材料力学 扭转3.pdf

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1、材 材 材 材 料 料 料 料 力 力 力 力 学 学 学 学 工 工 程 程 力 力 学 学 教 教 研 研 室室dxd xdxTT d ddxdxd =G=dxd G=ATdA TdAdxdGA=2 IpPGITdxd=PGIT PIT =截面的极惯性矩 截面的极惯性矩 截面的极惯性矩截面的极惯性矩 引 引 言言5 5 等直圆杆扭转时的变形.刚度条件 等直圆杆扭转时的变形.刚度条件 PGITdxd=ld dxGITlP =0 当等直圆杆有两个以上的外力偶作用时当等直圆杆有两个以上的外力偶作用时，需要先画出扭矩图需要先画出扭矩图，然后 然后 分段计算各段的变形分段计算各段的变形，各段变形的代

2、数和即为杆的总变形各段变形的代数和即为杆的总变形。当等直圆杆仅在两端受一对外力偶作用时 当等直圆杆仅在两端受一对外力偶作用时 PGITL=()=iiPiiGILT 一、圆轴扭转时的变形一、圆轴扭转时的变形二、刚度条件 二、刚度条件 对于传动轴，有时即使满足了强度条件，还不一定能保证它 对于传动轴，有时即使满足了强度条件，还不一定能保证它 正常工作。例如：机器的传动轴如有过大的扭转角，将会使机器 正常工作。例如：机器的传动轴如有过大的扭转角，将会使机器 在运转中产生较大的振动；精密机床上的轴若变形过大，则将影 在运转中产生较大的振动；精密机床上的轴若变形过大，则将影 响机器的加工精度等。因此对传

3、动轴的扭转变形要加以限制。响机器的加工精度等。因此对传动轴的扭转变形要加以限制。一般地说：标志杆件扭转变形的物理量有两个：一般地说：标志杆件扭转变形的物理量有两个：绝对扭转角 绝对扭转角 相对扭转角相对扭转角dxd 其中：其中：PnGILM=杆件中任一截面的变形程度，故而它不能作为衡量扭转 杆件中任一截面的变形程度，故而它不能作为衡量扭转 变形的物理量。变形的物理量。；随着随着x x的变化而变化，所以它不能够完全表明的变化而变化，所以它不能够完全表明PnGIMdxd=；对于T 对于T n n 值不变的等直杆来说，值不变的等直杆来说，dxd 表示了 表示了 杆件中单位长度上的扭转角，在杆件中的任

4、意长度上杆件中单位长度上的扭转角，在杆件中的任意长度上 常量=dxd 的变形程度。故而可以作为衡量扭转变形的物理量。的变形程度。故而可以作为衡量扭转变形的物理量。，因此它是完全表明了杆件内部各截面处，因此它是完全表明了杆件内部各截面处 若：记若：记 =dxd；杆件因扭转而破坏时的；杆件因扭转而破坏时的 值为 值为。0 则：则：允许扭转角允许扭转角刚度条件刚度条件 =n0max max讨论 讨论 对于等直杆来说：对于等直杆来说：注意：此处由注意：此处由PnGIM=得到的单位为弧度得到的单位为弧度/米。米。rad/m若若 的单位为度的单位为度/米米0/m故上面的刚度条件应改为故上面的刚度条件应改为

5、：=PnGITmaxmax mGITPn0maxmax180 =如图所示阶梯轴。外力偶矩M 1 0.8KNm，M 2 2.3KNm，M 3 1.5KNm，AB段的直径d 1 4cm，BC段 的直径d 2 7cm。已知材料的剪切弹性模量G80GPa，试计算 AB 和 AC。0.8kNm1.5kNm例题 例题 例题例题1 1?0.8m1.0m1M2M3M1d2dABC32411dIP =41.25 cm=32422dIP =4236cm=111PABGILT=rad0318.0=222PBCGILT=rad0079.0 =BCABAC +=radrad0079.00318.0 =rad0239.0

6、=图示一空心传动轴图示一空心传动轴，轮轮1为主动轮1为主动轮，力偶矩力偶矩M M 1 1 9KN9KNmm，轮轮2、2、轮 轮 3 3、轮轮4 4为从动轮为从动轮,力偶矩分别为力偶矩分别为M M 2 2 4KN4KNmm，M M 3 3 3.5KN3.5KNmm，M M 4 4 1.5KN1.5KNmm。已知空心轴内外径之比已知空心轴内外径之比d/Dd/D1/2，1/2，试设计此轴的外径试设计此轴的外径D D，并 并 求出全轴两端的相对扭转角求出全轴两端的相对扭转角 24 24。G G80GPa80GPa，60MPa60MPa。5kN1.5kN4kN例题 例题 例题例题2 2?5005001M

7、2M3M4M500()43116 =DWP maxTWP ()max43116TD ()34max3116 TDmm7.76=mmD 78=mmd39=PGILT2121=rad00734.0=PGILT1313=rad00917.0 =PGILT3434=rad00275.0 =34132124 +=rad00458.0 =已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率 P=7.35kW，转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；（2）作钻杆的扭矩图，并 进行强度校

8、核；（3）求A、B两截面相对扭转角。MAlBAB)(xTxT例题 例题 例题例题3 3?nPT31055.9 =Nm390=单位长度阻力矩 LTM=mNm40390=mNm75.9=PWT=max 16605016010390433 =MPa7.17=()=lPABGIdxxT0 ()MxxT=xLT=dxGIlxTlPAB =0 2lGITP =()21050601080403903212449 =rad148.0=一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实 心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩M e。圆管与圆 杆的材料不同，其切变模量分别为G 1 和G 2，且G 1=G 2/2，

9、假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比 1/2 为多大？并画 出沿半径方向的切应力变化规律。dD()1()2eM2 1 例题 例题 例题例题4 4?因两杆扭转变形时无相对转动 21 =222111PPIGLTIGLT=221121PPIGIGTT=22112122PPIdTIDT =dDITITPP =1221221 =GG1=例题 例题 例题例题5 5?传动轴的转速为传动轴的转速为n n=500r/min，主动轮=500r/min，主动轮A A 输入功率 输入功率 P P 1 1=400kW，从动轮=400kW，从动轮C，BC，B 分别输出功率分别

10、输出功率P P 2 2=160kW，=160kW，P P 3 3=240kW。=240kW。已知已知=70MPa，=70MPa，=1/m，=1/m，G G=80GPa。=80GPa。(1)试确定(1)试确定ACAC 段的直径 段的直径d d 1 1 和和BCBC 段的直径 段的直径d d 2 2；(2)若(2)若ACAC 和 和BCBC 两段选同一直径，试确定直径 两段选同一直径，试确定直径d d；(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?1eMABC2eM3eM1d2d=nPMe119549mN76405004009549 =mN3060400160

11、12 =eeMMmN458040024013 =eeMM解：解：1.1.外力外力 例题 例题 例题例题6 6?2.扭矩图2.扭矩图mm2.82m102.8210707640161633631=Td按刚度条件按刚度条件mm4.86m104.8611080180764032180323429421=GTd3.直径3.直径d d 1 1 的选取 的选取 按强度条件按强度条件mN7640 mN4580 ()mm4.861=d1eMABC2eM3eM1d2d =31max16dT =?1803241maxdGT按刚度条件 按刚度条件 4.4.直径直径d d 2 2 的选取 的选取 按强度条件按强度条件1

12、eMABC2eM3eM1d2dmN7640 mN4580 ()mm3.69m103.6910704580161633632=Tdmm76m107611080180458032180323429422=GTdmm762=d5.5.选同一直径时选同一直径时mm4.861=dd6.6.将主动轮按装在 将主动轮按装在 两从动轮之间两从动轮之间1eMABC2eM3eM1d2dmN7640 mN4580 ()2eMCBA1eM3eM1d2d受力合理受力合理mN3060 mN4580 ()()+6 等直圆杆扭转时的应变能 xyzdx ()()dxdydzdW =21 单元体外力作功 dxdydz 21=dV

13、dW=应变能密度 dVdVv =dxdydzdxdydz 21=21=等直圆杆扭转时的应变能 =VdVvV =l AdAdxv v 21=G =l AdAdxGV22 PIT =APdAITGl222 PGIlT22=一、基本概念：一、基本概念：1、翘曲、翘曲：取一横截面为矩形的杆，在其侧面上画上纵向线和横 取一横截面为矩形的杆，在其侧面上画上纵向线和横 向周界线，扭转后发现横向周界线已变为空间曲线，这表明变形 向周界线，扭转后发现横向周界线已变为空间曲线，这表明变形 后杆的横截面已不再保持为平面，而变为曲面，这种现象，就称 后杆的横截面已不再保持为平面，而变为曲面，这种现象，就称 为翘曲。为

14、翘曲。注：注：从翘曲这种现象可以看出，平面假设对非圆截面杆件的扭转 从翘曲这种现象可以看出，平面假设对非圆截面杆件的扭转 已不再适用。已不再适用。7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形2、自由扭转、自由扭转：等直杆在两端受扭转力偶矩作用，且其翘曲不受任 等直杆在两端受扭转力偶矩作用，且其翘曲不受任 何限制的情况，属于自由扭转。何限制的情况，属于自由扭转。特 特 点：点：杆件各横截面上的翘曲程度相同，纵向纤维的长度 杆件各横截面上的翘曲程度相同，纵向纤维的长度 无变化，故横截面上没有正应力而只有剪应力。无变化，故横截面上没有正应力而只有剪应力。3、约束扭转：、约束扭转：由于约束条件或受力 由于约束

15、条件或受力 条件的限制，造成杆 条件的限制，造成杆 件各横截面的翘曲程 件各横截面的翘曲程 度不同，这种情况属 度不同，这种情况属 于约束扭转。于约束扭转。特 特 点：点：由于杆件各横截面的 由于杆件各横截面的 翘曲程度不同，这势 翘曲程度不同，这势 必引起相邻两截面之 必引起相邻两截面之 间纵向纤维的长度改 间纵向纤维的长度改 变。于是横截面上除 变。于是横截面上除 剪应力外还有正应 剪应力外还有正应 力。如右图所示:力。如右图所示:4、薄壁杆件与实体杆件在约束扭转时的差别：薄壁杆件与实体杆件在约束扭转时的差别：薄壁杆件（如工字 薄壁杆件（如工字 钢、槽钢等，见下图）在约束扭转时正应力相当大

16、，而实体杆件 钢、槽钢等，见下图）在约束扭转时正应力相当大，而实体杆件（如矩形、椭圆形杆件）因约束扭转而引起的正应力极小，与自由（如矩形、椭圆形杆件）因约束扭转而引起的正应力极小，与自由 扭转并无太大差别。基于这个原因，我们在实际工作中处理具体问 扭转并无太大差别。基于这个原因，我们在实际工作中处理具体问 题时，应该划清主次。题时，应该划清主次。5、杆件扭转时，横截面边缘各点的剪应力情况与边界相切。、杆件扭转时，横截面边缘各点的剪应力情况与边界相切。对于矩形截面杆中的截面上的应力，如进行详细的理论 对于矩形截面杆中的截面上的应力，如进行详细的理论 分析不仅非常困难，而且还要用到其他方面的一些知

17、识，因 分析不仅非常困难，而且还要用到其他方面的一些知识，因 此，在这里我们就不加推导的直接的引用弹性力学的结果。此，在这里我们就不加推导的直接的引用弹性力学的结果。矩形截面杆扭转时，它的横截面上剪应力的分布情况大 矩形截面杆扭转时，它的横截面上剪应力的分布情况大 致如图所示，整个截面上的最大剪应力发生在矩形的长边的 致如图所示，整个截面上的最大剪应力发生在矩形的长边的 中点，短边上最大剪应力也发生在短边的中点。中点，短边上最大剪应力也发生在短边的中点。max 1 hb2maxhbT =max1 =二、矩形截面杆扭转时，截面上的应力、变形分析（由于正应 二、矩形截面杆扭转时，截面上的应力、变形

18、分析（由于正应 力很小，故只研究剪应力）力很小，故只研究剪应力）1、剪应力的计算：、剪应力的计算：max 长边中点的最大剪长边中点的最大剪应力 应力 式中系数式中系数 和和 都是与比值都是与比值h/b有关的系数。可以从表中查到。有关的系数。可以从表中查到。2、扭转角的计算：、扭转角的计算：同上一样，在这里我们也不加推导的直接应用弹性力学的 同上一样，在这里我们也不加推导的直接应用弹性力学的 结果：结果：nGITLhbGTL=3 式中：式中：3nhbGGI =抗扭刚度抗扭刚度 和和h/b有关，见表有关，见表 表 表 矩形截面杆扭转时的系数 矩形截面杆扭转时的系数 h/b 1.01.21.52.0

19、2.53.04.06.08.010.0 0.2080.2190.2310.2460.2580.2670.2820.2990.3070.3130.333 0.1410.1660.1960.2290.2490.2630.2810.2990.3070.3130.333 1.0000.9300.8580.7960.7670.7530.7450.7430.7430.7430.743 三、狭长矩形截面杆中的应力变形分析三、狭长矩形截面杆中的应力变形分析 狭长矩形：h/b10 时，这时，狭长矩形：h/b10 时，这时，31=用用 代b代入式得：代b代入式得：矩形截面矩形截面轴扭转轴扭转时时切应力的切应力的分

20、布特分布特点 点 矩形截面矩形截面轴扭转轴扭转时时切应力的切应力的分布特分布特点点 角点切应力等于零 角点切应力等于零 边缘各点切应力沿 边缘各点切应力沿 切线方向 切线方向 最大切应力 最大切应力 发生在 发生在 长边中点长边中点Tmax 1 maxpTW =3pWb =pTGI =4pIb =1max =2max31 hT=331 hGTL=分别计算两种截面杆最大切应力 圆杆：3max16dTWTP =()34040016mmmN =MPa9.31=矩形杆：32060=mmmmbh 查表：0.8013maxbT =()320801.0400mmmN =MPa4.62=分别计算两杆截面面积

21、圆杆：()221260440mmmmA=矩形杆：2212002060mmmmA=矩形截面面积与圆形面积相 近，但是最大切应力却增大 了近一倍，因此工程中应尽 量避免使用矩形截面杆作扭 转杆件。一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400Nm 作用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm20mm，试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。例题 例题 例题例题8 8?轴向拉压 扭 转 内力分量 内力分量 轴力F N 扭矩T 应力分布规律 应力分布规律 正应力均匀分布 切应力与距圆心 距离成正比分布 应力分量 强度条件 应力分量 AFN=PIT =maxmaxPWT 强度条件 =maxmaxAFNPWT=max 变形公式 EALFLN=PGITL=EAFN=PGIT=位移 截点或截面的线位移 截面的角位移 刚度条件 =EAFN =0180PGIT 应变能 EALFVN22=21=vPGILTV22=21=v