高数讲座8.pdf

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1、哈尔滨工程大学理学院，卜长江高等数学学习方法高等数学学习方法(FIC)系列讲座系列讲座8:重积分计算方法重积分计算方法卜长江卜长江Email:Tel:82519384（O）哈尔滨工程大学理学院应用数学系）哈尔滨工程大学理学院应用数学系2009.4.10哈尔滨工程大学理学院，卜长江高等数学高等数学FIC学习方法学习方法F：基础（基础知识，主要内容、问题）；I：思想（问题的核心、本质、体系）；C：分类解题（将数学问题分为若干类，研究每 一类问题的解法，对每一类问题用对应的方法 处理）。F：基础（基础知识，主要内容、问题）；I：思想（问题的核心、本质、体系）；C：分类解题（将数学问题分为若干类，研究

2、每 一类问题的解法，对每一类问题用对应的方法 处理）。哈尔滨工程大学理学院，卜长江二重积分二重积分一、直角坐标系下二重积分计算方法 一、直角坐标系下二重积分计算方法 1.D为为 X 型区域型区域(,)Df x y d =21()()(,)byxayxdxf x y dy O y2()yyx=1()yy x=xx ab哈尔滨工程大学理学院，卜长江2.D为为 Y 型区域型区域 O y2()xxy=1()xx y=1()xx y=2()xxy=dyx c(,)Df x y d =21()()(,)dxycxydyf x y dx 哈尔滨工程大学理学院，卜长江二、直角坐标系下二次积分交换积分次序 二、

3、直角坐标系下二次积分交换积分次序 哈尔滨工程大学理学院，卜长江 三、极坐标下二重积分的计算 三、极坐标下二重积分的计算 (,)(cos,sin)DDf x y df rrrdrd=21()()(cos,sin)rrdf rrrdr=O y2()rr=1()rr=x哈尔滨工程大学理学院，卜长江三重积分三重积分 一、空间直角坐标系下的三重积分化计算一、空间直角坐标系下的三重积分化计算 1.先一后二先一后二(,)f x y z dv=21(,)(,)(,)zx yzx yDdxdyf x y z dz.哈尔滨工程大学理学院，卜长江2.先二后一先二后一(,)f x y z dv =(,)zdcDdzf

4、 x y z dxdy 哈尔滨工程大学理学院，卜长江二、利用柱面坐标变换计算三重积分 二、利用柱面坐标变换计算三重积分 cossinxryrzz =，(,)f x y z dv=(cos,sin,)f rrz rdrd dz z x y(,)M rz(,0)M rz 哈尔滨工程大学理学院，卜长江三、利用球面坐标变换计算三重积分 三、利用球面坐标变换计算三重积分 sincosxr =sinsinyr =coszr=(,)f x y z dv=2(sin cos,sin sin,cos)sinf rrrrdrd d x sinsinyr=sincosxr=coszr=y(,)M r(,0)M r哈

5、尔滨工程大学理学院，卜长江常用的性质、计算方法：常用的性质、计算方法：1.1.若二重积分区域若二重积分区域D的边界含的边界含22xy+形式可考虑用极坐标.形式可考虑用极坐标.2.2.若二重积分出现若二重积分出现2sin,yxxxeex 等，可考虑积分交换次序.等，可考虑积分交换次序.3.3.对三重积分，若积分区域球状时可考虑用球坐标。对三重积分，若积分区域球状时可考虑用球坐标。4.4.若积分区域非球且在若积分区域非球且在xoy投影为圆时可考虑用柱坐标.投影为圆时可考虑用柱坐标.5.5.被积函数含一个变量的三重积分可考虑先二后一.被积函数含一个变量的三重积分可考虑先二后一.6.6.积分时注意对称

6、性与轮换性.积分时注意对称性与轮换性.7.7.定积分的乘积是二重积分.定积分的乘积是二重积分.8.8.缺变量的积分可化简.缺变量的积分可化简.哈尔滨工程大学理学院，卜长江例 计 算例 计 算22()23DxyIxyd=+=+,其 中,其 中22:1D xy+.解:由 对 称 性 得.解:由 对 称 性 得0Dxyd=.由 轮 换 性 得.由 轮 换 性 得22DDx dy d =,所以:,所以:2222222130015()()22312551224DDxyxyIdxy ddr dr +=+=+=+=+=+=.哈尔滨工程大学理学院，卜长江例 2009 研 究 生 入 学 考 试。设例 2009

7、 研 究 生 入 学 考 试。设(,)f x y连 续，则连 续，则222411(,)(,)yxydxf x y dydyf x y dx+=（C ）.（C ）.A.2411(,)xdxf x y dy B.B.241(,)xxdxf x y dy C.C.2411(,)ydyf x y dx D.D.221(,)ydyf x y dx 解 解 哈尔滨工程大学理学院，卜长江例 2009 研究生入学考试 10 分。例 2009 研究生入学考试 10 分。()DIxy d=，22:(1)(1)2,Dxyyx+.分析：对二重积分，若分析：对二重积分，若D的边界含的边界含22xy+形式宜用极坐标形式宜

8、用极坐标.解解32(sincos)24048(cossin)3Idrdr+=哈尔滨工程大学理学院，卜长江例例 2008 考研数学，考研数学，设设(,)f x y连续，连续，222:(1),D xyu u+=+=221xy+=+=，直 线，直 线(tan),(0,),02yv x vy=围成的第一像限部分，若围成的第一像限部分，若2222()(,)Df xyF u vdxdyxy+=+=+，则，则(,)F u vu=哈尔滨工程大学理学院，卜长江分析：缺变量的积分可化简分析：缺变量的积分可化简.222222011()(,)()()Dvuuf xyF u vdxdyxydf rdrvf rdr+=+

9、=+=2(,)()F u vvf uu=哈尔滨工程大学理学院，卜长江例 证明:例 证明:()()()()()()()()113300112200 xfx dxfx dxxfx dxfx dx 其中 其中()fx在在 0,1上单调增连续.上单调增连续.分析：定积分的乘积是二重积分分析：定积分的乘积是二重积分.哈尔滨工程大学理学院，卜长江证明 设 证明 设 111132230000()()()()uxf f x dxfx dxxfx dxfx dx=，则，则111132230000()()()()uxfx fy dxdxxfx fy dxdy=112200()()()()xfx fyf xf yd

10、xdy=由轮换性 由轮换性 112200()()()()uyfy fxf yf xdxdy=()()()()()()()()()()1122002ufx fyfxfyxy dxdy=()fx ()()fxfy 与与()xy 同号，同号，20u 0u 哈尔滨工程大学理学院，卜长江例例2009考研数学，考研数学，2222:1,0,?xyzzz dv+=+=分析：分析：1.被积函数含一个变量的三重积分可考虑先二后一被积函数含一个变量的三重积分可考虑先二后一.2.积分时注意对称性与轮换性积分时注意对称性与轮换性.哈尔滨工程大学理学院，卜长江 方法方法 1 1122200zzDDz dvdzz dxdy

11、z dzdxdy=12202(1)15zzdz =哈尔滨工程大学理学院，卜长江方法方法 2：设：设222:1,xyz+2z dv 2221 1()2 3xyz dv =+=+21220001sin6ddr rdr=z x y 哈尔滨工程大学理学院，卜长江例例 22:1,xyz+计算计算2()Ixyz dv=+=+分析：积分时注意对称性与轮换性分析：积分时注意对称性与轮换性.2222()()Ixyz dvxyzdv =+=+=+=+用柱面坐标变换用柱面坐标变换 2112200()rIddrrzrdz =+=+1331012()|3rr zrzdr=+=+z x y(,)M rz(,0)rzr=1

12、z=哈尔滨工程大学理学院，卜长江先二后一：先二后一：222:()zDxyz+12220()zDIdzxyzdxdy=+=+1222000()zdzdrzrdr =+=+哈尔滨工程大学理学院，卜长江例 计算例 计算221()21xyDyxedxdy+，其中，其中D是由直线是由直线,1yx y=及及1x=围成的平面区域.解围成的平面区域.解 D 区域可分割为区域可分割为12DD+2211()20 xyDyxed+=2221()210 xyDyxed+=+=0DDydxdyd=+=+01yydyydx=01()yyy dy=0212y dy=3022331y=哈尔滨工程大学理学院，卜长江例 计算三重

13、积分例 计算三重积分2()xyzdv+其中其中 是是22zxy=+与与221zxy=所围成的区域.解所围成的区域.解222(222)Ixyzxyyzxz dv=+=+22xydvyzdv=2xzdv=0 222()Ixyz dv=+=+21224000sinddrrdr =2255 =z x y 0r=1r=(,)r 哈尔滨工程大学理学院，卜长江例例 计算计算112111224yyyyxxyIdye dxdye dx=+=+解解 212112yxxxDDIdxe dy+=2112yxxxyxdxe dx=123182e=x 哈尔滨工程大学理学院，卜长江例设例设()f t在在)0,+上连续且满足

14、上连续且满足222242241()()2txytf tefxyd +=+=+，求，求()f t.解.解2222244000()()2()22ttttrrf tedfrdrefrdr=+=+=+=+24()82()22tftetf tt =+i+i 24()8()8tfttf tte=，2244()8()8ttefttef tt =24()8tef tt =，242()4tef ttc =+242()(4)tf tetc =+=+又显然又显然(0)1f=，所以，所以1c=，242()41tf tet =+哈尔滨工程大学理学院，卜长江例 2009 研究生入学考试。例 2009 研究生入学考试。1I 哈尔滨工程大学理学院，卜长江Thanks for your attentionThanks for your attention卜长江卜长江Email:Tel:82519384（O）哈尔滨工程大学理学院应用数学系）哈尔滨工程大学理学院应用数学系2009.04.10