张永德教授量子力学专题讲座.pdf

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1、1近代量子力学近代量子力学近代量子力学近代量子力学及及及及疑难问题疑难问题疑难问题疑难问题专题讲座专题讲座专题讲座专题讲座张张张张 永永永永 德德德德中国科学技术大学近代物理系中国科学技术大学近代物理系中国科学技术大学近代物理系中国科学技术大学近代物理系2前前前前 言言言言近廿余年来，量子理论不仅深入应用于物理学许多近廿余年来，量子理论不仅深入应用于物理学许多近廿余年来，量子理论不仅深入应用于物理学许多近廿余年来，量子理论不仅深入应用于物理学许多分支、而且迅速广泛地应用到了化学、生物学、材料科分支、而且迅速广泛地应用到了化学、生物学、材料科分支、而且迅速广泛地应用到了化学、生物学、材料科分支、

2、而且迅速广泛地应用到了化学、生物学、材料科学、信息科学等重要领域。这些应用极大地促进了这些学、信息科学等重要领域。这些应用极大地促进了这些学、信息科学等重要领域。这些应用极大地促进了这些学、信息科学等重要领域。这些应用极大地促进了这些学科的发展，改变了它们的面貌，形成众多的科学研究学科的发展，改变了它们的面貌，形成众多的科学研究学科的发展，改变了它们的面貌，形成众多的科学研究学科的发展，改变了它们的面貌，形成众多的科学研究热点；与此相同步，量子理论本身也得到了极大的丰富热点；与此相同步，量子理论本身也得到了极大的丰富热点；与此相同步，量子理论本身也得到了极大的丰富热点；与此相同步，量子理论本身

3、也得到了极大的丰富和发展。和发展。和发展。和发展。为了活跃学生物理思想、提高学习近代量子理论的为了活跃学生物理思想、提高学习近代量子理论的为了活跃学生物理思想、提高学习近代量子理论的为了活跃学生物理思想、提高学习近代量子理论的兴趣，本着总结、深入、提高、面向未来的精神，结合兴趣，本着总结、深入、提高、面向未来的精神，结合兴趣，本着总结、深入、提高、面向未来的精神，结合兴趣，本着总结、深入、提高、面向未来的精神，结合个人科研教学心得，以系列专题的形式介绍量子力学个人科研教学心得，以系列专题的形式介绍量子力学个人科研教学心得，以系列专题的形式介绍量子力学中的一些疑难争议问题和著名的新问题。阐述方式

4、是，起点较低，只需要普通的量子力学；终点则联系近代有关文献和个人体会，分析基础中疑难争议问题，讲述近代文献中部分热点问题，或是个人科研教学心得，以系列专题的形式介绍量子力学中的一些疑难争议问题和著名的新问题。阐述方式是，起点较低，只需要普通的量子力学；终点则联系近代有关文献和个人体会，分析基础中疑难争议问题，讲述近代文献中部分热点问题，或是open问题。讲解重点在于阐述和分析物理概念，明确近代量子理论当前的认知边界。问题。讲解重点在于阐述和分析物理概念，明确近代量子理论当前的认知边界。3 第第 三三 讲讲 无限深方阱中粒子动量无限深方阱中粒子动量无限深方阱中粒子动量无限深方阱中粒子动量波函数的

5、争论波函数的争论波函数的争论波函数的争论4前言前言前言前言为了活跃学生的物理思想、提高学习近代量子为了活跃学生的物理思想、提高学习近代量子为了活跃学生的物理思想、提高学习近代量子为了活跃学生的物理思想、提高学习近代量子理论的兴趣，本着总结、深入、提高、面向未来的理论的兴趣，本着总结、深入、提高、面向未来的理论的兴趣，本着总结、深入、提高、面向未来的理论的兴趣，本着总结、深入、提高、面向未来的精神，结合个人科研教学的心得体会，以提纲形式精神，结合个人科研教学的心得体会，以提纲形式精神，结合个人科研教学的心得体会，以提纲形式精神，结合个人科研教学的心得体会，以提纲形式阐述量子力学基础中的疑点、难点

6、和未解决的问题。阐述量子力学基础中的疑点、难点和未解决的问题。阐述量子力学基础中的疑点、难点和未解决的问题。阐述量子力学基础中的疑点、难点和未解决的问题。阐述重点在于分析物理概念，以及明确近代量子理阐述重点在于分析物理概念，以及明确近代量子理阐述重点在于分析物理概念，以及明确近代量子理阐述重点在于分析物理概念，以及明确近代量子理论当前认知的边界。论当前认知的边界。论当前认知的边界。论当前认知的边界。应当指出，在量子理论发展史中还有许多名著应当指出，在量子理论发展史中还有许多名著应当指出，在量子理论发展史中还有许多名著应当指出，在量子理论发展史中还有许多名著一时的量子佯谬，曾经引起过热烈的争论，

7、也可算一时的量子佯谬，曾经引起过热烈的争论，也可算一时的量子佯谬，曾经引起过热烈的争论，也可算一时的量子佯谬，曾经引起过热烈的争论，也可算是一些疑难热点问题。这些著名的佯谬是：单光子是一些疑难热点问题。这些著名的佯谬是：单光子是一些疑难热点问题。这些著名的佯谬是：单光子是一些疑难热点问题。这些著名的佯谬是：单光子干涉实验、延迟选择实验、德布罗意胶片问题、负干涉实验、延迟选择实验、德布罗意胶片问题、负干涉实验、延迟选择实验、德布罗意胶片问题、负干涉实验、延迟选择实验、德布罗意胶片问题、负能问题、克来因佯谬、傀态、算符厄密性问题、薛能问题、克来因佯谬、傀态、算符厄密性问题、薛能问题、克来因佯谬、傀

8、态、算符厄密性问题、薛能问题、克来因佯谬、傀态、算符厄密性问题、薛定格猫态、定格猫态、定格猫态、定格猫态、EPREPR悖论等等。但是，除了后面两个问悖论等等。但是，除了后面两个问悖论等等。但是，除了后面两个问悖论等等。但是，除了后面两个问题依然保持着旺盛生命力之外，多数由于已经了解题依然保持着旺盛生命力之外，多数由于已经了解题依然保持着旺盛生命力之外，多数由于已经了解题依然保持着旺盛生命力之外，多数由于已经了解清楚，加上时过境迁，失去了往昔的神秘感和吸引清楚，加上时过境迁，失去了往昔的神秘感和吸引清楚，加上时过境迁，失去了往昔的神秘感和吸引清楚，加上时过境迁，失去了往昔的神秘感和吸引力。所以这

9、里也就相应地作了省略。力。所以这里也就相应地作了省略。力。所以这里也就相应地作了省略。力。所以这里也就相应地作了省略。5目目目目 录录录录一，一，一，一，PauliPauli和和和和Landau Landau 的矛盾的矛盾的矛盾的矛盾“量子力学的量子力学的量子力学的量子力学的数学是错的数学是错的数学是错的数学是错的”？！？！？！？！二，无限深方阱模型及二，无限深方阱模型及二，无限深方阱模型及二，无限深方阱模型及基态动量波函数基态动量波函数基态动量波函数基态动量波函数1 1）无限深方阱模型无限深方阱模型无限深方阱模型无限深方阱模型2 2）两种基态动量波函数表达式）两种基态动量波函数表达式）两种基

10、态动量波函数表达式）两种基态动量波函数表达式三，矛盾分析与结论三，矛盾分析与结论三，矛盾分析与结论三，矛盾分析与结论四，设想实验的佐证四，设想实验的佐证四，设想实验的佐证四，设想实验的佐证五，问题的根源五，问题的根源五，问题的根源五，问题的根源 附录附录附录附录 6一，一，一，一，PauliPauli 和和和和 Landau Landau 的矛盾的矛盾的矛盾的矛盾“量子力学的数学是错的量子力学的数学是错的量子力学的数学是错的量子力学的数学是错的”？！最简单的势阱束缚态模型，一种近似数学模写：最简单的势阱束缚态模型，一种近似数学模写：最简单的势阱束缚态模型，一种近似数学模写：最简单的势阱束缚态模

11、型，一种近似数学模写：势能不可能真为无限大，也不会严格的阶跃。势能不可能真为无限大，也不会严格的阶跃。势能不可能真为无限大，也不会严格的阶跃。势能不可能真为无限大，也不会严格的阶跃。此模型的动量波函数先由此模型的动量波函数先由此模型的动量波函数先由此模型的动量波函数先由PauliPauli，后由后由后由后由LandauLandau等人给出了等人给出了等人给出了等人给出了不同的结果。此后，这个模型动量波函数及其衍生问题先在国不同的结果。此后，这个模型动量波函数及其衍生问题先在国不同的结果。此后，这个模型动量波函数及其衍生问题先在国不同的结果。此后，这个模型动量波函数及其衍生问题先在国外少数学者中

12、有过讨论，接着被引进国内。近数年有过不大不外少数学者中有过讨论，接着被引进国内。近数年有过不大不外少数学者中有过讨论，接着被引进国内。近数年有过不大不外少数学者中有过讨论，接着被引进国内。近数年有过不大不小的争论，并还导致严重误解：小的争论，并还导致严重误解：小的争论，并还导致严重误解：小的争论，并还导致严重误解：“中国数学家挑战物理学中国数学家挑战物理学中国数学家挑战物理学中国数学家挑战物理学量子力学逻辑自相矛盾量子力学逻辑自相矛盾量子力学逻辑自相矛盾量子力学逻辑自相矛盾”“文汇报文汇报文汇报文汇报”19971997年年年年1212月月月月1010日日日日，头版重要通讯报导头版重要通讯报导头

13、版重要通讯报导头版重要通讯报导。以及不少文章、著作对量子力学的否定或曲解。以及不少文章、著作对量子力学的否定或曲解。以及不少文章、著作对量子力学的否定或曲解。以及不少文章、著作对量子力学的否定或曲解。78二，无限深方阱模型及基态动量波函数二，无限深方阱模型及基态动量波函数二，无限深方阱模型及基态动量波函数二，无限深方阱模型及基态动量波函数1 1）无限深方阱模型）无限深方阱模型）无限深方阱模型）无限深方阱模型相应的一维相应的一维相应的一维相应的一维SchrSchr dingerdinger方程，方程，方程，方程，SchrSchr dingerdinger方程应当定义在整个方程应当定义在整个方程应

14、当定义在整个方程应当定义在整个x x 轴上。分为三个区域轴上。分为三个区域轴上。分为三个区域轴上。分为三个区域：第第第第 I I、III III 区区区区 V(xV(x)=+)=+。边界条件边界条件边界条件边界条件(x(x)0(|0(|x x|a a)；求解坐标波函数只需对第求解坐标波函数只需对第求解坐标波函数只需对第求解坐标波函数只需对第 II II 区进行。区进行。区进行。区进行。有时这种边界条件被简单地写为有时这种边界条件被简单地写为有时这种边界条件被简单地写为有时这种边界条件被简单地写为(x(x)0(|0(|x x|=a)|=a)。这时。这时。这时。这时对阱外情况未作规定，提法含混。矛

15、盾即源生于此处：对阱外情况未作规定，提法含混。矛盾即源生于此处：对阱外情况未作规定，提法含混。矛盾即源生于此处：对阱外情况未作规定，提法含混。矛盾即源生于此处：坐标波函数边条件这两种不同提法，不影响求坐标波函数边条件这两种不同提法，不影响求坐标波函数边条件这两种不同提法，不影响求坐标波函数边条件这两种不同提法，不影响求解阱内坐标波函数，但却影响阱内粒子动量波函数！解阱内坐标波函数，但却影响阱内粒子动量波函数！解阱内坐标波函数，但却影响阱内粒子动量波函数！解阱内坐标波函数，但却影响阱内粒子动量波函数！()0,xaV xxa=+222()(),2()0,dxExxam dxxxa=h9阱中粒子能级

16、和波函数为阱中粒子能级和波函数为阱中粒子能级和波函数为阱中粒子能级和波函数为将正弦波函数将正弦波函数将正弦波函数将正弦波函数n n(x(x)用复指数表示，并近似配以用复指数表示，并近似配以用复指数表示，并近似配以用复指数表示，并近似配以exp(exp(-iEiEn nt/ht/h)仅就阱内说，阱中粒子波函数是两个反向传播的仅就阱内说，阱中粒子波函数是两个反向传播的仅就阱内说，阱中粒子波函数是两个反向传播的仅就阱内说，阱中粒子波函数是两个反向传播的de de BroglieBroglie行行行行波叠加而成的驻波，类似于两端固定的一段弦振动。波叠加而成的驻波，类似于两端固定的一段弦振动。波叠加而成

17、的驻波，类似于两端固定的一段弦振动。波叠加而成的驻波，类似于两端固定的一段弦振动。但这种说法虽然形象却是近似的！但这种说法虽然形象却是近似的！但这种说法虽然形象却是近似的！但这种说法虽然形象却是近似的！因为这两个行波因为这两个行波因为这两个行波因为这两个行波仅仅仅仅仅仅仅仅存在于有限区间存在于有限区间存在于有限区间存在于有限区间-a,aa,a 内，所以内，所以内，所以内，所以并不严格单色并不严格单色并不严格单色并不严格单色。有限长度光波波列不会是严格单色波有限长度光波波列不会是严格单色波有限长度光波波列不会是严格单色波有限长度光波波列不会是严格单色波*。*也见也见也见也见Fermi Fermi

18、 于于于于19541954年所写的年所写的年所写的年所写的量子力学讲稿量子力学讲稿量子力学讲稿量子力学讲稿，罗吉庭译，西交大，罗吉庭译，西交大，罗吉庭译，西交大，罗吉庭译，西交大出版社，出版社，出版社，出版社，19841984，p.60p.60-6161。()()()+=axaxaxanaxnmanEnn,0,2sin13,2,1,82222Lh()()()=+axaxeeaitxtEaaxnitEaaxninnn,0,2122hh102 2）两种基态动量波函数表达式）两种基态动量波函数表达式）两种基态动量波函数表达式）两种基态动量波函数表达式坐标波函数边界条件设定的分歧坐标波函数边界条件设定

19、的分歧坐标波函数边界条件设定的分歧坐标波函数边界条件设定的分歧Landau Landau 和和和和PauliPauli等人给出了不同结果。由此引发了混乱。等人给出了不同结果。由此引发了混乱。等人给出了不同结果。由此引发了混乱。等人给出了不同结果。由此引发了混乱。PauliPauli 等人等人求解（求解（求解（求解（*）。求解。求解。求解。求解基态粒子的动量波函数基态粒子的动量波函数基态粒子的动量波函数基态粒子的动量波函数1 1 1 1(p p p p)时，直接采用前面时，直接采用前面时，直接采用前面时，直接采用前面n=1n=1n=1n=1基态两个基态两个基态两个基态两个“单色波单色波单色波单色

20、波”的两个的两个的两个的两个“动量动量动量动量”。表明：阱中粒子动量谱是两个（此式实际对应全实轴相向运表明：阱中粒子动量谱是两个（此式实际对应全实轴相向运表明：阱中粒子动量谱是两个（此式实际对应全实轴相向运表明：阱中粒子动量谱是两个（此式实际对应全实轴相向运动的）单色动的）单色动的）单色动的）单色de de BroglieBroglie波叠加而成的驻波。波叠加而成的驻波。波叠加而成的驻波。波叠加而成的驻波。*W.W.PauliPauli:HandbuchHandbuch derder PhysikPhysik,eds.by H.Geiger and K.eds.by H.Geiger and

21、K.ScheelScheel,Vol.Vol.24/1,Springer,Berlin,193324/1,Springer,Berlin,1933。中译本中译本中译本中译本波动力学（第五卷）波动力学（第五卷）波动力学（第五卷）波动力学（第五卷）。他于。他于。他于。他于19561956-19581958年在苏黎世联邦工业大学物理学位课程两次授课中，依然如此讲。年在苏黎世联邦工业大学物理学位课程两次授课中，依然如此讲。年在苏黎世联邦工业大学物理学位课程两次授课中，依然如此讲。年在苏黎世联邦工业大学物理学位课程两次授课中，依然如此讲。也见也见也见也见L.N.CooperL.N.Cooper,物理世界

22、（上、下）物理世界（上、下）物理世界（上、下）物理世界（上、下），第，第，第，第184184页，杨基方等译，海洋页，杨基方等译，海洋页，杨基方等译，海洋页，杨基方等译，海洋出版社，出版社，出版社，出版社，19841984。()+=apapp22122121hh11L.DL.D.LandauLandau 等人等人等人等人做法（做法（做法（做法（*）：将上面定义在全实轴上的：将上面定义在全实轴上的：将上面定义在全实轴上的：将上面定义在全实轴上的基态坐标波函数作富里叶积分变换，便得到无限深方阱中粒基态坐标波函数作富里叶积分变换，便得到无限深方阱中粒基态坐标波函数作富里叶积分变换，便得到无限深方阱中粒

23、基态坐标波函数作富里叶积分变换，便得到无限深方阱中粒子的动量波函数子的动量波函数子的动量波函数子的动量波函数1 1 1 1(p p p p)：代入代入代入代入1 1 1 1(x x x x)表达式，注意阱外表达式，注意阱外表达式，注意阱外表达式，注意阱外1 1 1 1(x x x x)为零，即得阱中粒子动量为零，即得阱中粒子动量为零，即得阱中粒子动量为零，即得阱中粒子动量概率是连续分布概率是连续分布概率是连续分布概率是连续分布两种结果很不同！两种结果很不同！两种结果很不同！两种结果很不同！那个正确？！那个正确？！那个正确？！那个正确？！两个都对？两个都对？两个都对？两个都对？两个都错？两个都错

24、？两个都错？两个都错？按几年来文献讨论情况，按几年来文献讨论情况，按几年来文献讨论情况，按几年来文献讨论情况，4 4种观点全有表述，分歧明显、争种观点全有表述，分歧明显、争种观点全有表述，分歧明显、争种观点全有表述，分歧明显、争论热烈论热烈论热烈论热烈 。()()()+=+axaadxexdxepaapxipxi2sin1212111hhhh()()+=papapap,22cos222221hhh12*.朗道，朗道，朗道，朗道，E.M.E.M.栗弗席茨，栗弗席茨，栗弗席茨，栗弗席茨，非相对论量子力非相对论量子力非相对论量子力非相对论量子力学学学学（俄文第一版是（俄文第一版是（俄文第一版是（俄文

25、第一版是1947194719471947年）；年）；年）；年）；也见也见也见也见 E.E.E.E.费米于费米于费米于费米于19541954年所写的年所写的年所写的年所写的量子力学手稿量子力学手稿量子力学手稿量子力学手稿。部分文章：国内自部分文章：国内自部分文章：国内自部分文章：国内自1983.61983.6开始。开始。开始。开始。一维无限深势一维无限深势一维无限深势一维无限深势阱内粒子的动量分布阱内粒子的动量分布阱内粒子的动量分布阱内粒子的动量分布有两篇文章，有两篇文章，有两篇文章，有两篇文章，19941994，7 7；关于同一问题的不同解法关于同一问题的不同解法关于同一问题的不同解法关于同一

26、问题的不同解法；编者的编者的编者的编者的话话话话；谈谈量子力学中的动量算符谈谈量子力学中的动量算符谈谈量子力学中的动量算符谈谈量子力学中的动量算符；也谈正也谈正也谈正也谈正则动量算符之争则动量算符之争则动量算符之争则动量算符之争；编者的话编者的话编者的话编者的话；也谈一维无也谈一维无也谈一维无也谈一维无限深势阱内粒子（基态）的动量概率分布限深势阱内粒子（基态）的动量概率分布限深势阱内粒子（基态）的动量概率分布限深势阱内粒子（基态）的动量概率分布，19981998，7 7；关于量子力学基础的一个质疑关于量子力学基础的一个质疑关于量子力学基础的一个质疑关于量子力学基础的一个质疑，光，光，光，光子学

27、报，子学报，子学报，子学报，19971997，9 9；也谈量子力学的基础也谈量子力学的基础也谈量子力学的基础也谈量子力学的基础，光子，光子，光子，光子学报，学报，学报，学报，19981998，4 4；。13三，矛盾分析与结论三，矛盾分析与结论三，矛盾分析与结论三，矛盾分析与结论按按按按QMQM基本原理，波函数、动量算符及基本原理，波函数、动量算符及基本原理，波函数、动量算符及基本原理，波函数、动量算符及SchrSchr dingerdinger方程方程方程方程都应当定义在整个（空间）实轴上，而不是只定义在（有限都应当定义在整个（空间）实轴上，而不是只定义在（有限都应当定义在整个（空间）实轴上，

28、而不是只定义在（有限都应当定义在整个（空间）实轴上，而不是只定义在（有限空间的）势阱内。事实上，空间的）势阱内。事实上，空间的）势阱内。事实上，空间的）势阱内。事实上，正确的边界条件应当是正确的边界条件应当是正确的边界条件应当是正确的边界条件应当是(x(x)0(|0(|x|x|a a)；而不是而不是而不是而不是(x(x)0(|0(|x|=ax|=a)。如果相反，认为边界条件可以用后者，并认为物理量算符如果相反，认为边界条件可以用后者，并认为物理量算符如果相反，认为边界条件可以用后者，并认为物理量算符如果相反，认为边界条件可以用后者，并认为物理量算符可以可以可以可以“只只只只”定义在势阱定义在势

29、阱定义在势阱定义在势阱|x|a|x|a 内，内，内，内，这不仅会给这不仅会给这不仅会给这不仅会给QMQM基本原理解基本原理解基本原理解基本原理解释以及很多算符（比如，动量算符及相关的动能算符、轨道释以及很多算符（比如，动量算符及相关的动能算符、轨道释以及很多算符（比如，动量算符及相关的动能算符、轨道释以及很多算符（比如，动量算符及相关的动能算符、轨道角动量算符等）厄密性、完备性带来许多不必要的混乱和麻角动量算符等）厄密性、完备性带来许多不必要的混乱和麻角动量算符等）厄密性、完备性带来许多不必要的混乱和麻角动量算符等）厄密性、完备性带来许多不必要的混乱和麻烦，理论处理很烦琐；而且动量波函数的解有

30、两种了结果！烦，理论处理很烦琐；而且动量波函数的解有两种了结果！烦，理论处理很烦琐；而且动量波函数的解有两种了结果！烦，理论处理很烦琐；而且动量波函数的解有两种了结果！边界条件的两种不同提法，对求解阱内坐标波函数没甚么边界条件的两种不同提法，对求解阱内坐标波函数没甚么边界条件的两种不同提法，对求解阱内坐标波函数没甚么边界条件的两种不同提法，对求解阱内坐标波函数没甚么影响，因为阱内坐标波函数是定域解；影响，因为阱内坐标波函数是定域解；影响，因为阱内坐标波函数是定域解；影响，因为阱内坐标波函数是定域解；但对求解阱内粒子的但对求解阱内粒子的但对求解阱内粒子的但对求解阱内粒子的动量波函数却有影响。动量

31、波函数却有影响。动量波函数却有影响。动量波函数却有影响。14问题的关键是：问题的关键是：问题的关键是：问题的关键是：不象坐标波函数是定域的，不象坐标波函数是定域的，不象坐标波函数是定域的，不象坐标波函数是定域的，动量波函数是非定域的动量波函数是非定域的动量波函数是非定域的动量波函数是非定域的！即即即即阱内动量波函数分布不仅仅依赖于阱阱内动量波函数分布不仅仅依赖于阱阱内动量波函数分布不仅仅依赖于阱阱内动量波函数分布不仅仅依赖于阱内坐标波函数的形状，而且依赖于阱外内坐标波函数的形状，而且依赖于阱外内坐标波函数的形状，而且依赖于阱外内坐标波函数的形状，而且依赖于阱外坐标波函数的形状。换句话说，它还取

32、坐标波函数的形状。换句话说，它还取坐标波函数的形状。换句话说，它还取坐标波函数的形状。换句话说，它还取决于对阱外坐标波函数的处理决于对阱外坐标波函数的处理决于对阱外坐标波函数的处理决于对阱外坐标波函数的处理坐标坐标坐标坐标波函数边界条件的正确拟定。波函数边界条件的正确拟定。波函数边界条件的正确拟定。波函数边界条件的正确拟定。15PauliPauli 错误处理了阱外坐标波函数：由于并不影响阱内坐错误处理了阱外坐标波函数：由于并不影响阱内坐错误处理了阱外坐标波函数：由于并不影响阱内坐错误处理了阱外坐标波函数：由于并不影响阱内坐标波函数求解，含糊的标波函数求解，含糊的标波函数求解，含糊的标波函数求解

33、，含糊的“两端点为零两端点为零两端点为零两端点为零”边界条件被下意识地推边界条件被下意识地推边界条件被下意识地推边界条件被下意识地推广为广为广为广为“周期零点周期零点周期零点周期零点”边界条件，得到了坐标波函数的周期解。边界条件，得到了坐标波函数的周期解。边界条件，得到了坐标波函数的周期解。边界条件，得到了坐标波函数的周期解。PauliPauli解解解解正是此周期解的动量分布正是此周期解的动量分布正是此周期解的动量分布正是此周期解的动量分布这等于将阱内坐标波函这等于将阱内坐标波函这等于将阱内坐标波函这等于将阱内坐标波函数向全实轴作了周期性延拓。此周期解的阱外部分显然不符合数向全实轴作了周期性延

34、拓。此周期解的阱外部分显然不符合数向全实轴作了周期性延拓。此周期解的阱外部分显然不符合数向全实轴作了周期性延拓。此周期解的阱外部分显然不符合现在阱外要求，其动量分布当然也就不符合阱内现在问题。现在阱外要求，其动量分布当然也就不符合阱内现在问题。现在阱外要求，其动量分布当然也就不符合阱内现在问题。现在阱外要求，其动量分布当然也就不符合阱内现在问题。可证（见后面附录）：可证（见后面附录）：可证（见后面附录）：可证（见后面附录）：当当当当比值比值比值比值很大（或很大（或很大（或很大（或n n很大）向经典趋近时，很大）向经典趋近时，很大）向经典趋近时，很大）向经典趋近时，Landau Landau 解

35、将解将解将解将逐渐演变为逐渐演变为逐渐演变为逐渐演变为PauliPauli 解解解解。这充分说明。这充分说明。这充分说明。这充分说明PauliPauli 解是对大阱宽、高激发态时的近似解解是对大阱宽、高激发态时的近似解解是对大阱宽、高激发态时的近似解解是对大阱宽、高激发态时的近似解。显然，指数上的量显然，指数上的量显然，指数上的量显然，指数上的量n nh/2ah/2a 也也也也不是严格的物理动量（特别不是严格的物理动量（特别不是严格的物理动量（特别不是严格的物理动量（特别当当当当a a 或或或或n n 较小时）。较小时）。较小时）。较小时）。ha16四，设想实验的佐证四，设想实验的佐证四，设想

36、实验的佐证四，设想实验的佐证一块无穷大并足够厚的一块无穷大并足够厚的一块无穷大并足够厚的一块无穷大并足够厚的平板，取厚度方向为平板，取厚度方向为平板，取厚度方向为平板，取厚度方向为z z轴，板轴，板轴，板轴，板上沿上沿上沿上沿y y方向开一条无限长的缝，方向开一条无限长的缝，方向开一条无限长的缝，方向开一条无限长的缝，沿沿沿沿x x x x轴的缝宽为轴的缝宽为轴的缝宽为轴的缝宽为2 2a a。电子束由电子束由电子束由电子束由板的下方入射。分离掉电子板的下方入射。分离掉电子板的下方入射。分离掉电子板的下方入射。分离掉电子在在在在y y和和和和z z方向的自由运动，单方向的自由运动，单方向的自由运

37、动，单方向的自由运动，单就电子在就电子在就电子在就电子在x x方向运动而言，方向运动而言，方向运动而言，方向运动而言，便是一个（沿便是一个（沿便是一个（沿便是一个（沿x x x x方向）无限深方阱问题。在板上方放一接收方向）无限深方阱问题。在板上方放一接收方向）无限深方阱问题。在板上方放一接收方向）无限深方阱问题。在板上方放一接收电子的探测屏，观察狭缝穿出的电子在此探测屏上沿电子的探测屏，观察狭缝穿出的电子在此探测屏上沿电子的探测屏，观察狭缝穿出的电子在此探测屏上沿电子的探测屏，观察狭缝穿出的电子在此探测屏上沿x x x x方向方向方向方向的偏转，偏转大小将和电子在的偏转，偏转大小将和电子在的

38、偏转，偏转大小将和电子在的偏转，偏转大小将和电子在x x方向的动量方向的动量方向的动量方向的动量 p px x数值有关。由数值有关。由数值有关。由数值有关。由此知：此知：此知：此知：如如如如a a 值较小值较小值较小值较小，必定是一个单缝衍射分布，必定是一个单缝衍射分布，必定是一个单缝衍射分布，必定是一个单缝衍射分布。只当只当只当只当a a值较大向宏观过渡时，分布才逐渐过渡到两条（平行值较大向宏观过渡时，分布才逐渐过渡到两条（平行值较大向宏观过渡时，分布才逐渐过渡到两条（平行值较大向宏观过渡时，分布才逐渐过渡到两条（平行y y轴的）细线。轴的）细线。轴的）细线。轴的）细线。xze17五，问题的

39、根源五，问题的根源五，问题的根源五，问题的根源无限深阱问题只是个模型而已。此模型中用到势的无限深阱问题只是个模型而已。此模型中用到势的无限深阱问题只是个模型而已。此模型中用到势的无限深阱问题只是个模型而已。此模型中用到势的突变和无穷高势垒等假设。突变和无穷高势垒等假设。突变和无穷高势垒等假设。突变和无穷高势垒等假设。其实，物理学中许多常用的其实，物理学中许多常用的其实，物理学中许多常用的其实，物理学中许多常用的数学和物理概念，如：质点、无头无尾巴的平面波、其数学和物理概念，如：质点、无头无尾巴的平面波、其数学和物理概念，如：质点、无头无尾巴的平面波、其数学和物理概念，如：质点、无头无尾巴的平面

40、波、其小无内的点、其大无外的小无内的点、其大无外的小无内的点、其大无外的小无内的点、其大无外的，等等，都只是一些人为抽，等等，都只是一些人为抽，等等，都只是一些人为抽，等等，都只是一些人为抽象出来的、理想化的、绝对化的概念。虽然用起来时常象出来的、理想化的、绝对化的概念。虽然用起来时常象出来的、理想化的、绝对化的概念。虽然用起来时常象出来的、理想化的、绝对化的概念。虽然用起来时常是简便的，但其实它们在自然界中并不真实存在，有时是简便的，但其实它们在自然界中并不真实存在，有时是简便的，但其实它们在自然界中并不真实存在，有时是简便的，但其实它们在自然界中并不真实存在，有时甚至还会惹出麻烦。甚至还会

41、惹出麻烦。甚至还会惹出麻烦。甚至还会惹出麻烦。Henri Henri PoincarePoincare 说：说：说：说：几何点其实是人的幻想几何点其实是人的幻想几何点其实是人的幻想几何点其实是人的幻想。甚至。甚至。甚至。甚至说：说：说：说：“几何学不是几何学不是几何学不是几何学不是真实的，但是有用的真实的，但是有用的真实的，但是有用的真实的，但是有用的。”（“科学与假设科学与假设科学与假设科学与假设”科学出版社，科学出版社，科学出版社，科学出版社，19891989年，第年，第年，第年，第6363、6565页）。页）。页）。页）。18按照他对几何学的深刻认识，我们也可以说按照他对几何学的深刻认识

42、，我们也可以说按照他对几何学的深刻认识，我们也可以说按照他对几何学的深刻认识，我们也可以说：V V=不是真实的，但是有用的不是真实的，但是有用的不是真实的，但是有用的不是真实的，但是有用的。从思想方法来说，全部困惑的根源正在此处：将势从思想方法来说，全部困惑的根源正在此处：将势从思想方法来说，全部困惑的根源正在此处：将势从思想方法来说，全部困惑的根源正在此处：将势垒垒垒垒V=这件事看成是物理真实的了。对它过度的执着干扰了我们对这件事看成是物理真实的了。对它过度的执着干扰了我们对实际物理问题的认识，并且带来实际物理问题的认识，并且带来实际物理问题的认识，并且带来实际物理问题的认识，并且带来许多不

43、必要的困惑和烦恼。许多不必要的困惑和烦恼。许多不必要的困惑和烦恼。许多不必要的困惑和烦恼。所以，每当遇到由数学简单化、绝对化带来问所以，每当遇到由数学简单化、绝对化带来问所以，每当遇到由数学简单化、绝对化带来问所以，每当遇到由数学简单化、绝对化带来问题的时候，注重物理、返回自然界的物理真实，再题的时候，注重物理、返回自然界的物理真实，再题的时候，注重物理、返回自然界的物理真实，再题的时候，注重物理、返回自然界的物理真实，再行考察。记住这点有时是很重要的。行考察。记住这点有时是很重要的。行考察。记住这点有时是很重要的。行考察。记住这点有时是很重要的。也正如文小刚也正如文小刚也正如文小刚也正如文小

44、刚量子多体理论量子多体理论量子多体理论量子多体理论P.19P.19中中中中说的：说的：说的：说的：理论物理中的很多概念并不代表真实理论物理中的很多概念并不代表真实理论物理中的很多概念并不代表真实理论物理中的很多概念并不代表真实。19 附录附录附录附录 当当当当时，时，时，时，LandauLandau结果趋近于结果趋近于结果趋近于结果趋近于PauliPauli结果结果结果结果证：利用证：利用证：利用证：利用-函数的一个表达式：函数的一个表达式：函数的一个表达式：函数的一个表达式：由由由由LandauLandau结果出发结果出发结果出发结果出发(注意最后极限时注意最后极限时注意最后极限时注意最后极限时)：ha()22sinlimxxx=()+=+=+=apappapappapapapappapapapaapapaap222122422sin22sin41212122cos22cos2222222222221hhhhhhhhhhhhhhhhap2h=20