21求曲线方程.ppt

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1、2.1.2求曲线的方程求曲线的方程（1）复习回顾复习回顾2.练习：练习：(1)设设A(2,0)、B(0,2)，能否说能否说线段线段AB的方程为的方程为x+y-2=0?(2)方程方程x2-y2=0表示的图形是表示的图形是_1.复习曲线的方程和方程的曲线的概念复习曲线的方程和方程的曲线的概念3.证明已知曲线的方程的方法和步骤证明已知曲线的方程的方法和步骤1解析几何与坐解析几何与坐标标法：法：我我们们把借助于坐把借助于坐标标系研究几何系研究几何图图形的方法叫做形的方法叫做坐坐标标法法.在数学中，用坐在数学中，用坐标标法研究几何法研究几何图图形的知形的知识识形成了一形成了一门门叫叫解析几何解析几何的学

2、科的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何因此，解析几何是用代数方法研究几何问题问题的一的一门门数学学科数学学科.2平面解析几何研究的主要问题：平面解析几何研究的主要问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质）通过方程，研究平面曲线的性质.说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.由两点由两点间间的距离公式，点的距离公式，点M所适合条件可表示所适合条件可表示为为：将上式两将上式两边边平方，整理得：平方，整理得：x+2y7=0 解法二解法二:设设M(x,y)是线段是线段AB

3、的垂直平分线上任意一点的垂直平分线上任意一点,也就是点也就是点M属于集合属于集合问题问题1.设设A、B两点的坐标是两点的坐标是(1,1)，(3,7)，求线段，求线段AB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程.由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：程，一般有下面几个步骤：说明：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略另外，根据情况，也可以省略步骤（步骤（2），

4、直接列出曲线方程），直接列出曲线方程.(1)建系设点：建系设点：建立适当的坐标系建立适当的坐标系,用有序实数用有序实数对（对（x,y）表示曲线上任意一点）表示曲线上任意一点M的坐标；的坐标；(2)列式列式:写出适合条件写出适合条件p的点的点M集合集合P=M|p(M)(3)代换代换:用坐标表示条件用坐标表示条件p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0;(4)化简化简:化方程化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式；(5)审查审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上都在曲线上.例例2.已知一条直线已知一条直线l和它上方的一个点和它上方的一个点A，点，点

5、A到到l的距离是的距离是2,一条曲线也在一条曲线也在l的上方，它上面的每的上方，它上面的每一点到一点到A的距离减去到的距离减去到l的距离的差都是的距离的差都是2,建立建立适当的坐标系，求这条曲线的方程适当的坐标系，求这条曲线的方程.取直线取直线l为为x轴轴,过点过点A且垂直于直线且垂直于直线l的直线为的直线为y轴轴,建立坐标系建立坐标系xOy,解：解：2)列式列式3）代换）代换4)化简化简5）审查）审查1）建系设点）建系设点因因为为曲曲线线在在x轴轴的上方，所以的上方，所以y0,所以曲所以曲线线的方程是的方程是 设点设点M(x,y)是曲线上任意一点，是曲线上任意一点，MBx轴，垂足是轴，垂足是

6、B，通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等点所要适合的条件列出等式式，是求曲线方程的，是求曲线方程的重要环节重要环节，在这里常用到，在这里常用到一些基本公式，如一些基本公式，如两点间距离公式两点间距离公式，点到直线点到直线的距离公式的距离公式，直线的斜率公式直线的斜率公式，中点公式中点公式等等，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习因此先要了解上述知识，必要时作适当复习.2.1.2 求曲线的方程求曲线的方程（2）求曲

7、线（图形）的方程步骤：求曲线（图形）的方程步骤：说明：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略另外，根据情况，也可以省略步骤（步骤（2），直接列出曲线方程），直接列出曲线方程.(1)建系设点：建系设点：建立适当的坐标系建立适当的坐标系,用有序实数用有序实数对（对（x,y）表示曲线上任意一点）表示曲线上任意一点M的坐标；的坐标；(2)列式列式:写出适合条件写出适合条件p的点的点M集合集合P=M|p(M)(3)代换代换:用坐

8、标表示条件用坐标表示条件p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0;(4)化简化简:化方程化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式；(5)审查审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上都在曲线上.复习回顾复习回顾解解:练习练习1.2.BB3.4.到到F(2，0)和和y轴的距离相等的动点的轨迹方轴的距离相等的动点的轨迹方程是程是_ 解解:设动点为设动点为(x，y)，则由题设得则由题设得化简得化简得:y2=4(x-1)这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程.y2=4(x-1)5.在三角形在三角形ABC中，若中，若|BC|=4，BC边上的边上的中线中线AD

9、的长为的长为3，求点，求点A的轨迹方程的轨迹方程.设设A(x，y)，又又D(0，0)，所以所以化简得化简得:x2+y2=9 (y0)这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程.解解:取取B、C所在直线为所在直线为x轴，线段轴，线段BC的中垂的中垂线为线为y轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系.1.直接法直接法:求轨迹方程最基本的方法求轨迹方程最基本的方法,直接通直接通过建立过建立x,y之间的关系之间的关系,构成构成 F(x,y)=0 即可即可.直接法直接法 定义法定义法 代入法代入法 参数法参数法求轨迹方程的常见方法求轨迹方程的常见方法:2.定义法定义法：（待定系数法）待定系数法）利用所学过的圆

10、的定义、利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法这种方法要求题设中有定义法这种方法要求题设中有定点定点与与定直线定直线及及两定点距离之和或差为定值两定点距离之和或差为定值的条件，或利用的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件（下面的课平面几何知识分析得出这些条件（下面的课中讲）中讲）3.代入法代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换这个方法又叫相关点法或坐标代换法法.即利用动点即利用动点P(x,y)是定曲线是定曲线F(x,y)=0上上的动点的动点,

11、另一动点另一动点P(x，y)依赖于依赖于P(x,y)，那么可寻求关系式那么可寻求关系式x=f(x,y),y=g(x,y)后代入后代入方程方程F(x,y)=0中，得到动点中，得到动点P的轨迹方程的轨迹方程.例、已知例、已知ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点第三个顶点C在曲线在曲线y=3x2-1上移动上移动,求求ABC的重心的的重心的轨轨迹方程迹方程.4.参数法参数法:选取适当的参数选取适当的参数,分别用参数表示动分别用参数表示动点坐标点坐标x,y,得出轨迹的参数方程，消去参数，即得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程。得其普通方程。归纳：选参数时必须首先考虑到制约动点的各归

12、纳：选参数时必须首先考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，常见的参数种因素，然后再选取合适的参数，常见的参数有角度、直线的斜率、点的坐标、线段长度等。有角度、直线的斜率、点的坐标、线段长度等。例、例、经过经过原点的直原点的直线线l与与圆圆相交于相交于两两个不同点个不同点A A、B B，求，求线线段段ABAB的中点的中点M M的的轨轨迹方程迹方程.消参法消参法1.1.求曲求曲线线的方程的一般步的方程的一般步骤骤：设设（建系建系设设点点）找找（找等量关系找等量关系）列列（列方程列方程）化（化（化化简简方程方程）验验（以方程的解以方程的解为为坐坐标标的点都是曲的点都是曲线线上的点上的点）-M(x,y)-P=M|M满足的条件课堂小结课堂小结2.“数形结合数形结合”数学思想的基础数学思想的基础3、求曲线求曲线 方程的四种方法：直接法、定义法、代方程的四种方法：直接法、定义法、代入法、参数法入法、参数法