212121212121=S S S S S S S S1212121212121212 fmfmmfSSaSSaaSSa11112122221122121212)()(+=(4.20)(4.20)(4.20)(4.20)复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第

19、四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论现在，先解决这样一个问题：桥联矩阵是否对称？即，现在，先解决这样一个问题：桥联矩阵是否对称？即，现在，先解决这样一个问题：桥联矩阵是否对称？即，现在，先解决这样一个问题：桥联矩阵是否对称？即，是否可以有是否可以有是否可以有是否可以有a a a a a a a a1212121212121212=a a a a a a a a2121212121212121?直观上，由于在矩阵方程直观上，由于在矩阵方程直观上，由于在矩阵

20、方程直观上，由于在矩阵方程(4.18)(4.18)(4.18)(4.18)(4.18)(4.18)(4.18)(4.18)中，除了中，除了中，除了中，除了 A A A A A A A Aij ij ij ij ij ij ij ij 外，其它外，其它外，其它外，其它所有元素皆对称，因而桥联矩阵似乎应该对称。所有元素皆对称，因而桥联矩阵似乎应该对称。所有元素皆对称，因而桥联矩阵似乎应该对称。所有元素皆对称，因而桥联矩阵似乎应该对称。我们要证明：我们要证明：我们要证明：我们要证明：一般情况下，桥联矩阵不对称。一般情况下，桥联矩阵不对称。一般情况下，桥联矩阵不对称。一般情况下，桥联矩阵不对称。首先证

21、明：当自变量首先证明：当自变量首先证明：当自变量首先证明：当自变量a a a a a a a a2222222222222222 a a a a a a a a1111111111111111时，桥联矩阵不对称。时，桥联矩阵不对称。时，桥联矩阵不对称。时，桥联矩阵不对称。事实上，如果事实上，如果事实上，如果事实上，如果桥联矩阵对称，即桥联矩阵对称，即桥联矩阵对称，即桥联矩阵对称，即a a a a a a a a1212121212121212=a a a a a a a a2121212121212121，那么，从那么，从那么，从那么，从(4.20)(4.20)(4.20)(4.20)(4.2

22、0)(4.20)(4.20)(4.20)式，得到：式，得到：式，得到：式，得到：现在，假定纤维和基体分别是各向同性材料如玻璃现在，假定纤维和基体分别是各向同性材料如玻璃现在，假定纤维和基体分别是各向同性材料如玻璃现在，假定纤维和基体分别是各向同性材料如玻璃纤维与环氧树脂。此时，上式的左边恒为纤维与环氧树脂。此时，上式的左边恒为纤维与环氧树脂。此时，上式的左边恒为纤维与环氧树脂。此时，上式的左边恒为0 0 0 0，右边，右边，右边，右边 a a a a a a a a2222222222222222 a a a a a a a a1111111111111111。因此，上述等式成立的必要条件是因

23、此，上述等式成立的必要条件是因此，上述等式成立的必要条件是因此，上述等式成立的必要条件是 ：)()(112212121222221111aaSSaSSSSmfmffm=+(4.21)(4.21)(4.21)(4.21)(4.21)(4.21)(4.21)(4.21)复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论mfSS1212=这这这这显然在一般情况下是不可能的。因此，当显然在一般情况下是不可能的。因此，当显然在一般情况下是不可能的。因此，当显然在一般情况下是不可能的。因此，当a a a a a a a

24、a2222222222222222 a a a a a a a a1111111111111111时证明了：桥联矩阵一般不可能对称。时证明了：桥联矩阵一般不可能对称。时证明了：桥联矩阵一般不可能对称。时证明了：桥联矩阵一般不可能对称。现在，假定现在，假定现在，假定现在，假定a a a a a a a a2222222222222222=a a a a a a a a1111111111111111。此时，此时，此时，此时，(4.21)(4.21)(4.21)(4.21)(4.21)(4.21)(4.21)(4.21)式右边恒为式右边恒为式右边恒为式右边恒为0 0 0 0 0 0 0 0。如。如

25、。如。如果选用各向异性纤维如碳纤维，就立即得出结论：果选用各向异性纤维如碳纤维，就立即得出结论：果选用各向异性纤维如碳纤维，就立即得出结论：果选用各向异性纤维如碳纤维，就立即得出结论：a a a a a a a a1212121212121212=a a a a a a a a2121212121212121=0=0=0=0=0=0=0=0。就是说，桥联矩阵为对角矩阵，且：就是说，桥联矩阵为对角矩阵，且：就是说，桥联矩阵为对角矩阵，且：就是说，桥联矩阵为对角矩阵，且：=33000000aaaAijaVVmff+=1111aVVamfm+=1111aVVmff+=2222aVVamfm+=222

26、2很很很很容易得到：容易得到：容易得到：容易得到：复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论首先，假定单向复合材料只受轴向载荷作用。由首先，假定单向复合材料只受轴向载荷作用。由首先，假定单向复合材料只受轴向载荷作用。由首先，假定单向复合材料只受轴向载荷作用。由轴向轴向轴向轴向应变方程，得到：应变方程，得到：应变方程，得到：应变方程，得到：1111111111111111/+=+=aVVEaVEVEVEVEmfmmffmmmfff(4.22)(4.22)(4.22)(4.22)(4.22)(4.22)(

27、4.22)(4.22)注意到复合材料的力学性能是其固有特性，不会因加注意到复合材料的力学性能是其固有特性，不会因加注意到复合材料的力学性能是其固有特性，不会因加注意到复合材料的力学性能是其固有特性，不会因加载形式不同而变化（只要在弹性变形范围内），我们载形式不同而变化（只要在弹性变形范围内），我们载形式不同而变化（只要在弹性变形范围内），我们载形式不同而变化（只要在弹性变形范围内），我们选择最简单的加载求弹性参数。选择最简单的加载求弹性参数。选择最简单的加载求弹性参数。选择最简单的加载求弹性参数。2222222222222222/+=+=aVVEaVEVEVEVEmfmmffmmmfff(4.

28、23)(4.23)(4.23)(4.23)(4.23)(4.23)(4.23)(4.23)比较比较比较比较(4.22)(4.22)(4.22)(4.22)(4.22)(4.22)(4.22)(4.22)与与与与(4.23)(4.23)(4.23)(4.23)(4.23)(4.23)(4.23)(4.23)式我们看到，如果桥联矩阵对称，式我们看到，如果桥联矩阵对称，式我们看到，如果桥联矩阵对称，式我们看到，如果桥联矩阵对称，那么势必得出那么势必得出那么势必得出那么势必得出“若纤维和基体皆是各向同性材料若纤维和基体皆是各向同性材料若纤维和基体皆是各向同性材料若纤维和基体皆是各向同性材料,则单则单则

29、单则单向复合材料的轴向模量向复合材料的轴向模量向复合材料的轴向模量向复合材料的轴向模量E E E E E E E E1111111111111111与横向模量与横向模量与横向模量与横向模量E E E E E E E E2222222222222222相等相等相等相等”的结的结的结的结论。这显然与实际不符。论。这显然与实际不符。论。这显然与实际不符。论。这显然与实际不符。再假定该复合材料只受横向力作用。根据横向应变方再假定该复合材料只受横向力作用。根据横向应变方再假定该复合材料只受横向力作用。根据横向应变方再假定该复合材料只受横向力作用。根据横向应变方程，类似有：程，类似有：程，类似有：程，类似

30、有：复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论这样就证明了：桥联矩阵一般不可能是对称矩阵。这样就证明了：桥联矩阵一般不可能是对称矩阵。这样就证明了：桥联矩阵一般不可能是对称矩阵。这样就证明了：桥联矩阵一般不可能是对称矩阵。最后问题是，如何确定桥联矩阵的最后问题是，如何确定桥联矩阵的最后问题是，如何确定桥联矩阵的最后问题是，如何确定桥联矩阵的四个自变量四个自变量四个自变量四个自变量a a a a a a a a1111111111111111、a a a a a a a a222222222222222

31、2、a a a a a a a a2121212121212121、a a a a a a a a3333333333333333？首先分析这些首先分析这些首先分析这些首先分析这些自变量与哪些因素有关。影响自变量取自变量与哪些因素有关。影响自变量取自变量与哪些因素有关。影响自变量取自变量与哪些因素有关。影响自变量取值的参数可以分为两类：一类是材料参数，包括纤维值的参数可以分为两类：一类是材料参数，包括纤维值的参数可以分为两类：一类是材料参数，包括纤维值的参数可以分为两类：一类是材料参数，包括纤维和基体的力学性能；另一类是几何参数，包括纤维体和基体的力学性能；另一类是几何参数，包括纤维体和基体的

32、力学性能；另一类是几何参数，包括纤维体和基体的力学性能；另一类是几何参数，包括纤维体积含量、纤维排列方式、纤维截面形状、纤维与基体积含量、纤维排列方式、纤维截面形状、纤维与基体积含量、纤维排列方式、纤维截面形状、纤维与基体积含量、纤维排列方式、纤维截面形状、纤维与基体的表面粘结情况等。的表面粘结情况等。的表面粘结情况等。的表面粘结情况等。第第第第一类参数的取值会依赖于受力大小，比如外力很小一类参数的取值会依赖于受力大小，比如外力很小一类参数的取值会依赖于受力大小，比如外力很小一类参数的取值会依赖于受力大小，比如外力很小时基体处于弹性变形与外力很大、基体处于塑性变形时基体处于弹性变形与外力很大、

33、基体处于塑性变形时基体处于弹性变形与外力很大、基体处于塑性变形时基体处于弹性变形与外力很大、基体处于塑性变形时的力学性能参数会不一样。第二类参数则一般不会时的力学性能参数会不一样。第二类参数则一般不会时的力学性能参数会不一样。第二类参数则一般不会时的力学性能参数会不一样。第二类参数则一般不会因受力不同而改变。因受力不同而改变。因受力不同而改变。因受力不同而改变。复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论因此，因此，因此，因此，a a a a a a a a1111111111111111、a a a

34、a a a a a2222222222222222、a a a a a a a a2121212121212121、a a a a a a a a3333333333333333可以看作为多变量（即材料可以看作为多变量（即材料可以看作为多变量（即材料可以看作为多变量（即材料参数和几何参数）的函数，因而可以相对材料参数作参数和几何参数）的函数，因而可以相对材料参数作参数和几何参数）的函数，因而可以相对材料参数作参数和几何参数）的函数，因而可以相对材料参数作幂级数展开。幂级数展开。幂级数展开。幂级数展开。由于当两种组成材料（纤维和基体）的性能变的完由于当两种组成材料（纤维和基体）的性能变的完由于当

35、两种组成材料（纤维和基体）的性能变的完由于当两种组成材料（纤维和基体）的性能变的完全相同时，桥联矩阵必须要能够退化为单位矩阵，全相同时，桥联矩阵必须要能够退化为单位矩阵，全相同时，桥联矩阵必须要能够退化为单位矩阵，全相同时，桥联矩阵必须要能够退化为单位矩阵，据此写出一般的展开式为：据此写出一般的展开式为：据此写出一般的展开式为：据此写出一般的展开式为：.)/1(1111111+=fmEEa(4.24.1)(4.24.1)(4.24.1)(4.24.1).)/1(1222122+=fmEEa(4.24.2)(4.24.2)(4.24.2)(4.24.2).)/1(1123133+=fmGGa(4

36、.24.3)(4.24.3)(4.24.3)(4.24.3).)/1(124121+=fma(4.24.4)(4.24.4)(4.24.4)(4.24.4)展开系数展开系数展开系数展开系数 只与几何参数有关而跟材料特性无关。只与几何参数有关而跟材料特性无关。只与几何参数有关而跟材料特性无关。只与几何参数有关而跟材料特性无关。4.6.4 4.6.4 4.6.4 4.6.4 4.6.4 4.6.4 4.6.4 4.6.4 展开系数的确定展开系数的确定展开系数的确定展开系数的确定展开系数的确定展开系数的确定展开系数的确定展开系数的确定复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性

37、理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论imumSSijtheoryijtestijmin)()(31312=严格说，展开系数应该通过实验确定严格说，展开系数应该通过实验确定严格说，展开系数应该通过实验确定严格说，展开系数应该通过实验确定：但由这种方法确定展开系数的代价过高、使用不但由这种方法确定展开系数的代价过高、使用不但由这种方法确定展开系数的代价过高、使用不但由这种方法确定展开系数的代价过高、使用不便，一组显式展开系数会大大方便实际应用。便，一组显式展开系数会大大方便实际应用。便，一组显式展开系数会大大方便实际应用。便，一组显式展开系数会大大方便实际应用。可

38、以可以可以可以这样确定展开系数，使得根据桥联模型公式计这样确定展开系数，使得根据桥联模型公式计这样确定展开系数，使得根据桥联模型公式计这样确定展开系数，使得根据桥联模型公式计算的单向复合材料的四个弹性常数算的单向复合材料的四个弹性常数算的单向复合材料的四个弹性常数算的单向复合材料的四个弹性常数E E E E E E E E1111111111111111、E E E E E E E E2222222222222222、1212121212121212、G G G G G G G G1212121212121212与一些经典公式的计算结果相同或相近。与一些经典公式的计算结果相同或相近。与一些经典

39、公式的计算结果相同或相近。与一些经典公式的计算结果相同或相近。fmEEa1111/=(4.25)(4.25)(4.25)(4.25)a21=0 (4.26)(4.26)(4.26)(4.26)fmEEa2222)1(+=0 0 0 0 1 1 1 1(4.27)(4.27)(4.27)(4.27)由此，导出桥联矩阵的自变量公式如下：由此，导出桥联矩阵的自变量公式如下：由此，导出桥联矩阵的自变量公式如下：由此，导出桥联矩阵的自变量公式如下：复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论将将将将(4.26)(

40、4.26)(4.26)(4.26)(4.26)(4.26)(4.26)(4.26)代入代入代入代入(4.20)(4.20)(4.20)(4.20)(4.20)(4.20)(4.20)(4.20)，得到非，得到非，得到非，得到非0 0 0 0 0 0 0 0因变量因变量因变量因变量a a a a a a a a1212121212121212为：为：为：为：fmmfSSaaSSa11111122121212)(=(4.29)(4.29)(4.29)(4.29)fmGGa1233)1(+=0 0 0 0 1 1 1 1(4.28)(4.28)(4.28)(4.28)(4.27)(4.27)(4.2

41、7)(4.27)(4.27)(4.27)(4.27)(4.27)和和和和(4.28)(4.28)(4.28)(4.28)(4.28)(4.28)(4.28)(4.28)式中的式中的式中的式中的 和和和和 分别称为桥联参数，由实分别称为桥联参数，由实分别称为桥联参数，由实分别称为桥联参数，由实验确定。当缺少实验数据时，可以取验确定。当缺少实验数据时，可以取验确定。当缺少实验数据时，可以取验确定。当缺少实验数据时，可以取:需要特别强调的是：桥联矩阵的自变量表达式不是需要特别强调的是：桥联矩阵的自变量表达式不是需要特别强调的是：桥联矩阵的自变量表达式不是需要特别强调的是：桥联矩阵的自变量表达式不是惟

42、一的惟一的惟一的惟一的，公式，公式，公式，公式(4.25)(4.25)(4.25)(4.25)(4.25)(4.25)(4.25)(4.25)(4.28)(4.28)(4.28)(4.28)(4.28)(4.28)(4.28)(4.28)仅仅只是其中的一组。仅仅只是其中的一组。仅仅只是其中的一组。仅仅只是其中的一组。相对混合率模型，桥联模型的推导过程似乎过于复相对混合率模型，桥联模型的推导过程似乎过于复相对混合率模型，桥联模型的推导过程似乎过于复相对混合率模型，桥联模型的推导过程似乎过于复杂，平面问题的桥联矩阵有杂，平面问题的桥联矩阵有杂，平面问题的桥联矩阵有杂，平面问题的桥联矩阵有9 9 9

43、 9 9 9 9 9个元素，三维问题的个元素，三维问题的个元素，三维问题的个元素，三维问题的桥联矩阵则有桥联矩阵则有桥联矩阵则有桥联矩阵则有3636363636363636个元素，所有这些元素都要一一确个元素，所有这些元素都要一一确个元素，所有这些元素都要一一确个元素，所有这些元素都要一一确定。但是，引入桥联矩阵的最大好处是可以很容易定。但是，引入桥联矩阵的最大好处是可以很容易定。但是，引入桥联矩阵的最大好处是可以很容易定。但是，引入桥联矩阵的最大好处是可以很容易得到复合材料的非线性本构关系。得到复合材料的非线性本构关系。得到复合材料的非线性本构关系。得到复合材料的非线性本构关系。=1/2=1

44、/2=1/2=1/2=1/2=1/2=1/2=1/2(4.30)(4.30)(4.30)(4.30)(4.30)(4.30)(4.30)(4.30)复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论4.6.54.6.54.6.54.6.54.6.54.6.54.6.54.6.5、弹性常数公式、弹性常数公式、弹性常数公式、弹性常数公式、弹性常数公式、弹性常数公式、弹性常数公式、弹性常数公式 下面根据桥联模型公式，推导单向复合材料等效弹性下面根据桥联模型公式，推导单向复合材料等效弹性下面根据桥联模型公式，推导单向

45、复合材料等效弹性下面根据桥联模型公式，推导单向复合材料等效弹性常数表达式常数表达式常数表达式常数表达式。推导推导推导推导单向复合材料四个弹性常数单向复合材料四个弹性常数单向复合材料四个弹性常数单向复合材料四个弹性常数E E E E E E E E1111111111111111、E E E E E E E E2222222222222222、1212121212121212、G G G G G G G G1212121212121212的基本做法是：分别导出沿各个主方向的应力和应的基本做法是：分别导出沿各个主方向的应力和应的基本做法是：分别导出沿各个主方向的应力和应的基本做法是：分别导出沿各个

46、主方向的应力和应变，两者之间的比值就对应某个弹性常数。变，两者之间的比值就对应某个弹性常数。变，两者之间的比值就对应某个弹性常数。变，两者之间的比值就对应某个弹性常数。与推导混合法公式类似，依次对单向复与推导混合法公式类似，依次对单向复与推导混合法公式类似，依次对单向复与推导混合法公式类似，依次对单向复合材料合材料合材料合材料沿各个主方向加简单应力。沿各个主方向加简单应力。沿各个主方向加简单应力。沿各个主方向加简单应力。沿沿沿沿 1111111111111111方向的基本方程：方向的基本方程：方向的基本方程：方向的基本方程：1 1 1 1 1 1 1 1、仅仅只加、仅仅只加、仅仅只加、仅仅只加

47、 1111111111111111 mmffVV111111+=(4.31)(4.31)(4.31)(4.31)x x x x x x x x2 2 2 2 2 2 2 2 1111111111111111x x x x x x x x1 1 1 1 1 1 1 1 1111111111111111补充桥联补充桥联补充桥联补充桥联方程：方程：方程：方程：ffmaa2212111111+=(4.32)(4.32)(4.32)(4.32)复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论上述两个方程中含有上述两个

48、方程中含有上述两个方程中含有上述两个方程中含有3 3 3 3 3 3 3 3个未知量，还必须补充方程。个未知量，还必须补充方程。个未知量，还必须补充方程。个未知量，还必须补充方程。沿沿沿沿x x x x x x x x2 2 2 2 2 2 2 2方向的基本方程及补充的桥联方程是：方向的基本方程及补充的桥联方程是：方向的基本方程及补充的桥联方程是：方向的基本方程及补充的桥联方程是：0222222=+=mmffVVfma222222=由此解出由此解出由此解出由此解出02222=fm代入代入代入代入(4.32)(4.32)(4.32)(4.32)(4.32)(4.32)(4.32)(4.32)式后

49、再与式后再与式后再与式后再与(4.31)(4.31)(4.31)(4.31)(4.31)(4.31)(4.31)(4.31)式联立求解，得到式联立求解，得到式联立求解，得到式联立求解，得到：111111aVVmff+=11111111aVVamfm+=3322121100000aaaaAij复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论111111111111111111111111/+=+=+=aVVEaVEVEVEVVVEmfmmffmmmfffmmff再由轴再由轴再由轴再由轴向向向向应变基本方程，有

50、：应变基本方程，有：应变基本方程，有：应变基本方程，有：将将将将a a a a a a a a1111111111111111代入代入代入代入上述方程中并化简，得到：上述方程中并化简，得到：上述方程中并化简，得到：上述方程中并化简，得到：mmffmfmmffEVEVaVVEaVEVE+=+=11111111111/这是根据桥联模型得到的轴向模量表达式，与混合这是根据桥联模型得到的轴向模量表达式，与混合这是根据桥联模型得到的轴向模量表达式，与混合这是根据桥联模型得到的轴向模量表达式，与混合率给出的率给出的率给出的率给出的轴向模量公式相同。轴向模量公式相同。轴向模量公式相同。轴向模量公式相同。11