数学建模-人口统计模型.ppt

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1、人口统计模型（I）（1）试求距市中心2km区域内的人口数；（2）若人口密度近似为（单位不变），试求距市中心2km区域内的人口数.公里区域内的人口数，单位为每某城市2000年的人口密度近似为 表示距市中心 r 平方公里10万人.人口统计模型（II）设 表示 时刻某城市的人口数.假设人口变化动力学受下列两条规则的影响：（1）时刻净增人口以每年 的比率增加；（2）在一段时期内，比如说从 到 ，由于死亡或迁移，时刻的人口数 的一部分在 时刻仍然存在，我们用 来表示，是这段时间的长度.试建立在任意时刻 人口规模的模型.如果 ，2000年时该城市的人口数为 ，试预测2010年时该城市的人口数.应用背景 可

2、用于国家和地区的人口增长预测.相关知识点1.元素相加法,微分方程法 2.定积分的换元积分法 3.定积分的分部积分法 解题方法 根据两种模型的不同，分别取距离微元和时 间微元，建立人口统计的积分模型，然后用 定积分的换元法和分部积分法求解.解题过程（I）假设我们从城市中心画一条放射线，把这条线上从0到2之间分成 n 个小区间，每个小区间的长度为 .每个小区间确定了一个环，如下图所示.第一步：解题过程 让我们估算每个环内的人口数并把它们相加，就得到了总人口数.第 个环的面积为：在第 j 个环内，人口密度可看成数 ，所以此环内的人口数近似为：.解题过程第二步：距市中心2km区域内的人口数近似为：所以

3、人口数 .解题过程第三步：（1）当 时，距市中心2km区域内的人口数大约为229 100.解题过程（2）当 时，距市中心2km区域内的人口数大约为1 160 200.解题过程第四步：（II）数学建模：我们把 的时间区间分成 等分，每个小区间的长度为 .初始时刻的人数为 ，到时刻 将只剩下 .当 很小时，从时刻 到 ，净增人口的比率近似为常数 .这段时期净增的人口数近似为 .时刻 到 内净增加的人口到时刻 只剩下 .所以在 时刻的总人口数近似为：当 无限增大时，（1）解题过程第五步：将 及 ，代入（1）式得 2010年时该城市大约有人口1 280万.说明 人口统计模型（I）中两个人口密度 和 有一个共同特点 ，即随着r 的增大，减少，这是符合实际的.另外，需要指出的是，当人口密度 选取不同的模式时，估算出的人口数可能会相差很大，因此，选择适当的人口密度模式对于准确地估算人口数至关重要.