系统工程课件--第4章 分析模型.ppt

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1、第四章第四章 分析模型分析模型o人们日常决策大都依靠直觉判断，但系统工人们日常决策大都依靠直觉判断，但系统工程人员并不是决策者，他们的工作是提供一程人员并不是决策者，他们的工作是提供一种清晰的模型，将所推荐的方案的优缺点阐种清晰的模型，将所推荐的方案的优缺点阐释清楚，供决策者参考。释清楚，供决策者参考。&1 模型的概念模型的概念o一、模型及其分类一、模型及其分类o一切客观存在的事物及其运动形态统称为实一切客观存在的事物及其运动形态统称为实体，模型是对实体的特征及其变化规律的一体，模型是对实体的特征及其变化规律的一种抽象或者表征，而且往往是对实体中那些种抽象或者表征，而且往往是对实体中那些所要研

2、究的特定的特征的抽象。所要研究的特定的特征的抽象。o模型是把对象实体通过适当的过滤，用适当模型是把对象实体通过适当的过滤，用适当的表现规则描绘的简洁的模仿品。的表现规则描绘的简洁的模仿品。o系统的属性是多方面的，系统模型只是系统某一系统的属性是多方面的，系统模型只是系统某一方面本质属性的描述，所以同一系统或实体，模方面本质属性的描述，所以同一系统或实体，模型不是唯一的；型不是唯一的；o模型建立是以模型与原型之间的相似性为基础的，模型建立是以模型与原型之间的相似性为基础的，这里的相似可以是外表的相似，内部结构的相似这里的相似可以是外表的相似，内部结构的相似或仅为功能的相似。或仅为功能的相似。o模

3、型可以是定量的，也可以是定性的，或是两者模型可以是定量的，也可以是定性的，或是两者的结合模型。的结合模型。说说明明2 系统模型的特征系统模型的特征o它是现实系统的抽象或模仿；它是现实系统的抽象或模仿；o它是由反映系统本质或特征的主要因素构成；它是由反映系统本质或特征的主要因素构成；o它集中体现这些主要因素之间的关系。它集中体现这些主要因素之间的关系。模型的分类模型的分类o实体模型和抽象模型两大类实体模型和抽象模型两大类o实体模型：实物模型（如城市规划模型、作战沙盘实体模型：实物模型（如城市规划模型、作战沙盘等）和模拟模型（地图、电路图、电路模拟机械运等）和模拟模型（地图、电路图、电路模拟机械运

4、动）动）o抽象模型：也称为符号模型，模型中丰富多彩的部抽象模型：也称为符号模型，模型中丰富多彩的部分，包括数学模型、结构模型、仿真模型及诸如化分，包括数学模型、结构模型、仿真模型及诸如化学、音乐、美术等学科的符号模型学、音乐、美术等学科的符号模型现实系统形象模型模拟模型文字模型网络模型图表模型逻辑模型解析模型物理模型数学模型研究的速度修改方便性抽象性现实性建模费用建模时间增加减少系统模型的分类及特征比较系统模型的分类及特征比较1 建模的原则建模的原则（1）现实性：把本质的东西和关系反映进去，非本质的）现实性：把本质的东西和关系反映进去，非本质的东西去掉，而又不影响反映现实的真实程度。东西去掉，

5、而又不影响反映现实的真实程度。（2）简明性：模型既要精确，又要简明。）简明性：模型既要精确，又要简明。（3）适应性：在运算分析方面、适应问题的变化、操作）适应性：在运算分析方面、适应问题的变化、操作方面等具有适应性。方面等具有适应性。（4）完整性）完整性（5）规范性：尽量借鉴标准形式。）规范性：尽量借鉴标准形式。o一般处理原则：力求达到真实性，在真实的基础上达一般处理原则：力求达到真实性，在真实的基础上达到简明性，最后尽可能达到适应性要求。到简明性，最后尽可能达到适应性要求。三三、建建模模的的原原则则及及常常用用方方法法二、现实世界与模型二、现实世界与模型现实世界的原型数学结论现实世界的分析、

6、预测等数学模型现实事物在模型中的作用现实事物在模型中的作用o现实事物按其在模型中的作用可以分为三类：现实事物按其在模型中的作用可以分为三类：o可以忽略影响的因素可以忽略影响的因素o对模型起作用但不属于模型描述范围的因素对模型起作用但不属于模型描述范围的因素o模型所需研究的因素模型所需研究的因素o第一类因素可以忽略不计第一类因素可以忽略不计o第二类属于环境的外部因素，可以视为外生第二类属于环境的外部因素，可以视为外生变量，或者叫参数和输入变量、自变量变量，或者叫参数和输入变量、自变量o第三类是描述模型行为的因素，叫做内生变第三类是描述模型行为的因素，叫做内生变量或者输出变量、因变量量或者输出变量

7、、因变量&4-2矩阵、文氏图、树形图、卡氏图矩阵、文氏图、树形图、卡氏图o欲按照大学毕业学历和工程师职称两项指欲按照大学毕业学历和工程师职称两项指标将人员分类。设标将人员分类。设A具有大学学历，具有大学学历，B具有具有工程师职称，相应工程师职称，相应A、B表示没有大学毕业表示没有大学毕业和不是工程师的人员。和不是工程师的人员。ABABABABAABBo矩阵图可以用来推测各类人员数量的数学模矩阵图可以用来推测各类人员数量的数学模型型o设待分类人员设待分类人员1000人，其中人，其中800属于属于A，700属于属于B，欲求各类人员数量欲求各类人员数量0200300500AABB8002003007

8、003000800AABB3007002008002000100700AABB300700200800文氏图的表示方法文氏图的表示方法ABABABABABo我在西安，也就在陕西我在西安，也就在陕西o我不在陕西，也就不在西安我不在陕西，也就不在西安o我不在西安，但可能在陕西我不在西安，但可能在陕西o我在陕西，可能就在西安我在陕西，可能就在西安o概括来讲，地处陕西是处于西安的必要条件，概括来讲，地处陕西是处于西安的必要条件，地处西安是地处陕西的充分条件地处西安是地处陕西的充分条件陕西西安树形图树形图o见教材见教材ABABABAB卡氏图ABo如果有三种属性分类，则上面这些模型的情如果有三种属性分类，

9、则上面这些模型的情况如下：况如下：见课本。见课本。&4-3权重有向图权重有向图o例例4-1能源需求模型，每一有向线段标出的能源需求模型，每一有向线段标出的数字表示起始节点变化单位值对于相邻节点数字表示起始节点变化单位值对于相邻节点的影响的影响14322.60.71.2-1.8-0.45.81 能源供给能源供给 2 价格价格3 能源需求能源需求 4 人口人口o根据图绘制出此权重有向图的邻接矩阵，邻根据图绘制出此权重有向图的邻接矩阵，邻接矩阵中各权重均为常数，意味着各变量间接矩阵中各权重均为常数，意味着各变量间系线性关系系线性关系o对于权重有向图进行灵敏度分析时，可以在对于权重有向图进行灵敏度分析

10、时，可以在某个节点引入单位变化值，然后研究各节点某个节点引入单位变化值，然后研究各节点受到的影响。通过邻接矩阵可以研究各种输受到的影响。通过邻接矩阵可以研究各种输入条件下的系统行为和系统稳定性入条件下的系统行为和系统稳定性人口转移模型人口转移模型412351/81/43/81/161/83/101/41/101/21/44/102/101/161/61/21/41/33/4o这类以权重为概率的有向图，其邻接矩阵称这类以权重为概率的有向图，其邻接矩阵称为传递矩阵为传递矩阵P，传递矩阵的各元素称为传递传递矩阵的各元素称为传递概率。概率。o具有传递概率的即其记忆跨度只有一步的随具有传递概率的即其记忆

11、跨度只有一步的随机过程，是一种有多步距组成的链，相应发机过程，是一种有多步距组成的链，相应发生的状态称为马尔可夫链。一个生的状态称为马尔可夫链。一个n种状态的种状态的马尔可夫链相应有一个传递概率矩阵，此矩马尔可夫链相应有一个传递概率矩阵，此矩阵每行元素之和为阵每行元素之和为1，每行称为概率向量。，每行称为概率向量。对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率。马尔可夫（Markov）预测法，就是一种预测事件发生的概率的方法。它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。o状态。指某一事件在某个时刻（或时期

12、）出。指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果。现的某种结果。o状态转移过程。事件的发展，从一种状态转。事件的发展，从一种状态转变为另一种状态，称为状态转移。变为另一种状态，称为状态转移。o马尔可夫过程。在事件的发展过程中，若每。在事件的发展过程中，若每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。为马尔可夫过程。几个基本概念 n状态转移概率。在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转

13、移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。由状态Ei转为状态Ej的状态转移概率是（1）n状态转移概率矩阵。假定某一个事件的发展过程有n个可能的状态，即E1，E2，En。记为从状态Ei转变为状态Ej的状态转移概率 ，则矩阵 几个基本概念 称为状态转移概率矩阵。称为状态转移概率矩阵。o 概率矩阵。概率矩阵。一般地，将满足条件（一般地，将满足条件（3 3）的任何矩阵都）的任何矩阵都称为随机矩阵，或概率矩阵。称为随机矩阵，或概率矩阵。（2）（3）几个基本概念 不难证明，如果P为概率矩阵，则对于任何整数m0，矩阵都是概率矩阵。n标准概率矩阵、平衡向量。标准概率矩阵、平衡向量。如果P为概率矩阵，而且存在整数

14、m0，使得概率矩阵 中诸元素皆非零，则称P为标准概率矩阵。可以证明，如果P为标准概率矩阵，则存在非零向量 ，而且 满足 ，使得：（4）这样的向量称为平衡向量，或终极向量。这就是说，标准概率矩阵一定存在平衡向量。几个基本概念 o状态转移概率矩阵的计算。状态转移概率矩阵的计算。计算状态转移概率矩阵计算状态转移概率矩阵P，就是求从每个就是求从每个状态转移到其它任何一个状态的状态转移概状态转移到其它任何一个状态的状态转移概率率 。为了求出每一个，一般采用频率近似概为了求出每一个，一般采用频率近似概率的思想进行计算。率的思想进行计算。几个基本概念 o例题例题1：考虑某地区农业收成变化的三个状态，即考虑某

15、地区农业收成变化的三个状态，即“丰收丰收”、“平收平收”和和“欠收欠收”。记。记E1为为“丰收丰收”状态，状态，E2为为“平收平收”状态，状态，E3为为“欠欠收收”状态。表状态。表1给出了该地区给出了该地区19601999年期年期间农业收成的状态变化情况。试计算该地区间农业收成的状态变化情况。试计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵。农业收成变化的状态转移概率矩阵。表1某地区农业收成变化的状态转移情况 年份年份1960196119621963196419651966196719681969序号序号状态状态年份年份序号序号状态状态年份年份序号序号状态状态年份年份序号序号状态状态1E119701

16、1E3198021E3199031E12E1197112E1198122E3199132E33E2197213E2198223E2199233E24E3197314E3198324E1199334E15E2197415E1198425E1199435E16E1197516E2198526E3199536E27E3197617E1198627E2199637E28E2197718E3198728E2199738E39E1197819E3198829E1199839E110E2197920E1198930E2199940E2 从表1中可以知道，在15个从E1出发（转移出去）的状态中，(1)有3个是

17、从E1转移到E1的（即12，2425，3435）(2)有7个是从E1转移到E2的（即23，910，1213，1516，2930，3536，3940）(3)有5个是从E1转移到E3的（即67，1718，2021，2526，3132）计算：计算：所以所以同理可得：同理可得：结结论论：该该地地区区农农业业收收成成变变化化的的状状态态转转移移概概率矩阵为率矩阵为（5）状状态态概概率率及及其其计计算算o状态概率状态概率 ：表示事件在初始（：表示事件在初始（k0）状状态为已知的条件下，经过态为已知的条件下，经过k次状态转移后，在次状态转移后，在第第k 个时刻（时期）处于状态个时刻（时期）处于状态 的概率。

18、的概率。且：且：根据马尔可夫过程的无后效性及根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes条件概条件概率公式，有率公式，有（6）（7）记行向量记行向量 ，则由（则由（7）式可以得到逐次计算状态概率）式可以得到逐次计算状态概率的递推公式：的递推公式：（8）式中，为初始状态概率向量。o第k个时刻（时期）的状态概率预测 如果某一事件在第如果某一事件在第0个时刻（或时期）个时刻（或时期）的初始状态已知，即的初始状态已知，即 已知，则利用递已知，则利用递推公式推公式(8)(8)式，就可以求得它经过式，就可以求得它经过k次状态次状态转移后，在第转移后，在第k个时刻（时期）处于各种个时刻（时期）处于各种可能的状态的

19、概率，即可能的状态的概率，即 ，从而就得，从而就得到该事件在第到该事件在第k个时刻（时期）的状态概个时刻（时期）的状态概率预测。率预测。马尔可夫预测法例题：将例题将例题1中中1999年的农业收成状态记为年的农业收成状态记为 =0,1,0，将状态转移概率矩阵（，将状态转移概率矩阵（5 5）式及代入）式及代入递推公式（递推公式（8 8）式，可求得）式，可求得20002010年可能出年可能出现的各种状态的概率（见表现的各种状态的概率（见表2 2）。）。表2 某地区19902000年农业收成 状态概率预测值 年份年份200020012002 2003状态状态概率概率E10.5385E20.1528E3

20、0.3077E10.3024E20.414E30.2837E10.3867E20.3334E30.2799E10.3587E20.3589E30.2779年份年份2004200520062007状态状态概率概率 E10.3677E20.3509E30.2799E10.3647E20.3532E30.2799E10.3656E20.3524E30.2799E10.3653E20.3526E30.2799年份年份20082009 2010状态概率状态概率E10.3653E20.3525E30.2799E10.3653E20.3525E30.2799E10.3653E20.3525E30.2799终

21、极状态概率预测终极状态概率预测 定义定义：经过无穷多次状态转移后所得到的：经过无穷多次状态转移后所得到的状态概率称为终极状态概率状态概率称为终极状态概率，即：，即：终极状态概率应满足的条件：终极状态概率应满足的条件：马尔可夫预测法 例题：在例例题：在例1中，设终极状态的状态概率为中，设终极状态的状态概率为 则则 即：即：求解该方程组得：求解该方程组得：0.3653，0.3525，0.2799。这说明，该地区农业收成的变化过程，在无穷这说明，该地区农业收成的变化过程，在无穷多次状态转移后，多次状态转移后，“丰收丰收”和和“平收平收”状态出现状态出现的概率都将大于的概率都将大于“欠收欠收”状态出现

22、的概率。状态出现的概率。市场占有率的预测市场占有率的预测 在市场经济的条件下，各企业都十分注意扩大自己的市场占有在市场经济的条件下，各企业都十分注意扩大自己的市场占有率。因此，预测企业产品的市场占有率，就成为企业十分关心的问率。因此，预测企业产品的市场占有率，就成为企业十分关心的问题。题。若我们假设：若我们假设：市场的发展变化只与当前市场条件有关；市场的发展变化只与当前市场条件有关；没有新没有新的竞争者加入，也没有老的竞争者退出；的竞争者加入，也没有老的竞争者退出；顾客总量保持不变；顾客总量保持不变；顾客在不同品牌之间流动的概率保持不变，就可用马尔可夫预测法顾客在不同品牌之间流动的概率保持不变

23、，就可用马尔可夫预测法对市场占有率进行预测。当然，假设与市场实际存在差距，只要预对市场占有率进行预测。当然，假设与市场实际存在差距，只要预测对象基本符合假设条件，就可以运用此法得出相对科学的预测结测对象基本符合假设条件，就可以运用此法得出相对科学的预测结论。论。例例2：某市场销售啤酒有甲、乙、丙三种品牌。：某市场销售啤酒有甲、乙、丙三种品牌。4月份的市场占有率各月份的市场占有率各为为0.3、0.45、0.25。据抽样调查。据抽样调查5月份消费者消费意向有所变化，月份消费者消费意向有所变化，见表。请用马尔可夫预测法，见表。请用马尔可夫预测法，预测预测5月份甲、乙、丙牌啤酒市场月份甲、乙、丙牌啤酒

24、市场占有率各是多少？占有率各是多少？若预计若预计5月份该市啤酒总需求量为月份该市啤酒总需求量为1200吨，甲、吨，甲、乙、丙牌啤酒各销售多少？乙、丙牌啤酒各销售多少？若上述条件不变，预测若上述条件不变，预测6月份啤酒的月份啤酒的市场占有率。市场占有率。由上表可知消费者在不同品牌之间流动产生的状态转移概率矩阵如下：计算5月份甲、乙、丙三种啤酒市场占有率预测值首先，要建立新转移概率矩阵 4月份啤酒市场占有率矩阵：5月的状态概率矩阵为：5月份各品牌市场占有率为：甲品牌啤酒占有率是：乙品牌啤酒市场占有率是：丙品牌啤酒市场占有率是：o计算计算5月份甲、乙、丙品牌销售量预测月份甲、乙、丙品牌销售量预测值值

25、 o甲品牌销售量：甲品牌销售量：o乙品牌销售量：乙品牌销售量：o丙品牌销售量：丙品牌销售量：计算计算6月份甲、乙、丙品牌啤酒市场占有率预测值月份甲、乙、丙品牌啤酒市场占有率预测值由上计算，可知由上计算，可知5月份市场占有率矩阵为：月份市场占有率矩阵为：6月份市场占有率矩阵应为：月份市场占有率矩阵应为：6月份甲品牌啤酒市场占有率为：月份甲品牌啤酒市场占有率为：6月份乙品牌啤酒市场占有率为：月份乙品牌啤酒市场占有率为：6月份丙品牌啤酒市场占有率为：月份丙品牌啤酒市场占有率为：根据马尔可夫链的基本原理，一般情况下，本期市场占有根据马尔可夫链的基本原理，一般情况下，本期市场占有率仅取决于上期市场占有率

26、和转移概率。因此要预测率仅取决于上期市场占有率和转移概率。因此要预测月后的市场占有率，其矩阵为月后的市场占有率，其矩阵为 。在事件的预测中，被预测对象所经历的过程中各个阶段（或时点）的状态和状态之间的转移概率是最为关键的。马尔可夫预测的基本方法就是利用状态之间的转移概率矩阵预测事件发生的状态及其发展变化趋势。马尔可夫预测法的基本要求是状态转移概率矩马尔可夫预测法的基本要求是状态转移概率矩阵必须具有一定的稳定性。因此，必须具有足够的阵必须具有一定的稳定性。因此，必须具有足够的统计数据，才能保证预测的精度与准确性。统计数据，才能保证预测的精度与准确性。换句话说，马尔可夫预测模型必须建立在大量换句话

27、说，马尔可夫预测模型必须建立在大量的统计数据的基础之上。这一点也是运用马尔可夫的统计数据的基础之上。这一点也是运用马尔可夫预测方法预测事件的一个最为基本的条件。预测方法预测事件的一个最为基本的条件。o设人口分布比例为设人口分布比例为:1/8,1/8,1/8,1/8,1/2，则可以计，则可以计算出算出1年后、年后、2年后的人口分布比例年后的人口分布比例o即即1/8,1/8,1/8,1/8,1/2*P例例4-3o萊式人口模型，人口预测中往往需要知道各萊式人口模型，人口预测中往往需要知道各年龄组的人口，这比人口总数有时还更有用。年龄组的人口，这比人口总数有时还更有用。例如需要今后例如需要今后10年内

28、各类学校、教师、护年内各类学校、教师、护士、产科医生的需求量，莱式人口模型可以士、产科医生的需求量，莱式人口模型可以有效回答这类问题有效回答这类问题o从整体来看，这也是一个人口年龄段的转移从整体来看，这也是一个人口年龄段的转移。莱氏矩阵莱氏矩阵o教材教材P67例例4-4o设某种动物分为三个年龄段，设某种动物分为三个年龄段，t=0时其种群时其种群直方图如图所示，设一个时间跨度后，最大直方图如图所示，设一个时间跨度后，最大年龄段种群全部死亡，其他年龄组年龄段种群全部死亡，其他年龄组1/4死亡，死亡，各年龄生育率为各年龄生育率为m0=0,m1=1,m2=2o试求年龄分布向量试求年龄分布向量&4-4

29、图解法图解法o图解建模可以帮助我们获得变量间关系的总图解建模可以帮助我们获得变量间关系的总体图像，并凭借直觉推导出后果，主要作用体图像，并凭借直觉推导出后果，主要作用于变量不多而信息不充分的条件下分析变量于变量不多而信息不充分的条件下分析变量之间的定性关系之间的定性关系o具体作用有：平衡点分析和稳定性分析具体作用有：平衡点分析和稳定性分析一、平衡点分析一、平衡点分析o平衡点分析着眼于分析系统的平衡点随着系平衡点分析着眼于分析系统的平衡点随着系统某种外生变量将产生怎样的变化？新平衡统某种外生变量将产生怎样的变化？新平衡点和旧平衡点有怎样的联系？点和旧平衡点有怎样的联系？o蛛网模型：自由竞争的市场

30、经济中，商品价蛛网模型：自由竞争的市场经济中，商品价格是由供求双方决定的。一个时期某种商品格是由供求双方决定的。一个时期某种商品的过剩引起价格下跌，会促使厂家减少产量，的过剩引起价格下跌，会促使厂家减少产量，下一周期可能因供不应求导致价格上涨，又下一周期可能因供不应求导致价格上涨，又会吸引厂家增加产量，如此循环不已会吸引厂家增加产量，如此循环不已o最终商品的最终商品的 数量和价格的波动是也来越小数量和价格的波动是也来越小趋向于平衡，还是越来越大以至于政府不得趋向于平衡，还是越来越大以至于政府不得不干预？下面我们以图解法进行分析。不干预？下面我们以图解法进行分析。EBCADSM图图4-141）盈

31、亏平衡分析法）盈亏平衡分析法o盈盈亏亏平平衡衡分分析析法法是是以以成成本本形形态态为为基基础础，对对产产量量、成成本本、利利润润相相互互间间的的内内在在联联系系进进行行分分析析。构构成成这这种种分分析析方方法法的的主主要要内内容容是是盈盈亏亏平平衡衡点点。根根据据盈盈亏亏平平衡衡点点可可以以确确定定最最低低产量水平。产量水平。o所谓盈亏平衡点，是指企业盈利与亏损的分界点，所谓盈亏平衡点，是指企业盈利与亏损的分界点，即通常所说的即通常所说的保本点保本点。一般地，当产品的产量小于。一般地，当产品的产量小于盈亏平衡点产量盈亏平衡点产量Q*时，企业所处于亏损状态；当时，企业所处于亏损状态；当产品的产量

32、大于盈亏平衡点产量产品的产量大于盈亏平衡点产量Q*时，企业处于时，企业处于盈利状态，盈利状态，而且企业的盈利随着实际产量高出盈亏而且企业的盈利随着实际产量高出盈亏平衡点产量平衡点产量Q*的增大而增大。的增大而增大。显然，企业选择的显然，企业选择的生产运营能力规模必须高出盈亏平衡点产量生产运营能力规模必须高出盈亏平衡点产量Q*一一定的程度，这样才能为企业实际的产销量高出盈亏定的程度，这样才能为企业实际的产销量高出盈亏平衡点产量提供必要的空间，为企业盈利创造条件。平衡点产量提供必要的空间，为企业盈利创造条件。变动成本变动成本固定成本固定成本概概念念随产量变化成正比变化的成本，随产量变化成正比变化的

33、成本，如：原材料费，燃料动力费，计如：原材料费，燃料动力费，计件工资，按产量计提的固定资产件工资，按产量计提的固定资产折旧费折旧费在一定时间，一定产销量（规模）在一定时间，一定产销量（规模）范围，不随产量变动而变动的（相范围，不随产量变动而变动的（相对固定）成本费用。如计时工资，对固定）成本费用。如计时工资，按年限计提的固定资产折旧费用，按年限计提的固定资产折旧费用，车间经费，企业管理费中与产量无车间经费，企业管理费中与产量无关的部分关的部分特特点点单位产品的变动成本不随产销量单位产品的变动成本不随产销量的变动而变动的变动而变动单位产品的固定成本，随产销量的单位产品的固定成本，随产销量的增加而

34、减少（成反比变化）增加而减少（成反比变化）符符号号FV费用产销量Q费用F产销量Q单位变动成本Va产销量Q单位固定成本产销量o盈亏平衡分析法盈亏平衡分析法固定成本变动成本利润区产量金额销售收入线总成本线盈亏平衡点Q0Q1AOBCD亏损区&4-5 拟合法拟合法o拟合法：建模者根据某种假设选择一种模型，拟合法：建模者根据某种假设选择一种模型，用以解释所观察的行为，如果所收到的数，用以解释所观察的行为，如果所收到的数据说明建模者的假设基本合理，则进一步按据说明建模者的假设基本合理，则进一步按照某种法则去选择模型的参数照某种法则去选择模型的参数o经验法：建模者提不出一种能够满意解释行经验法：建模者提不出

35、一种能够满意解释行为的模型，因而通过数据去研究因变量和自为的模型，因而通过数据去研究因变量和自变量的关系，以收集、分析数据为基础去建变量的关系，以收集、分析数据为基础去建构一种经验模型的方法，称为经验法构一种经验模型的方法，称为经验法趋势成分季节成分周期成分随机波动成分时间序列：循环变动循环变动C（Cyclical）不规则变动不规则变动I（Irregular）季节变动季节变动S（Seasonal）长期趋势长期趋势T（Trend）u 最小二乘法的含义最小二乘法的含义根据原动态数列的变化趋势根据原动态数列的变化趋势配合配合一条最理一条最理想的趋势线想的趋势线这条趋势线必须满足以下两个条件这条趋势线

36、必须满足以下两个条件根据散点图的分布规律根据散点图的分布规律进行选择进行选择oo直线型抛物线型指数曲线型最小二乘法 一元线性回归法就是处理自变量一元线性回归法就是处理自变量(X)和因变量和因变量(y)两者之两者之间线性关系的一种方法。其基本公式：间线性关系的一种方法。其基本公式：式中：y因变量；a，b回归系数；X自变量X、Y着两个变量之间的关系，将在a、b着两个回归系数的范围内，展开有规律的演变。因此：根据X、Y等现有的实验数据或统计数据，寻求合理的a、b等回归系数来确定回归方程，是运用回归分析的关键。利用已求出的回归方程中a、b 等回归系数的经验值再去确定X、Y等值的未来演变，并与具体条件相

37、结合，是运用回归分析的目的。用最小二乘法求用最小二乘法求 a、b 的公式：的公式：直线趋势方程参数的计算直线趋势方程参数的计算若令若令 t=0：某市某市19952005年国内生产总值统计资料年国内生产总值统计资料见下表，根据表中资料运用最小二乘法预测见下表，根据表中资料运用最小二乘法预测2008年国内生产总值。年国内生产总值。年份年份19951996199719981999200020012002200320042005总值总值455256627272809398113120某市19952005年国内生产总值（单位：千万元）第一步：第一步：确定趋势方程的类型确定趋势方程的类型生产总值（千万元）

38、时序计算表计算表年份年份生产总值生产总值y时序时序tt2t y19951996199719981999200020012002200320042005 45 52 56 62 72 72 80 93 9811312054321 0 1 2 3 4 52516 9 4 1 0 1 4 91625225208168124 72 0 80 186 294 452 600合计合计863 0110 815第二步：计算参数a和b的值o由由o可计算出可计算出o则则 直线趋势方程为：直线趋势方程为：某市国内生产总值趋势图生产总值（千万元）时序第三步第三步：进行预测：进行预测o将将t=8代入直线趋势方程得：代入

39、直线趋势方程得：o即该市即该市2008年国内生产总值的预测值为年国内生产总值的预测值为137.73千万元千万元4-7机理法机理法o机理法是在研究系统运行机理的基础上提出机理法是在研究系统运行机理的基础上提出假设，然后构建模型。系统工程的研究对象假设，然后构建模型。系统工程的研究对象涉及各种领域，很难概括出通用方法，只有涉及各种领域，很难概括出通用方法，只有从专业角度研究该对象的运行特点，才能建从专业角度研究该对象的运行特点，才能建构合适的分析模型构合适的分析模型传销模型传销模型o传销是近年来风行全国的一种产品营销模式，传销是近年来风行全国的一种产品营销模式，它通过亲戚、朋友、同学等社会关系逐次

40、将它通过亲戚、朋友、同学等社会关系逐次将产品推销给消费者，对于每个传销产品的对产品推销给消费者，对于每个传销产品的对象来说，将经历三个阶段：象来说，将经历三个阶段：o潜在期潜在期o传销期传销期o脱离期脱离期基本假设基本假设o潜在传销者潜在传销者S：现在未传销，将来可能：现在未传销，将来可能o传销者传销者I：已经进入传销网，继续向外传销：已经进入传销网，继续向外传销o脱离者脱离者R：不再进行传销的人：不再进行传销的人o非传销者非传销者L：现在未传销，以后也不会：现在未传销，以后也不会4-8 优化技术优化技术 在工程技术、经济管理、科学研究和日常生活等诸多领域在工程技术、经济管理、科学研究和日常生

41、活等诸多领域中，人们经常遇到的一类决策问题：中，人们经常遇到的一类决策问题：在一系列客观或主观限制在一系列客观或主观限制条件下，寻求所关注的某个或多个指标达到最大（或最小）的条件下，寻求所关注的某个或多个指标达到最大（或最小）的决策。决策。例如，生产计划要按照产品工艺流程和顾客需求，制定例如，生产计划要按照产品工艺流程和顾客需求，制定原料、零件、部件等订购、投产的日程和数量，尽量降低成本原料、零件、部件等订购、投产的日程和数量，尽量降低成本使利润最高；运输方案要在满足物资需求和装载条件下安排从使利润最高；运输方案要在满足物资需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用最低

42、。各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用最低。它们的特点就是：在若干可能的方案中寻求某种意义下的最优方案。数学上称为最优化问题,而研究处理这种问题的方法叫最优化的方法。优化模型是一类既重要又特殊的数学模型，而优化建模方法是也一种特殊优化模型是一类既重要又特殊的数学模型，而优化建模方法是也一种特殊的数学建模方法。优化模型一般有下面三个要素：的数学建模方法。优化模型一般有下面三个要素：o(1)(1)决策变量，决策变量，它通常是该问题要求解的那些未知量。它通常是该问题要求解的那些未知量。o（2）目标函数，）目标函数，通常是该问题要优化（最大或最小）通常是该问题要优化（最大或最小）的那个目标的数

43、学表达式，它是决策变量的函数。的那个目标的数学表达式，它是决策变量的函数。o（3）约束条件，）约束条件，由该问题对决策变量的限制条件给出。由该问题对决策变量的限制条件给出。例例1 1 家具生产的安排家具生产的安排 家具公司生产桌子和椅子，用于生产的劳力共计家具公司生产桌子和椅子，用于生产的劳力共计450450个工个工时，木材共有时，木材共有4 4立方米立方米,每张桌子要使用每张桌子要使用1515个工时，个工时，0.20.2立方木立方木材售价材售价8080元。每张椅子使用元。每张椅子使用1010个工时，个工时，0.050.05立方木材售价立方木材售价4545元。问为达到最大的收益，应如何安排生产

44、？元。问为达到最大的收益，应如何安排生产？o分析：1.求什么？生产多少桌子？生产多少桌子？x1x1 生产多少椅子？生产多少椅子？x2x2 2.优化什么？收益最大收益最大 Max f=80 x1+45 x2Max f=80 x1+45 x2 3.限制条件？原料总量原料总量 0.2 x1+0.05 x2 4 0.2 x1+0.05 x2 4 劳力总数劳力总数 15 x1+10 x2 45015 x1+10 x2 4502，约束优化，约束优化模型：以产值为目标取得最大收益以产值为目标取得最大收益.设：生产桌子设：生产桌子 x1x1张张,椅子椅子 x2x2张张,(,(决策变量决策变量)将目标优化为：将

45、目标优化为：max f=80 x1+45x2max f=80 x1+45x2 对决策变量的约束：对决策变量的约束：0.2x1+0.05x24 0.2x1+0.05x24 （）15x1+10 x2 450,15x1+10 x2 450,（）x1 0,x2 0,x1 0,x2 0,模型求解：模型求解：（1）图解法（用于决策变量是）图解法（用于决策变量是2维）维）15x1+10 x2=450 x1x20.2x1+0.05x2=4整数规划背 景o邮递包裹 把形状可变的包裹用尽量少的车辆运走o旅行背包 容量一定的背包里装尽可能的多的物品实 例o某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容积大小分别为1000

46、毫升、1500毫升和2000毫升，根据需要列出需带物品清单，其中一些物品是必带物品共有7件，其体积大小分别为400、300、150、250、450、760、190、（单位毫升）。尚有10件可带可不带物品，如果不带将在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目的地的价格（单位美元）。这些物品的容量及价格分别见下表，试给出一个合理的安排方案把物品放在三个旅行包里。物品物品12345678910体积体积200350500430320120700420250100价格价格1545100705075200902030问题分析o变量对每个物品要确定是否带同时要确定放在哪个包裹里，如果增加一个虚拟的包裹把不带的

47、物品放在里面，则问题就转化为确定每个物品放在哪个包裹里。如果直接设变量为每个物品放在包裹的编号，则每个包裹所含物品的总容量就很难写成变量的函数。为此我们设变量为第i个物品是否放在第j个包裹中o约束包裹容量限制包裹容量限制必带物品限制必带物品限制选带物品限制选带物品限制o目标函数未带物品购买费用最小 前面的线性规划问题，研究的都是只有一个目标前面的线性规划问题，研究的都是只有一个目标函数，若干个约束条件的最优决策问题然而现实函数，若干个约束条件的最优决策问题然而现实生活中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，生活中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，而且这些标准之间往往不协调，甚至是相互冲突的

48、，而且这些标准之间往往不协调，甚至是相互冲突的，标准的度量单位也常常各不相同例如，在资源的标准的度量单位也常常各不相同例如，在资源的最优利用问题中，除了考虑所得的利润最大，还要最优利用问题中，除了考虑所得的利润最大，还要考虑使生产的产品质量好，劳动生产率高，对市场考虑使生产的产品质量好，劳动生产率高，对市场的适应性强等等的适应性强等等 目目标标规规划划正正是是在在线线性性规规划划的的基基础础上上为为适适应应这这种种复复杂杂的的多多目目标标最最优优决决策策的的需需要要，而而发发展展起起来来的的它它它它对对对对众众众众多多多多的的的的目目目目标标标标分分分分别别别别确确确确定定定定一一一一个个个个

49、希希希希望望望望实实实实现现现现的的的的目目目目标标标标值值值值，然然然然后后后后按按按按目目目目标标标标的的的的重重重重要要要要程程程程度度度度（级级级级别别别别）依依依依次次次次进进进进行行行行考考考考虑虑虑虑与与与与计计计计算算算算，以以以以求求求求得得得得最最最最接接接接近近近近各各各各目目目目标标标标预预预预定定定定数数数数值值值值的的的的方方方方案案案案如如果果某某些些目目标标由由于于种种种种约约束束不不能能完完全全实实现现，它它也也能能指指指指出出出出目目目目标标标标值值值值不不不不能能能能实实实实现现现现的的的的程程程程度度度度以以以以及及及及原原原原因因因因，以以供供决决策策

50、者参考者参考 例例 某某生生物物药药厂厂需需在在市市场场上上采采购购某某种种原原料料，现现市市场场上上有有甲甲、乙乙两两个个等等级级，单单价价分分别别为为2 2千千元元/kgkg和和1 1千千元元/kgkg，要要求求采采购购的的总总费费用用不不得得超超过过2020万万元元，购购得得原原料料的的总总重重量量不不少少于于100100kgkg，而而甲甲级级原原料料又又不不得得少少于于5050kgkg，问问如如何何确确定定最最好好的的采采购购方方案案（即即用最少的钱、采购最多数量的原料用最少的钱、采购最多数量的原料）一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出目标函数为：目标函数为：约束条