概率论与统计7-1a.ppt

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1、 第第 七七 章章 参 数 估 计 现在我们来介绍一类重要的统计推断问题现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.估计废品率估计废品率估计新生儿的平均体重估计新生儿的平均体重估计湖中鱼数估计湖中鱼数 估计平均降雨量估计平均降雨量参数估计问题的一般提法参数估计问题的一般提法 设有一个统计总体的分布函数设有一个统计总体的分布函数其中其中 为未知参数为未知参数.现从该总体中抽取样本现从该总体中抽取样本要根据该样本对参数要根据该样本对参数 作出估计，或估

2、计作出估计，或估计某个已知函数某个已知函数 .这类问题称为参数估计这类问题称为参数估计.(一般分一般分点估计点估计和和区间估计区间估计)7.1 点估计点估计一、点估计问题的提法一、点估计问题的提法二、估计量的求法二、估计量的求法三、小结三、小结一、点估计问题的提法一、点估计问题的提法 设总体的分布函数形式已知设总体的分布函数形式已知,但它的一个或但它的一个或多个参数为未知多个参数为未知,借助于总体的一个样本来估计借助于总体的一个样本来估计总体未知参数称为总体未知参数称为点估计问题点估计问题.二、估计量的求法二、估计量的求法 由于估计量是样本的函数由于估计量是样本的函数,是随机变量是随机变量,故

3、故对不同的样本值对不同的样本值,得到的参数值往往不同得到的参数值往往不同,求估求估计量的问题是关键问题计量的问题是关键问题.点估计的求法点估计的求法:(两种两种)矩估计法和极大似然估计法矩估计法和极大似然估计法.1.1.矩估计法矩估计法 其基本思想是用样本矩估计总体矩其基本思想是用样本矩估计总体矩.理论依据理论依据:它是基于一种简单的它是基于一种简单的“替换替换”思想建立起来的一种估计方思想建立起来的一种估计方法法.是英国统计学家是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的皮尔逊最早提出的.大数定律大数定律 于是得到于是得到的的矩估计矩估计矩估计法的具体步骤矩估计法的具体步骤:矩估计量的观察值称为矩估计

4、值矩估计量的观察值称为矩估计值.解：解：设设 是总体是总体 的一个样本的一个样本,由于由于 ,可得可得 例例1 设总体设总体 服从泊松分布服从泊松分布 ，求参数求参数 的矩估计量的矩估计量.于是得到于是得到 的矩估计为的矩估计为解解例例2 2解方程组得到解方程组得到于是于是 的矩估计量分别为的矩估计量分别为解解例例3 3于是于是 的矩估计量为的矩估计量为总体一阶矩总体一阶矩 已知，不需估计，已知，不需估计，估计估计 要计算二阶矩要计算二阶矩解方程得到解方程得到解解例例4令令解方程组得到解方程组得到a,b的矩估计量分别为的矩估计量分别为上例表明上例表明:总体均值与方差的矩估计量的表达式，不会随着

5、总体均值与方差的矩估计量的表达式，不会随着总体分布的不同而不同总体分布的不同而不同.一般地一般地 矩估计法的优点和缺点矩估计法的优点和缺点 优点优点是简单易行是简单易行,便于实际应用便于实际应用;缺缺点点是是,当当总总体体类类型型已已知知时时,没没有有充充分分利利用用分分布布提提供供的的信信息息.一一般般场场合合下下,矩矩估估计计量量不不具具有有唯一性唯一性，且所得估计有时优良性比较差，且所得估计有时优良性比较差.二、二、极大极大（最大最大）似然估计法）似然估计法极极大大似似然然估估计计法法是是在在总总体体类类型型已已知知条条件件下下使使用用的一种参数估计方法的一种参数估计方法.它首先是由德国

6、数学家高斯在它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的年提出的,然而，然而，GaussFisher这个方法常归功于英国统计学家费歇这个方法常归功于英国统计学家费歇.费歇在费歇在1922年重新发现了这一方法年重新发现了这一方法,并首先研究了这种方法的一些性质并首先研究了这种方法的一些性质.1.似然函数似然函数 设总体设总体 的概率密度为的概率密度为是未知参数，是未知参数，其中其中是来自是来自总总体的体的样样本本,则样本则样本的概率密度的概率密度为为则则称称为为似然函数似然函数。似然函数实质上就是样本的概率密度。似然函数实质上就是样本的概率密度。当当给给定一定一组样组样本本值值 后后,它只是参数它

7、只是参数的函数，的函数，记为记为即即 极大似然估极大似然估计计法，是建立在极大似法，是建立在极大似然原理的基然原理的基础础上的求点估上的求点估计计量的方法。量的方法。极大似然原理的直极大似然原理的直观观想法是：在想法是：在试验试验中中概率最大的事件最有可能出概率最大的事件最有可能出现现。因此，。因此，一个一个试验试验如有若干个可能的如有若干个可能的结结果果 而在一次而在一次试验试验中中，结结果果 出现，出现，则一般认为则一般认为 出现的概率最大。出现的概率最大。2.极大似然估计法极大似然估计法定义定义设总体设总体 的概率密度为的概率密度为 ，其中，其中 为未知参数。又假设为未知参数。又假设 是

8、总体是总体 的一个样本值，的一个样本值，如果似然函数如果似然函数分分别为别为的的极大极大似然估似然估计值计值。需要注意的是，极大似然估需要注意的是，极大似然估计值计值若将上式中若将上式中样样本本值值替替换换成成样样本本则则所得的所得的称称为为参数参数的的极大似然估极大似然估计计量量。由于由于因此因此 为为极大似然估极大似然估计计的必要条件的必要条件为为 称它称它为为似然方程。似然方程。而而 与与 在同一在同一 处达到处达到最大最大值值，求极大似然估计量的一般步骤为求极大似然估计量的一般步骤为：（1）求似然函数求似然函数（2）一般地，求出一般地，求出及似然方程及似然方程 （3）解似然方程得到极大似然估解似然方程得到极大似然估计值计值 （4）最后得到极大似然估最后得到极大似然估计计量量 解解似然函数似然函数例例1 1这一估计量与矩估计量是相同的这一估计量与矩估计量是相同的.解解 似然函数为似然函数为例例2即即注意：注意：它们与相应的矩估计量完全相同它们与相应的矩估计量完全相同.解解例例3三、小结三、小结两种求点估计的方法两种求点估计的方法:矩估计法矩估计法极大似然估计法极大似然估计法在数理统计问题中往往先使用极大似然估计法在数理统计问题中往往先使用极大似然估计法,在极大似然估计法使用不方便时在极大似然估计法使用不方便时,再用矩估计法再用矩估计法.