化工系统工程讲座_五_.pdf

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1、?年化学工程第?,期化,工、系统 工程讲、座!五乍飞、,#兰染玉衡一!化工部化工机械研究院第四讲化工过程系统的最优化的数学模型!遍设普程个工一是发开而,程念过卜概工的化新一在是%。%不实并事化观优客又最以的?、?一在存过祥早钟邑划步化工系统工 程的渔它包括过 程系绒曼塑过手 辱衅缨西要内容,前者主 要解决如何按照 过程系要求,确定系统的结构和操作条件?后,主的心不统拿鬓氰套纂 资霆潇囊毖馨装霎薰肇霖毕草石地运行。从这一讲开始,将以过程 系统最沈设计为重点,分别叙述过程系统的最优化数学模型,最优化方法以及可靠性、稳定性、灵纸度分析的基本知识 和方法。、一、最优化数学、一模型的概述 一!、声了卜,

2、#,一%而山一&?仁盆沪、一。()冬执+一一一一一一,.一,/、,0一,/为任何一项工程设计,都是希望采取各种可熊多现的措施,使它达到预先规定的最理想的目的。为了解沫这一类.1题通常 采用厂厂述几种方法2?物 理 的、模型实验的方法?相似模拟的方法!理论的、数学模拟的方法?计算机模 拟的方法,#相徽模拟有粼学牌拟相结合如综合方法喊、一、!不管禾用什么方法,都必须将过程系统的特性用叶种科学的方式春达出来,以此作大谁,步分析研寒的蒸础,由此卜所谓最 优化数学模型即是 指过程系统最优 化问题的份种数学描参两枣解最优化救学模型的数学方法就是通%浏灭说的最优伟取法,计 和生产操作 中存在着大星的最 优化

3、 问题,例如一个化学反应,选择 什么样的操作条件使反应进行得最 完 全,副反应最少,转化率和收二笋最高&一个分离装置在什么样的操作条件下,它以最小的成本提取目的产品的纯度和产量&又如一个化工过 程的实际操作中,由于出现了外来干扰亩使操作条件偏离正常数值,那 么需要采用什么措施,使生产操作恢复到平衡状态&此外还有催化剂的更换周期,装置维修方案和设备更新等伺题。下面以两个常见的实例说明最优化数学模型的具体意义。例有一串连反应过程(,、(,)+今,一今.其中)为原料,/为所要求的中间产物,.是不希望产生的最终产物。假定反应 是一级的,则反应动力学方程式如下0一坛飞。0戈一12一3?450冬、已6,式

4、7 8一9 9一式中。&、&分别表示组分(、)豹浓度,+、&为反应速 度常数,&、,&为频率因子+&、印.叭/一0%,则上式可改写为&为 活 化能。对于 这一个反应过 程,如果要求确定温度1,使反应在某一个给定时间2&,组分)的浓度、沟最大偏一很呢显,这是卜个以反应温,度士芳控制变量三侧组分启的浓度。&达最大值为目标的求产品质量最傀的问题。例3一个由#个萃取槽组成的多级错流萃取过程,料液输入第一级,料液中溶质的浓度为比4料浓陈流量为尔。%解&二全5为雄位时间加入 第5级 的萃取剂的流量%多一&为第?级出口被溶荆带走的溶质的量。如图6一?所示。75出一艺!。75一5+一8+9&一)艺/+飞不石万

5、/石?,3,#袄红拳%漆二拳:黔:聋:耸:黔曰十?各水 诬滩艰过,假定每丫级处于平衡状态该线性的,则得&平衡关系是;,!8&,此式描述了平衡级的特性,定义为过程的状态方程式,8二!8。,8,8。伪状态变量,用响量表争,/二!/。,2 5,一/、&为控制变量,用向量表示。对多级错流萃取过程要解决的 题是确定满足状悉方程的条件!、即物料平衡,相平衡下,使目标函数为最大时,各级溶剂的流量0&获即总溶剂在各级间奴何分配,使,=.,显然这是、个收益最大的最优化问题。一由上述两个简单的包子可以看出,一个最龄伺题的数学描述墉&“一”?描述过程系统特性的数学模绷匆第?二 讲中曾指出,这个数学模型育能是代数方程

6、,微分方程,差分方程,偏微分方程等。一!必须给出救举拚粼的铆台 状态值,但是初始条件有时可明显给助,有时以隐函数!值粉。卜+:必须给定终止状德眷从!终止抉态可以是一个点,也可以是二布橄集。系统公初始欲态出发,沿一轨线在终止时间湖刻臃月、宁 韵色玲状态。终止封问存时是固逛的蚕有衬、是不翻定的。一;要规定铂个目标函教一如图6一3所示,如果一个过程系统已经给出了冬?状态变量二?,控制变量以?,测量变量以?之 间的 动态关系,即状态方程式和测量方程式。过程 系统的目标函,数。那么确定性最优化问题是要求一组控 制变量。?,使过程系统的目标函数取极大或,极小值。渔料亘垂膺贾扮工一巨毫 遭扮她图一确定性最优

7、化向祖。随机性最优化问题如图一所示,图中一公?才少?之伺的函数关系即状态方程式!以?,?,?之间的测量方程式,?丈 和叹?的统计特性及0?的测量值。状态变量估值又分三种情况,在时蔺区间?。,8 范围内,对?观测时,若0?二8定义为在给定时凤园间内作状态变量估值!?8定义为预 测问题或外推问题,?8定义为内插问题。,识另时司碗如图一9所示,一个过程系统,假设?为过程系统程 系统图一义?夕能机性班优化问肠图一9识别问口的干扰变量,袱?为测量装置 的干扰变量。、如果一个过程系统已经给出了0?状态变量?,控制变量?,干扰变量?之 间的动态关系,即状态方程式。铡量变量一仕,状态变量二?,干扰变量?之间的

8、动态关系,即测量方程式。#过程系统的 干执变量二和铡量装置干扰一变量,?的统计特0性。;过程系统的 目标函数。一随机性最 优 化何题是要求一组控制变量?使目标 函数的一期望值达到极值。一。状态变扭的估值问题如图一所示,由于过 程系统受到 干扰变觉?,?切的影响,状态变过0?有共忐盛枷簧 盆兴圈一状恋变扭的估值间魔些可以直接河量,有些不能直接测量,因此稀硬根据过程系统的数学模型,干扰变量 的统时特性,视侧变量等进行估值,求出状态变妞宝?在某种条件下的最优枯值权?。状态变量估值问题一般已 知?,?,已经给出了?,?,牲 之间的测量方程式!测 量变量?,控 制变 量?你中可观测的量以及干扰变量?,袱

9、?的统计特性,所谓识别问题是要求建立双?,?,?之 间的函数关系即状态方程式,或在某些条件下对过程系统作最优估值。一简言之,所谓识别间题是建立过程系统的数学模型成对模型中的参数作某种估值。对于 某些复杂的化工过程系统,它的数学模型往往是未知的,或者有一部分是的未知的,或者只知数学模型的形式而其中参数为待定值,对这+类问题要求通过实验记录?和叭?,然后用适当的数学方法求出数学模型中未知都分。显然,如果忽略过程系 统和测量装置 的于扰的影响,这就笼确定性的积 别问题,如果过程系统和测量装置的干扰的影响不能忽略,则变为随机性的 识别问题,9适应性问题如图一所示,一个过程 系 统,假图一适应!性问题一

10、行一设已经给出了&!2,!2,双2 之间的测量方程式+&!2、/!2 为可观测的变量+!2和 !2 的统计特性以及过程系统的目标函%数,适应性 问题是要求确定控制变量/!2,识别 过程系统的动 态特性,并对状态变量进行某种估值,使过程目标函数达到极大或极小值。二、过程系统的书数学模型数学模型的本质特征是对 过程系统的 物理和化学本质的概括和合理的简化,建立过程系统的数学模型 是最优 化的 核心,用数学模型描述过程系统 的特 性是化学工程的一个重大发展,也是系统工程的方法能够用 来解决化工过程系统最优 设计、最优控制问题的基础?%建立数学模型的一些基本考虑石一%?分个大型的化工过程系统的数学模型

11、包 括两个部分,即描述过程系统组成 的备单元之间的逻辑关系模型和描述单元特性的数量关系模型。!3建立描述单元过程特性的数学模型,关键在于对单元过程的物理本质有深入的 了解,通过对 过程现象的观察、实验、分析综合,抓住过程的主鬓特征,对它作出合理 而不庆真的简 化,写出描述过程特性的数学模型,以此对 过程特性作出理论的概括。一般说来,在化工单元中进行单相或多相 流体的动 量、热量和质量传递的过程,在许多情况下,这些过程还同时伴有化学反应,或者本身就是以化学反应过程为主要特征。化工单元 的本质特征用单根或多相流体的速度场、一温度场、浓度场的变化规律!包括静态的 和动态的表示。写出流体的速度场、温度

12、场、浓度场的变化卯数学模型要综合运用物理、化学和化学工程的一些基本原理,诸如质量守恒,动量守恒、能量守恒等定律,状态方程式及物性方程式,拐副本中关于作用力的平衡、相平衡以及化学平衡的概念,传递过程、反应动力学和过程动力学户的速率方程式。有关这些知识,在一般的化学工程、反应工程的教科书中都可找甄在此从略。!对所研究 的过程系统要规定一个范围,由确定的基本 单元过程和设备组成,换句话来说,过程系统应有确定的 边界,使过程系统与周围的环境分开。!6任何二个过程系统,它的输入变量 与输出变量由映射关联写成一、一&8 8一知/一一一一!/映射描述了输入变量和输出变量之间的 因果关系。在第三讲中,曾讨论了

13、系统的分解和综合的方法,&应该指出,在建立过程系统的数学模型时,各子系肺吮特性及组合方式对于 整个过程系统的影响是很重要的,某中最基本和最重要的是每个子系统凶数学摸型与整个系统的数学模型的关系,吏具体的说,能否认为以子原统的状态向量为元素作成的向量就是整个系统的状态向量孚当子系统用线性方程表示时,整个系统的状态方程也可用线性方程表示当子系统的数学蟒型有解时,能否也认为整个系统的羚学悼犁呜有解。有关这些问题将在本讲有关部分予以说明。3%建立过程系统的数学模型“一!?过程系统的逻辑关系模型过程系统的逻辑关系模型描述梅成过程系统各单元之间的关系,它用逻辑方程式,网络图 或图对应的各种矩阵描逮过程系统

14、各个单元之间的结构联系,过程系统各物流、物流变量之间的因 果关系,逻辑牛关 系模型不讨论子系统即单元过程或没备+、的内部特性,并且限于非时变的线性系统的苑围。一 一第个单元输出正接到个单元的第个输 入第 个单 元输出负接到+个单元 的第个输入当第第当?一?当第 个单元输出不接 到第个单元 的第个输入、丈一一、,户了%34矛、如果过程系统由5个子系统构成,对子任意 单元0,它有67个输入变量,8?个输出变 量分别用 符 号9和:表 示,整个过程系统的输入变 量和输出变量分别用符号;和、沪 0 急,+了.卜?一一+二,=05=,卫)=曰5=。=了.一一=矩阵中0,子块=?的维数 为6,(8,元素决

15、定于单元 的输出如何接到单元0的输入,即=孟,的4.元素二,4,?按下述规则确定2当整个过程系统的第当整个过 程系统的第当整个过 程系统的第矩阵中第0个子块+?的 维数为6 0、6其4.元 素2 4.表示整个过程系统的输入条件如何接 到单元0的 输入,即+2的4,.元 素 4,.按下述规则确定、.个输入正接到第0单元的第4个输入.个输入负接到第0单元的第一4个输入.个输入不接到第0单元的第火个输入卜,?上一、%式!6一?即过程系统的逻辑关系 模型。!3单 元!子 系统特性的数量关系的模型单元特性的数量关系的模型描述单元过、程或设备的特性,建立单元特性的数量关系一模型按下述步骤&.。确定模型的特

16、性在着手建立模型之前,首先要解决下述一些问题&?对过程系统作具体分析!确定过程系统的召标,影响这一目标的丰要因素,达到这一目标有哪些限制乐件!数学模型描述过程苏统中哪些单元的特性。根据数学像型的预期用途与过程的笋前知识,在建立模型开始时还必须考虑模匆的复杂程度,确定适用 的模型类型。模型的类型有0静态的模型与动态的模型,线性的模型与非线性的模型!时不变的模型与时变的模型,确定性的模型与髓机性的模型,集中参数的摸犁与分布参数的库型,参数型的模型与非参数型的模型。在确定模 型的 结构形式时,还 要考虑 模型的可识别性,即是 否能够根据巳知的输入、输出数据完 全确定过程的真实特征。一0一下石分#能够

17、用什么数据校核模型的正确性。变量的选择和分类确定过择的输入变量与输出变量?分别包括理制弯髯0干扰变量一、状态变量、申间变,辑等天,然后再尽分输入襄鼻与输出变量中嘟稗呼以从已有装置的握作记录中选取,哪些数据由试验设计决定。在作变量分类时,一般将容易取得、容易改变的变量作为输入变量?控 制变量或设计变量,将容易测量的变量作为输出变量乓状态弈量。此外还要确定准备对过程系统输入什么形式 的扰动。收集基本数据建立模型要求的基本数据包括热力学特性数据和传递特性数据以及技术经协特性数据等。这些数据取自文献或实验,对于任何数据,都无不例外,应该鉴别其正确性和精确度。建立模型根据对过程的分析,基础试验,过程的规

18、律特征用散学上的概括建立数学膜型。建立数学模型的方法分为两大类0理论 的方法?或 称演绳法 和经验方法?或标归纳法。在化工系统中常用 的有0理论分析方法,利用试验 或工业装置正 常操作数据的数理统计分析方尚试验设计方法!理论分析与计算机模拟和该别相结合的综 合方法,?理论分析方法理论分析方法是建立在对过程机理深入分析的 基础上,由理论推导得 出描述 过程控制变量与状法变量之间的函数关系。建立数学模型的方法是根据过程的守恒夹系、平衡一概念、传递特性孟对微分单元?分布参数 或宏观单乖长朱史务数 一写出描渗过程特性的数学表达式,、它的普遍成如下0积累一输入一输冉终一 应指出,式?二 每含了速率的撅念

19、,邵输入、输出、积累都是指单位时间,某种性一一质!如质量、能量、动量在该单元中的数值。如果输入等于输出,系统的积累等于零,这就是一般常见的静态模型。如果积累不等于零,就可推导出动态模型。用理论分析方法导出的数学模型描述过程两种不同类型的关系。其一 是守 恒关系式,即质量 和能量守恒,这些关系 与过程或设备内部发生的过程无关,一般 由输入和输入物流就可以表示,其二是表示过程和设备特性的关索式扩这一类特性方程式往往与设备条件和传递特性有关。守恒关系方程式必须严格符合守恒定律,而特性关系方程式则常常是近似的。当然理论推导的数学模型应当包括数学方程式以及满足该方程式所需的边界条件和初始条件。用 严格的

20、理论推导的数学模型往往都是比较复杂的,虽然这一类模型能反映过程的本质,其结果亦可以用于外推,但是由于过程系统本身的复杂以及描述过程特性的数学方法的局 限性,因此在建立实际模型时,往往根据对过程机理的分析,在不使过程本质失真的前提下护按实际的需要和可能,从工%程实 用的观点出发,引入一些假定,忽略一些次要的因素,突出一些主要因素,或者把过程中变化不大的变量看作常数,用平均值代替协以喊少变量,以便获得适于工程设计使用的简化模型。一 数理统计分析方法有许多过程系统无法用理论分析方法推导过程的数学模型,它只 能获得由试验模型,中间试验厂 或工业生产装置在正常条件下的记豪数据护显然,这些记录数据实质上是

21、代表了过程系统的不同的工作状态,因此利用这些数据,通过教理统计分析方法可以找出各个变量 之间的函数关系。换句话来说,如图一所示的过程 系统,若输入变量的集合,?,测量输出变量的集合?及测量方程已知,0由、此状态变量的集合?也是已知的,用数理统计方法寻找,?与?之间的关系即为过程的数学模型。在化工不统工程中常用 的数理统计方法有0最大事后概率估算法,最大或然率识别,回归 分析?或称相关分析 其中最常用的为线性最小二乘法和非 线性最小二乘法。常用的模型形式有0多项式或矩 阵型经验模型节氏十甲 !恩队林两,止0?一 双曲线型经验模型一一工 吵少一?一 0022幂 函数型经验模型日性墨0卜?一9 式?

22、+一?一9 中,哟状态变量,血为控制变量,。、日为常数。#试验设计方法所请试验设计方法是指有计划的进行试验,根据试验结果的分析求出输入变量与输出变量之间的函数为系。即以!表示输入,。表示过程系统操作特性参数,通过试验函数天,得到过程系统的输出变量、。或写成0,模由此可得拟试验?输入,参数 峥输出函数关系式(一 在化工系统工程中使用的试验设计方法有0回归正交试验设计,旋转设计!+一最优设计、一;综合方法4综合应用理论分析和经验归纳方法薄立过程的数学模型是一种行之有效的方法综合方法的基本思想是0首先通过对过程机理的分析建立过程的数学模型、其 次通过模拟试验或生产装置的正 常操作数据的统计分析来判

23、断数学模型中变量和参数一的数截。而模拟和识册都是由计算机来完成办由此,计算机起到了 一个模拟实验室的作用。一汁4以卜 只对建立数学懊型的各种方法特别奋是对于数坦统计方法,试验设计方法以及计算机的应用作了简要的说明,这是因为考虑竹到王速的方法在许多专门的书刊中巳经作了相 当广泛而且详细的讨论。8。模型的处理?模型的最后识别有的过程可能建立几个不同力数学模型,因此需要从不同 的模型少锡别最能反映过程 本质特征的模型,识别的基础是实际过程与模型的 拟合程度。模型 的简化复 杂的数学模型不仅给求解带来困难,而且往往不能以显函数的形式描述过程的特性,因此要对模型作简化处理。模型简化涉及近似理论一系列回题

24、,基本的出发 点是从过程的物理木质与数学方法相结合,利用相似转换原理、对称特桂、变量 和参数的数量级大小的比较以及等效概念简化模型。#模型中某些来知参数估值关于识别0简化、估值 问题在以后再作详细讨论。一所谓初始条件是指 过程系统的初始状态的数学表 达 式,为了说明一个过 程系统 的初始状态,必须规定特征变量在初始时刻在系统中 各处的数值+对化工过程系统 来说,诸加初始温魔、浓度或速率分布等。很明显,对于静态 问题,不需规 定 初始条件。还应注意,初始条件应 当是整个过程系统的初始条件而不是过程系统中某一个局部位置的初始状态 的数值。+过程系统的边界条件问题 要复杂一些。它是一 组过 程系统特

25、征 变量的关系式,用 它来表达过程系统边界所处的物理 条件。实际的过 程系统具有不同类型的边界条件&?边界上的物理条件直接规定了过 程系统的特征变量在边界上的数值,这也就是通常所说的章一类边值问题。”边界上的物理条件不能直接规定过程系统的特征变量在边界上的数值,而是规定了过程索玩的特征变量的法向微商在边界上的值,此 即第二类边值问 题。#许多实际的化工过程系统,边界上的物理条件既不能直接规定过程系统的特征变量在边界上的值,也不能规 定特征变量的法向微商在边界上的值,过程系统边界上的物理 条件规定了过程系统的特征变量在边界上的值之 间的某种线性关系,此即第三类边值尚翘。在后面关于 化 工过程索统

26、的数学模型的举例中将可看出,三类不同的边值 问题在实际过 程的数学模型中都是会遇到的。?非线性数学 模型的线性化虽然对已经导出的数学 模型可用前已提到的种种方法?女民相似变换、不呼 用对称特性、0等效概念、变量 和参数数量级 的比较等等 使模型尽可能简化。但是对于化工过程系统的数学 模型,大多数具有非线性特征、所以为使它更适于最优设计和最优按制的要求,必须 对非 线性的数学模 型进行线性化处理对于一个实际过 程 系统,当它处在正常操作的条件时,过程系统的变量与理想的主作点?所谓理想的工作点是以该点的系统状态接近或者达到稳定状态 的 偏离不应太大,否则过 程 系统的操作应作故障处理,甚至要停工检

27、查。由此可以将过 程系统的数学模型在理 想 工作点技台劳 级数展开,取其线性项而把其余项作为误差处理,这就 是线性化方法的物理 基 础。单变量非线性模型的线性化如果过程系统的变量对 于某一个理 想工作点的偏离很小,若过程 系统的输入变量为,?,输出变量?状态变量 为?,并且?,?,?一 则将式?一 按理想工作点,。,。附近展成台劳级数0?二,?。,、,0,?,4?4一丁万丁气,一划。少个,上些?一。,名?一 当?,一,很小,忽略其高阶项,则 式?一 简化写成0?二。?_,?一,。?一 式中0。?,。?】、二二二一,6一。或写成幻?卜?一_仁从?一,。?凌一 式?一 即为式?一 的 线性化数学模

28、 型。?一。?与,?一,。?成正比例关系。两个变量的非线性模型的线性化一如果输出变量?为两个输入变 量,0?、,2?的函数,即一昭一!2二仁!2,&!2!6一?当过程系,统处于稳态时,输入变量的理想工作点分别为&。,&。,则将式!6一?在,。,&%下泣近展成台劳级数得&三!士二!,。,工一丁&。9,一尹、。认卜、一&,。一。,9釜。&%。&。、。/&一/&。?命瑟。&一,火!,一,。名93.;.&口5一;一 3_!,一&。!&一&。99斋。+一,;一;。,9!6一?3在稳态 条件下,当置!&一。,!。一&。很小时,即输入变量在小扰动范围内波动,忽略台劳级数户的高阶项,则可简化写成下式&!2一。

29、!2?入&!2一、。!299_;&!2一;。!2!6一?式中&。!2?亡&。!2,;。!2式!6一?即为式!6一?的线性化数学模型。%多变量非线性模型的线性化过程系统的多变量非线性模型如下&!,2!6一?6式中&为一个#维的输出向量!状态向量,为一个=维的输入向量!控制向童,2为时间变量。式!6一?6为非线性动态模型一般写法。下面分 别写出函数式&又,一,!&,&,二。,/工,。&,/、,2&?;!&,;,。,/&,让&,”一”%+:2二,%,%交#一。!&,丸,一,乳+。&,。+,二,一。,二、%.:%,%!,/,2卜。,。,9兹二。,。战9_】一釜&一&。_;一瓮。3%;。&己十,竺一%?

30、4 9。卜。%/。一9么!忿,色;或写成与式!6一?食等价的形式%歹、乳!6一协,2一。,。,9釜乙 一9会色一99癸恤99釜“一9会“一十十凳“一少“吟娜,;!,一名。,。,9会乙一9釜“一99会“十9器“一9癸“一99癸“一9“,“,!6一?公、。!,士。,。,9会“一9会“一99会“二99会“一9斋“一9一9瓷“一“;,“,一歼一式中入!护,兮为台劳级数展开 式中的高岭瓦并且将其略去不计,同 时 由 于。,。为稳态时 的数值,所以下 式成立&二。!。,。,2?!6一?则 式!6一?4 可简化写成乙!2!。,。,丁、,2一?(!2各!29)!2乙!2!6一?卜?、%?%8阮阮&%恤式中。又

31、!2乙 !2卜色!2?各/,!2:各/;!2日湘,从乃/=!2(!2一二丝二&43&.;.&。尸#&亘已一”圣&:百妥丁目壑乞。少)!2二厂达鱼一亘二。/,。/,。/。旦互丝兰二,旦卫兰巴?%势旦互兰丝三二/#/二./。!6一,:?:尸(“为#维状态 矩阵,)!2为#=维控制矩阵。由于 在 线性化中略去了高阶项(饰,!2,色;!2,所以状态方程必然存在误差,如果把各种误差综合用甲!2 表示,并且可把这个误差综合 量看成外部扰动!或者将它看成一个具有正态 分布的白噪音,假定它的统计平均值为零,协方差伪常数。或者随时 间变化的某一个.!2,则过 程 系统的动态模型经线性化后变为下述 简 化 型式&

32、!2二(!2!29)!2!29!2!6一3!模型的识别和参数估值采用理论方法建立数学模型有两个 问题&。口.全夸6 旦红、6卫三、拭日4、日2日2鑫 翻 翻,续薇。刹简化写成2正 定的,将式!一 代入 式!一 _日二!一 得2、由此可得待定参数的修正 值,一 _入)八日一日一_一,!一 或,_久?日!一 若要使日数值使目标函数不断减小,要求即由此 式反复迭代,不断改进日,使自标_必须是正定的。如果_不满足这个条件,则函数不断下降,直至找到一组参数 日使目标可选取函数达到最小时为止。二_一卜入)!一 ,对数学模型作显著性检验代换_,式中)是一个已知正定矩阵,由线按上述方法确定参数值的数学模型,不

33、性代数知识得知,只重久充分大,可以获得一定与实验观侧值很好拟合,因此应时数学一盯一模型进 行显著性!或数学模型可置嗜度%检验。对于标准偏差 的显著性检验一般采用相关指数和检验两种方 法。?相关指数?主。一二0?一 起对计算平均值的偏差的大小,反映 了自变量的 重要程度。如果剩在总中占的忱例愈小,即%愈大,说明经验回归 方程对实验点拟合得愈好。当%时,说明实验点与经验回归方程完全拟合一致,当%二时,说明 两者完全 无关。一般规定%“时,经验回归方程才 是可置信的。检验统计量用下式表示”对的影响是显著的。若得到 与上述相 反的结果则是不显著的。由于非 线性方程不能作严格的检验,所以有人建议选用安全

34、系数 乘以。后再与计算得 到的值比较,即只有满足下述条件的数学模型。72 习,。,?,一一?一9 才是可置信的。分布参数模型的参数估值方法分布参数模型的参数估值方法的基本思路是将分布参数的动态 模型转换为集中参数的 动态模型,然后采用集中参数模型的参数估值方法估计参数的数值。在化工过程系统中常用的 方法有0调节函数方法,线性化方法!特征函数方法。其中调节函数方法是引入一个调节函数使分布参数模垫6转换为集中参数模型犷然后用集中参数模型的估值方法求解。一此方法的求解步骤为0?线性分布参数模型如下式所示?回?,癸,癸,式中”百乒夕,。一。?一 剩?一一?一 式中为总实验次数!为自变量数,即自变量,的

35、谁数。如果随机变量与自变量没有关系则统计量服从?户,一一 分布,在给定的显著性水平下,统计量满足下式镇。?,一一 一?一 即事件5。?,一一 是小概率事件,它在一次试验中不应 发生。若算出的值大于。?,一一,财说明原来假设“与无关”不能成立犷即所求得的经验回归方程在众的水平上是显著的,也就是说自变量空间变量,自变量的维 向量函数!过程系统要 测量 的输出状态 变量向量,过程系统的输入 变量向量,日待估的参数向量。由式?+确定可测量 的变量。将高阶导数变换为可测量的变量。用一个对角矩阵函数中?0,?乘式?一 两边,然后在整个时 间和空间域求下述积分中 8一?一#式?一 用格林公式或分部积分求解,

36、一吕认;选择函数小?,?,使所有边界项为零。在大多数情况下?女口传质、传热过程,函数中?,?可用调 谐函数,(兀、。一,?一竺任生二一】(,?一、2一一表示。经上述处理后可直接用集中参数估值方法如最小二乘方法估算未知参数。计算机在线规划如果 基础数据不够充分或者不够准确,不能获得准确可靠的数学模型,此外如果试验设计粗糙甚至错误或者由于模型选择不合理,则不管使用多么准确的估值方法都无助于补偿数据 与模型的拟合程度和求得准确可靠的数学模型。以往的试验设计和参数估值原则上是阶段性的,即在进行试验时,没有充分利用以往实验所取得的信息。随着计算机技术的发展,近些年提出的序贯法或称计算机在线规 划试 验方

37、 法,它 的基本思路是利用计算机和试验设计相 结合,以有限的试验,获得的有用 信息作基础,不断改进下一步试验的设计,分析试验数据 和选定下一个新的试验点,如此利用信息的获得和信息的加工处理交替进行以建立一个精确可靠的数学模型。计算机在线规划试验方 法 的程序如 图一所示。它 包括 了两个主要步骤。首先对有竞争的数学模型作最优序贯判别,如图一所示,假定在两石消竟争的模型之间 作判别。卜卜卜 ,维终模型圈一计茸桩在峨规划试脸法棍圈二跳力州,州人褪0二。二%。巨止月6卜6卜入从从 螂护瓦图!一,对两个有竞争 的经性璐的列别(9(9式中的(为相关变量,它可以表示任何一个物理或化学量。由此设计一个试验,

38、希望获得一个最大的偏 差值。对独立变量9则应选择接近于 零或9,而不能选择在9附近。如果在独立变量9的 一 个数值作了 一 次试验,以便求常数、的数值,为了设计第。次试验,把9轴上可操作区间分为某些确定救值的区间,试验点用0,表示,对每个试验点计算相关变量(”和一(“,然后计算两个竞争模型每次估值计算的偏差平方和?。一 妥、一妥 0,?成第次试验点的选择准则是对应于任轴上的试验点使2,。为最大值。这个准则可推广于有多个竟争模型的情况,此时2?二如下式表示2一一+。一艺 艺!妥!5 2一尘!5,%?一互9?式中,表示竞争模型,指数点。!6一?表 示试 验当然 还河采用 其它选择准则,如使信息函数

39、为最大值作为判 断最有利模型标准。一:二%,?,岌翻9;,黯3!6一6 式中,!、&!分 别为概率密度函数。以同样的理论为基 础,)“二提出一个新 的判决标准,他认为设计第#次试验 的判决标准是使信息函数5,。?兀5#一5兀3+#,!.毛一。圣3!.圣9.!.孟9.完成有利模型的判决之后,还需要对模型作显著性检验,显著性检验仅仅采用一般的统计原理、如检验、2检验斌检验等,这些方 法都可从任何一本数理统计的著作中找到,在此仄略。对数学模型作最优序贯判别给 出一个最好的模 型,其次还需要对模型的参数作更精确的估值。参数估值的精确度可用 最小二乘方估值 方法,最大或然率函数估值方 法 和).85.#

40、估值方法进行预侧。对于代数型、微分方程和偏微分方程类型的数学模型的精确度预侧多用最大或然率函数估值方法。计算机在线规划试 验采用逐渐减少与估值有关的连 合置信体积 的方法来消除估填不确定性的数值。所谓连合置信体积的概念可用 一个有三个参数的模型 来说明。如图6一?所9妥、”一主、”,曦券9十丽抚了:_关刃冲入尤二碑 口才刃书甲娜甲巫七为!6一6?哆万越解、肖二才夕了,心够为最大值,以此作为选择 第#次试验条件的依据。式中 扩 为的 观测值的方 差,/,时分别表示对模型?、3就第5个试验点预测变量 的估值 的方差,殉+。一,朴,。一分别为经第!#一?次试验 后模型?、3的验前概率。二?,二一,二

41、3,。一,的乘积是一个系数,它给出经第!#一?次试验后,对于有最大概率的模型的一个较大的加权。使 在独立变量 的试验点处,完成 第#次试验后,。+。县有最大值。显然,)在推导信息函数时,对模型的概率没有考虑参数的分布。所以有人提出一竹、新 的改进,对每一个模型,考虑到离散参数值的某种组合,并且它们当中的每一个将作为表示它的可能程度的一个数值,每当完成一次试验时,用、).8,定则修正模型概率和参数分布。二;万月刃心_铆刃心,钊厉丈刃健犷图6一?连合值体积示,如果模型参数是线性的,即在这个体积的表面 上的每一个点对应于具有相同残差 平方 和的一组参数值,序贯设计法要求用 最少的 试验数使置信区问体

42、积为最小值。如果数学模型用下式表示&?!/,_求函数对任何参数的偏导数,.,它%二“亡=/287如2 无知/卜它5.8 8”,8,.5)7%,?4+,/,%(%,“7 8=58.8 87#2&18(58.25#,(5#08 8%?4?、4.#,(%,“2=5.25#1 8.助 28=”,.85.#,?%“娜?本讲座 第一竟中的参考文献第?、【?%1蜘科化机所,“化工过程数学模型的分析”%内部资料,?匀%)5%)二82.二1.#28#=8#.”%#058,?4%?兰州化机所%“化工装置中物流流动模型的综合评述,内部资料,?了%?;.8%(%,82.%,“5#8.28=1 8,%8,.%5,?4+

43、7.#,_%、“18.28=.2585/5#”,#5 8528#8%,?4%?8,%,“18(58.25#.28=.258.85#2 8 8 8 8=8#2.#5#”,(立8858#8/%2二?6。?3?=52,7,%,82.%,“=/.25#.#25=5.25#.28=.25.8”,#28#.25#.18 2%?%?兰州 化机所,“化工过程系统识别和参数佑值的一些问题”,内部资料%?%?6?余国琼、梁玉衡,多级过程理论研究!、!%!待发表,?、?%?尾花英朗,“热交换器设计,、夕衬了,夕”,工学国书株式会社%?1+日本机械学会论文集,3 6%?%?,?,?4/8#,0%二“&8 8 85#5=/.25#7#2 7=58.#巨#8 8 5#”。,.%5)7%,?%?(5,%,“8=8#2.78=58.8.82(#.)主”,8#2主8 8.#8二?4&?88#58,%,“7 8=58.?叮.825#5#885#,#058,?幼3%?7兀皿双盆。,%,)8 8民),)%7二8,皿%仄8月万.皿皿_.1.几皿1双8 从 双亡77)皿.万 .“城中 石%/勺.8五皿1 8泥卜扭习盆.扣)日.%.劝%?%了3%,一毒一