概率论与统计3-3.ppt

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1、 为了对离散型和连续型随机变量为了对离散型和连续型随机变量r.v（random variable）以及更广泛类型以及更广泛类型的的r.v给出一种统一的描述方法，下面引给出一种统一的描述方法，下面引进了进了分布函数分布函数的概念的概念.3.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数一一、分布函数的概念分布函数的概念1v对离散型随机变量，可以用分布列来描述它，但对离散型随机变量，可以用分布列来描述它，但对于非离散型的随机变量，由于对于非离散型的随机变量，由于它可能它可能取的值不取的值不可数，所以想用分布列来描述它是不可能的可数，所以想用分布列来描述它是不可能的.v例例如，灯泡的寿命如，灯泡的寿命X就

2、是一个可以在某一个区就是一个可以在某一个区间间上任意取上任意取值值的的随机变量随机变量，它的，它的值值就不是集中在有就不是集中在有限个或可列无限个或可列无穷穷多个点上，因此，其多个点上，因此，其概率规律就概率规律就不能用不能用分布列来描述了分布列来描述了.这时这时，只有确知，只有确知X在任一在任一个区个区间间上上取值的概率才能掌握它取值的概率分布取值的概率才能掌握它取值的概率分布规律规律.2定义定义3.3.1 3.3.1 分布函数分布函数 3 如果将如果将 看作数轴上随机点的坐看作数轴上随机点的坐标标,则分布函数则分布函数F(x)的值就表示的值就表示 落落在区间在区间(-,x上上的概率的概率.

3、|x4 由定义，对任意实数由定义，对任意实数 x1x2，随机点落随机点落在区间（在区间（x1,x2 的概率为：的概率为：因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量 的分布函的分布函数，数，它的统计特性就可以得到全面的描述它的统计特性就可以得到全面的描述.5 分布函数是一个普通的函数，正是由于分布函数是一个普通的函数，正是由于这这个个缘缘故，故，我我们们能用数学分析的工具来研究能用数学分析的工具来研究随机变量随机变量.例例1 1 设设随机变量随机变量的分布列的分布列为为 X 123P1/21/31/6求求 X的分布函数的分布函数.6X 123P1/21/31/67解解 由由分布列可知：分布

4、列可知：当当x 1 1时时，F(x)=P(Xx)=P()=0 0；当当 1 1x2 2时时，F(x)=P(Xx)=P(X=1)1)=1/21/2；当当2 2x3 3时时，F(x)=P(Xx)=P(X=1)1)+P(X=2)2)=5/65/6；当当x3 3时时，F(x)=P(Xx)=P(S)=1.1.于是于是X的的分布函数分布函数为为 8F(x)的图形如图的图形如图3.23.2所示所示.x0F(x)1231/25/61图图3.29 由图由图3.23.2可以看出，可以看出，F(x)的图形是一条阶梯形曲线，的图形是一条阶梯形曲线，该曲线在该曲线在x=1,2,31,2,3处，分别有跳跃值处，分别有跳跃

5、值1/2,1/3,1/6.1/2,1/3,1/6.该阶梯形曲线的台阶的个数等于取值的个数该阶梯形曲线的台阶的个数等于取值的个数+1 1，跳跃，跳跃点为取值点，跃度为取相应值的概率点为取值点，跃度为取相应值的概率.一般地，一般地，设设离散型随机变量离散型随机变量X的分布列的分布列为为P(X=xk)=pk，k=1,2,则则X的分布函数可以通的分布函数可以通过过下式求得下式求得 其中和式是其中和式是对对所有所有满满足足xkx的的k求和求和.分布函数在分布函数在X=xk处处具具有跳跃值有跳跃值pk.10例例2 2 向区向区间间(a,b 内任意内任意掷掷一一质质点，点，设设此此试验试验是几何概是几何概型

6、的，求落点的坐型的，求落点的坐标标X的分布函数的分布函数.解解 由由题题意可知：意可知：当当xa时时，F(x)=P(Xx)=P()=0 0；当当axb时时，F(x)=P(Xx)=P(aXx)=(x a)/()/(b a)；当当xb b时时，F(x)=P(Xx)=P(aXb)=1.1.于是于是X的分布函数的分布函数为为 11vF(x)的图形是一条连续曲线的图形是一条连续曲线，如图如图3.33.3所示所示.O Oabx1F(x)图图3.312二二、分布函数的性质分布函数的性质()()当当0 0F(x)1 1时时，x+；()()对任意的对任意的x1x2，有有F(x1)F(x2)，即即F(x)是单调是

7、单调不减的；不减的；()()()()F(x+0)=F(x)，即即F(x)是右连续的是右连续的.v可以证明，若某一个函数可以证明，若某一个函数F(x)满足上面的性质，则满足上面的性质，则必存在一个随机变量必存在一个随机变量X以以F(x)为其为其分布函数分布函数.13三、重要公式三、重要公式证明证明14四、小结2.随机变量的分类随机变量的分类:离散型离散型,非离散非离散型（以连续性为主）型（以连续性为主）.1.概率论是从数量上来研究随机现象内概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的在规律性的,因此为了方便有力地研究随机因此为了方便有力地研究随机现象现象,就需将随机事件数量化就需将随机事件数量化,

8、把一些非数把一些非数量表示的随机事件用数字表示时量表示的随机事件用数字表示时,就建立起就建立起了随机变量的概念了随机变量的概念.因此因此随机变量是定义在随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数样本空间上的一种特殊的函数.154.分布函数的性质分布函数的性质3.随机变量分布函数的概念随机变量分布函数的概念1617解解 例例 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯,每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过.出发地出发地甲地甲地首次停下时已通过的信号灯盏数,求 X 的概率分布与 p=0.4 时的分布函数.令 X 表示1801234xx kpk 0 1 2 3 40.6 0.24 0.0960.0384 0.0256代入19 01234xF(x)120