复合材料学报-0006.pdf

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1、复 合 材 料 学 报 Acta Materiae Compositae Sinica 聚合物梯度材料黏弹性断裂的双控制参数 聚合物梯度材料黏弹性断裂的双控制参数 彭凡*1，马庆镇，戴宏亮（湖南大学 机械与运载工程学院，长沙 410082）摘 要：摘 要：针对组分材料体积分数任意分布的聚合物功能梯度材料，研究其在蠕变加载条件下型裂纹应力强度因子和应变能释放率的时间相依特征。由 Mori-Tanaka 方法预测等效松弛模量，在 Laplace 变换域中采用梯度有限元法和虚拟裂纹闭合方法计算断裂参数，由数值逆变换得到物理空间的对应量。分析边裂纹平行于梯度方向的聚合物功能梯度板条，分别考虑均匀拉伸和

2、三点弯曲蠕变加载。结果表明，应变能释放率随时间增加，其增大的程度与黏弹性组分材料体积分数正相关；材料的非均匀黏弹性性质产生应力重新分布，导致裂纹尖端应力场强度随时间变化，当裂纹位于黏弹性材料含量低的一边时，应力强度因子随时间增加，反之，随时间减小。而且，应力强度因子与时间相依的变化范围和体积分数分布以及加载方式有关，当体积分数接近线性分布时，变化最明显，三点弯曲比均匀拉伸的变化大。应力强度因子随时间增加或减小，加剧或减轻裂纹尖端部位的“衰坏”，表明黏弹性功能梯度裂纹体的延迟失稳需要联合采用应变能释放率与应力强度因子作为双控制参数。关键词：关键词：聚合物；梯度材料；黏弹性断裂；蠕变；应力强度因子

3、；应变能释放率 中图分类号：中图分类号：O034 文献标志码：文献标志码：A Two-parameter control of viscoelastic fracture for polymer graded materials PENG Fan*,MA Qingzhen,DAI Hongliang（College of Mechanical and Vehicle Engineering,Hunan University,Changsha 410082）Abstract:The time dependent characteristics of stress intensity factor

4、 and strain energy release rate for mode cracks in polymeric graded materials with arbitrary distribution of volume content of constituent materials under creep loading were investigated.The effective relaxation modulus was predicted based on Mori-Tanaka approach.In Laplace transform domain,the frac

5、ture parameters were determined by applying graded finite element method and virture crack closure technique,and their correspondent quantities in physical space were obtained with numerical Laplace inversion.The polymeric graded plate strips with edge crack parallel to graded direction were analyze

6、d,and both far field homogeneous tension and three-point bending were considered respectively.The numerical results show that the strain energy release rate increases with time elapsed and its variation range is dependent on the volume fraction of viscoelastic constituent;the intensity of stress fie

7、ld near crack tip varies with time due to stress redistribution originating from heterogeneous viscoelasic behaviour of graded materials.The SIFs increase with time when crack is located on the side with less volume content of viscoelastic constituent,and decrease on the contrary.The time-dependent

8、variation range of SIFs is influenced by both the distribution of volume fraction of constituents and loading mode,and reaches the maximum value for the 收到初稿日期：2013-01-10 收到修改稿日期：网络出版时间：网络出版地址：DOI：基金项目：湖南省自然科学基金项目（11JJ3001）通讯作者：彭凡，博士，教授.研究方向：复合材料力学.E-mail: 复 合 材 料 学 报 Acta Materiae Compositae Sinica

9、 linear distribution of volume fraction.The increase or decrease of SIFs will speed or abate the damage in the process zone near crack tip,these results suggest that it is necessary to adopt both stress intensity factor and strain energy release rate to control the time delayed fracture in polymeric

10、 graded materials.Keywords:polymer;graded material;viscoelastic fracture;creep;stress intensity factor;strain energy release rate 高聚物功能梯度材料包括高聚物/金属、高聚物/陶瓷和高聚物/无机填料等，其应用前景广泛，如用作人体组织器官修复的生物医学材料，热应力缓和作用的耐磨机械零件和建材等等。材料制备及加工产生缺陷或裂纹，以及高分子组分材料的黏弹性性质，会使得高聚物功能梯度材料发生时间相依的失效。因此，研究此类材料的黏弹性断裂行为对材料设计、制备及应用具有指导意义。

11、然而，关于高聚物功能梯度材料时间相依断裂的研究工作仍很少。Paulino 等1将松弛模量假设成空间函数与时间函数的乘积，提出弹性-黏弹性对应原理，并基于此对应原理得到黏弹性功能梯度材料反平面裂纹在给定远场恒位移时的应力强度因子及其随时间减小的特征2。类似地，李伟杰与王保林等结合Paulino 的对应原理和弹性有限元计算得到给定恒应变条件下、型应力强度因子值随时间下降的曲线3，上述工作考虑了给定变形时特殊黏弹性材料的松弛力学行为。当组分材料的体积分数呈任意分布时，梯度材料的有效松弛模量不能表示成分离变量的形式，故弹性解不能直接对应到黏弹性解，文4给出了求解此一般问题的数值分析途径，即将问题转化到

12、 Laplace 象空间中进行有限元求解，结合数值逆变换得到应力强度因子和应变能释放率。应变能释放率是黏弹性裂纹体的主要断裂参数，在恒定荷载作用下，应变能释放率随时间增加至临界值，发生失稳断裂5，此即所谓“延迟断裂”。高聚物功能梯度材料属于非均匀复合材料，具有非均匀的黏弹性性质。即使荷载保持不变，由于材料的非均匀流变特性导致裂纹尖端应力场的演化复杂，表征应力场强度的应力强度因子随时间变化，加剧或减轻裂纹尖端区域的“衰坏”，从而改变材料抵抗延迟断裂的能力，这是一个需要关注的问题。为此，本文作者采用文4的有限元数值方法，在蠕变加载条件下，分析高聚物功能梯度材料裂纹体的应变能释放率和应力强度因子的时

13、间相依特征，有助于深入认识此类材料的延迟断裂机制。文中首先简述断裂参数的计算方法，然后以裂纹平行于梯度方向的边裂纹板条为对象展开分析。1 应力强度因子与应变能释放率的分析方法1 应力强度因子与应变能释放率的分析方法 考虑夹杂简化为球形颗粒的梯度复合材料，在线黏弹性条件下，一般可认为组分材料的泊松比及复合以后材料的泊松比与时间无关 6，则黏弹性梯度材料平面应力问题的松弛型本构关系可表示为7 2 0 2 0 01()(,-)d()+()()1()1()(,-)d()+()()1()1()(,-)d()21+()txxytyyxtxyxytEt tEt tEt =xxxxxxxx(1)式中，x、y和

14、xy为应力，x、y和xy是应变；E(x,t)和(x)分别为梯度材料的等效松弛模量与泊松比，其中，x 表示物质点的空间坐标，t 表示时间。假设材料无老化且处于等温环境中，将式(1)两边对时间作Laplace变换，得到象空间中的本构关系：22()()1()()()1()()21+()xxyyyxxyxysEsEsE=+=+=xxxxxxxx (2)式中，x、y和xy为象空间中的应力，x、y和xy为象空间中的应变，(,)Esx是等效松弛模量的象函数，s为Laplace参数。由于数学上的相似性，线弹性问题中的各类场变量和断裂参量可以与象空间中黏弹性问题的相应量形成对应关系。只需将弹性模量和松弛模量的C

15、arson变换(,)sEsx对应，且采用象空间中的力边界与位移边界。基于变分原理，可得象空间中的有限元列式8，最终的平衡方复 合 材 料 学 报 Acta Materiae Compositae Sinica 程可写为()()()sss=KUF (3)式中，()sK为总体刚度矩阵，()sU为节点位移向量，()sF为载荷向量。参照文献9，在形成单元刚度矩阵的积分过程中，由高斯积分点的空间坐标直接确定材料等效参量(,)Esx和()x，文中取22高斯积分点。将Irwin10的虚拟裂纹闭合方法推广到象空间中，如图1所示，裂纹沿x轴虚拟扩展a，则由扩展部分闭合所需的功可定义象空间中的应变能释放率为 00

16、1()lim(,0)(,)dayyaaaG ss xusaxxa+=(4)式中，(,0)ys x是裂纹长度为a时裂纹前端x轴上的y方向正应力，(,-,)yusa x是对应裂纹长度a+a的y方向位移。Rybicki和Kannimen11对Irwin的方法进行了改进，假设虚拟裂纹尖端后面的张开位移和实际裂纹尖端后面的张开位移近似相等，由此可使得式(4)的积分在一次计算内实现。如图2所示，基于改进的虚拟裂纹闭合法，Raju12给出八节点奇异元计算弹性裂纹问题的计算式，将其扩展到象空间中，得 31,4 52,6 7=11()()2kykykykG sFuud a=+(5)式中，d是板厚，,4 5yu和

17、,6 7yu分别表示节点4和5以及节点6和7之间的y方向位移差，1yF、2 yF和3yF是节点1、2与3的 y方向节点力，其余各系数分别为 111221223132333372114,52,8221621212117,8,32482=+=+=+(6)数值实验结果表明，改进后的虚拟裂纹闭合法是一种精度较高的近似方法13，对梯度材料这一特点依然存在4,14。象空间中，应变能释放率与应力强度因子之间的关系可写为4 tip()()()KssG s Es=(7)式中tipE是梯度材料松弛模量的象函数在裂纹尖端的取值。对式(7)和(5)给出的断裂参数进行Laplace反演，得到物理空间的应力强度因子K和应

18、变能释放率G 为4 11()=()()=()K tLKsG tLsG s (8)采用Bellman的数值反演算法15,16求解式(8)111211ln()ln()nsiiiinsiiiisW XKAXKAAssW XGAXGAA=(9)式中，n表示求积节点个数，s=1,2,n，Xi是移位后的n阶勒让德多项式的根，Wi是权重系数，A（0）为移轴系数，调整该系数可改变离散时间点的分布区间，ti=-Aln(Xi)对应物理空间的时间点。给定s，依式(3)表述的梯度有限元法求解象空间中的边值问题；根据式(5)计算应变能释放率，由式(7)得到应力强度因子；最后由式(9)确定不同时间点的断裂参数值。文中取n

19、=6。图1 象空间中的虚拟裂纹扩展的参数说明 Fig.1 Parameter illustration of Virtual crack extension in phase domain 图2 应变能释放率计算的虚拟裂纹闭合法示意图 Fig.2 Diagrammatic sketch of virtual crack closure technique to determine strain energy release rate 2 蠕变加载条件下黏弹性断裂参数的时间相依特征2 蠕变加载条件下黏弹性断裂参数的时间相依特征 xyxaax arO(,),()Es xx()s()sxyxy123

20、4675复 合 材 料 学 报 Acta Materiae Compositae Sinica 考虑图3所示的边裂纹板条，宽度b=6cm，长度l=4b，厚度d为5mm，裂纹长a=0.4b，梯度方向沿y轴。分别考虑两种蠕变加载方式，一是两端受恒定均匀拉应力(t)=0H(t)作用，其中H(t)为单位阶跃函数；另一是两端简支，中点受恒定集中荷载P(t)=P0H(t)作用。属于型裂纹问题，如图4所示，沿x向取半进行计算。采用八节点平面应力等参单元进行有限元网格划分，裂尖布置四边形八节点奇异元。算例中取0=100MPa，P0=20kN，裂尖四边形单元尺寸a=a/24。共划分704个单元，2221个节点。

21、图 3 承受拉伸与三点弯曲加载的边裂纹板条 Fig.3 Edge crack plate under tension and three-point bending 图 4 边裂纹板的有限元分析模型 Fig.4 Analysis model of FEM for edge crack plate 分别分析两种情形，一是特殊梯度材料，其松弛模量可简化为分离变量形式，另一是组分材料体积分数沿梯度方向呈幂型分布，等效松弛模量由Mori-Tanaka方法预测。2.1 松弛模量简化为分离变量形式的梯度材料 将梯度材料松弛模量表示为空间函数与时间函数的乘积(,)()()E y tg y f t=(10)式

22、中，g(y)=E0e-y，f(t)=0+0 e-ct ，不妨设f(0)=1。材料的非均匀性由参数 描述。结合图3可知，0，裂纹位于高模量的一边；V2，材料1、2分别为基体与夹杂，由Mori-Tanaka方法给出梯度材料在象空间中的松弛模量7 112222112112222112()1(1)()()1(1)()V BBBBBVBBVV=+=+(15)式中的系数 2和 2分别为 22213(1)+=2222(45)15(1)=(16)其中，2是夹杂的泊松比。式(15)的1B、2B与B分别为基体和夹杂以及梯度材料的体积松弛模量，1、2和是剪切松弛模量，且有 (=1,2)3(1 2)2(1)rrrrr

23、rEEBr=+(17)梯度材料有效松弛模量的象函数为 93BEB=+(18)当 V1 V2时，材料 2 和 1 分别为基体和夹杂。当0.4V10.6 时，需考虑夹杂之间的强相互作用。松弛模量可根据两个端点 V1=0.4 和 V1=0.6 的相应值进行线性内插求出17。0.410.60.45(0.4)()EEVEE=(19)其中，0.4E与0.6E分别表示 V1等于 0.4 与 0.6 时的有效松弛模量之象函数。设材料 1 为聚合物黏弹性材料，材料 2 近似为弹性，如陶瓷等。E1(t)=56+100e-t/10，1=0.27，模量单位为 GPa，时间单位为 h；，E2(t)=380GPa，2=0

24、.26。首先考虑式(13)所描述的第一种体积分数分布模式，令n分别为0.5、1和2，应力强度因子和应变能释放率的计算结果示于图6，可见，在均匀拉伸和三点弯曲蠕变荷载作用下，应力强度因子随时间变小，而应变能释放率则随时间增加。前者是由于蠕变引起应力重新分布，在裂纹所在断面上，应力向弹性材料集中的上方转移，裂纹尖端附近的应力强度下降；后者同样源于蠕变变形引起应变能随时间累积增大。n减小，黏弹性材料的体积分数增大，G随时间增加的幅度大。对同一n，三点弯曲加载的断裂参数随时间改变比受均匀拉伸的明显。再分析式(14)所表示的第二种体积分数分布模式，取n分别为0.5、1和4，结果示于图7，可见，应变能释放

25、率随时间增加。与第一种体积分数分布模式不同的是应力强度因子随时间增加，这是由于弹性材料含量逐渐向含裂纹的一边集中。因此，在裂纹所在断面上，应力向弹性材料集中的下方转移，裂纹尖端附近应力强度随着时间增加。从图6(a)和图7(a)可见，当n靠近1时，对于两种加载方式，应力强度因子随时间上升或下降的幅度变大。由图6(b)和图7(b)复 合 材 料 学 报 Acta Materiae Compositae Sinica 可观察到，n减小，黏弹性材料的体积分数增大，G随时间增加的幅度增大，随着n增大，蠕变变形减弱，应变能释放率上升的幅度变小。图6至图7也表明，对同一n，三点弯曲比远场均匀拉伸时K(t)和

26、G(t)随时间变化的相对值增大，即黏弹性断裂参数的时间相关性也受蠕变加载方式的影响。以应力强度因子为例，对n=1和第二种体积分数分布模式，三点弯曲时增加近35%，而远场均匀拉伸时，K(t)增加约12%。综上所述，当组分材料体积分数为任意分布时，梯度材料的非均匀黏弹性性质使得裂纹尖端附近的应力和变形随时间的演化变得复杂。若仅仅从驱动裂纹发生延迟失稳扩展这一角度来考虑，应变能释放率可作为黏弹性梯度材料的断裂控制参数，然而，应力强度因子随时间增加或减小，将加剧或减弱裂纹尖端附近材料的“衰坏”，包括高聚物材料的银纹化损伤，从而相应地减小或增加裂纹抵抗延迟失稳扩展的能力，因此，可能需要联合采用应变能释放

27、率和应力强度因子作为延迟断裂的控制参数。02040608010012014016030405060708090100110120n=0.5n=2n=1n=1n=0.5K/(MPam1/2)Time t/h three-point bending tensionn=2(a)Stress intensity factor 020406080100120140160020406080100120n=1 three-point bending tensionG/(MN/mm)Time t/hn=0.5n=1n=2n=0.5n=2(b)Strain energy release rate 图6 对应第一

28、种体积分数分布模式的应力强度因子 和应变能释放率与时间的关系 Fig.6 Stress intensity factors KStrain energy release rate G vs time for the distribution mode 1 of volume fraction 0204060801001201401604080120160200240(a)Stress intensity factor three-point bending tensionK/(MPam1/2)Time t/hn=1n=4n=0.5n=1n=0.5n=4 04080120160040801201

29、60200240280(b)Strain energy release rate three-point bending tensionn=4G/(MN/mm)Time t/hn=0.5n=1n=4n=1n=0.5 图7 对应第二种体积分数分布模式的应力强度因子 和应变能释放率与时间的关系 Fig.7 Stress intensity factors KStrain energy release rate G vs time for the distribution mode 2 of volume fraction 3 结 论 3 结 论 研究了聚合物梯度板条在蠕变加载条件下的黏弹性断裂参数

30、随时间变化的特征。结果表明：（1）当松弛模量表示为空间函数和时间函数乘积时，含裂纹聚合物梯度材料应力强度因子与时间无关，应变能释放率随时间增加的变化特征相同，即有相同的时间函数，蠕变加载方式以及梯度材料的非均匀性仅影响断裂参数的弹性解；（2）当组分材料的体积分数任意分布时，含裂纹聚合物梯度材料断裂参数的时间相关特性受组分体积分数分布方式和加载条件的影响明显，应变能释放率随时间增加，其程度随组分材料体积分数分布的幂指数增大而减弱，梯度材料的非均匀流变特性产生应力的重新分布，导致应力强度因子随时间增加或者减小。这表明需要同时采用应变能释放率和应力强度因子作为延迟断裂的控制参数。参考文献：参考文献：

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