概率论与数理统计A第5章.ppt

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1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第5章章大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理5.1 大数定律大数定律l大数定律大数定律l依概率收敛定义及性质依概率收敛定义及性质l随机变量序列服从大数定律随机变量序列服从大数定律 大量随机试验中大量随机试验中大数定律的客观背景大数定律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率一、大数定律一、大数定律定理定理1（切比雪夫定理的特殊情况）切比雪夫定理的特殊情况）切比雪夫切比雪夫 则对任意的则对任意的0，有，有做前做前 n 个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均证证由切比雪夫不等式

2、由切比雪夫不等式上式中令上式中令得得说明说明二、二、依概率收敛定义及性质依概率收敛定义及性质 定义定义性质性质请注意请注意:问题问题:伯努利伯努利 设设nA是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生发生的次数，的次数，p是事件是事件A发生的概率，发生的概率，是事件是事件A发生的频率发生的频率.设设 nA 是是n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发发生的次数，生的次数，p是事件是事件A在一次试验中发生在一次试验中发生的概率，则对于任意正数的概率，则对于任意正数 0，有，有 定理定理2（贝努里大数定律贝努里大数定律）或或 伯努利伯努利证明证明 证毕证毕注注 贝努里大数定律表明，当重复

3、试验次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分充分大时，事件大时，事件A发生的频率发生的频率nA/n与事件与事件A的概率的概率p有较有较大偏差的概率很小大偏差的概率很小.或或下面给出的独立同分布下的大数定律，下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在不要求随机变量的方差存在.设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,相互独立，相互独立，服从同一分布，具有数学期服从同一分布，具有数学期E(Xi)=,i=1,2,，则对于任意正数则对于任意正数，有有定理定理3（辛钦大数定律辛钦大数定律）辛钦辛钦 1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可

4、行的途径值提供了一条实际可行的途径.注注2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.3、辛钦定理具有广泛的适用性、辛钦定理具有广泛的适用性.要估计某地区的平均亩产量要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性块，例如要收割某些有代表性块，例如n 块块地地.计算其平均亩产量，则当计算其平均亩产量，则当n 较较大时，可用它作为整个地区平均亩大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计产量的一个估计.三、小结三、小结大大数数定定律律 大数定律以严格的数学形式表达了随机现大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：象最根本的性质之一：平均结果的稳定性平均结果

5、的稳定性5.2 中心极限定理l依分布收敛依分布收敛l中心极限定理中心极限定理 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和因素的综合（或和)影响所形成的影响所形成的.例如：炮弹射击的例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，落点与目标的偏差，就受着许多随机因就受着许多随机因素（如瞄准，空气素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个每个随机随机因素对因素对弹着点（随机变量和）弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小所起的作用都是很小的的.那么弹着点服从怎样分布哪

6、那么弹着点服从怎样分布哪？如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大影响中所起的作用不大.则这种随机变量一般都服则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正态自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见自然界中极为常见.现在我们就来研究独立随机变量之和所特有现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题的规律性问题.高斯高斯 当当n无限增大时

7、，这个和的极限分布是什么呢？无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不，故我们不研究研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量变量.在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做布这一类定理都叫做中心极限定理中心极限定理.依分布收敛依分布收敛一、中心极限定理一、中心极限定理定理定理1（独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理）注注 3、虽然在一般情况下，我们很难求出、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分的分布的确切形式

8、，但当布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布很大时，可以求出近似分布.定理定理2（李雅普诺夫（李雅普诺夫(Liapounov)定理定理)请注意请注意:定理定理3(棣莫佛拉普拉斯（棣莫佛拉普拉斯（De LaplaceDe Laplace定理）定理）设随机变量设随机变量 (n=1,2,(n=1,2,)服从参数服从参数n,p(0p1)的二项分布，则对任意的二项分布，则对任意x，有，有证证 定理表明定理表明，当，当n很大，很大，0p1920)设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi,i=1,2,16例例1解答解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理由中心极限定理,近似近似

9、N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y 1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119（1)解：设应取球解：设应取球n次，次，0出现频率为出现频率为由中心极限定理由中心极限定理例例2解答：解答：欲使欲使即即查表得查表得从中解得从中解得即至少应取球即至少应取球3458次才次才能使能使“0”出现的频率出现的频率在在0.09-0.11之间的概率之间的概率至少是至少是0.95.（2）解：在）解：在100次抽取中次抽取中,数码数码“0”出现次数为出现次数为由中心极限定理由中心极限定理,即即其中其中E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09即在即在100次抽取中，数码次抽取中，数码“0”出

10、现次数在出现次数在7和和13之之间间的概率为的概率为0.6826.=0.6826四、小结四、小结中中心心极极限限定定理理注注这一节我们介绍了中心极限定理这一节我们介绍了中心极限定理 在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理定理.中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实这一值得注意的事实.