高中数学教学论文 线性规划题型一览.pdf

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1、线性规划问题中目标函数常见类型梳理 线性规划问题中目标函数常见类型梳理 线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。一 基本类型直线的截距型（或截距的相反数）一 基本类型直线的截距型（或截距的相反数）例 1.已知实数 x、y 满足约束条件0503xyxyx，24zxy则的最小值为（）A5 B-6 C10 D-10 分析：将目标函数变形可得124zyx，所求的目标函数的最小值即一组平行直线12yx by在经过可行域时

2、在 y 轴上的截距的最小值的 4 倍。解析：由实数 x、y 满足的约束条件，作可行域如图所示：-5 5 3 O LB A C yx 当一组平行直线 L 经过图中可行域三角形 ABC 区域的点 C 时，在 y 轴上的截距最小，又，故(3,3)C24zx的最小值为min2 34(3)6z ，答案选 B。点评：深刻地理解目标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。二 直线的斜率型 二 直线的斜率型 例 2.已知实数 x、y 满足不等式组2240 xyx,求函数31yzx的值域.解 析：所 给 的 不 等 式 组 表 示 圆224xy的 右 半 圆(含 边 界)，用心 爱心 专心 1

3、31yzx可理解为过定点，斜率为的直线族则问题的几何意义为：求过半圆域上任一点与点(1,3)P Pz22xy4(0)x(1,3)的直线斜率的最大、最小值由图知，过点和点的直线斜率最大，P(0,2A)max2(50(3)1)z 过点所作半圆的切线的斜率最小 设切点为P(,)B a b，则过 B 点的切线方程为4axby又 B 在半圆周上，P 在切线上，则有解 得22abab 434235665 6ab因 此minz2 633。综 上 可 知 函 数 的 值 域 为2 6,53 三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）例 3.已 知 实 数 x、y 满

4、足10101xyxyy ，则22448wxyxy2的 最 值 为_.解析：目标函数，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数 x、y 所满足的不等式组作可行域如图所示：222448(2)(2)wxyxyxy-2 2 O y x（-1，-3）-2 用心 爱心 专心 2-1 1 1 O C B A-1 x+y-1=0（2，2）y x 可行域为图中ABC?内部（包括边界），易求 B（-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点 B 的距离为其到可行域内点的最大值，22max(22)(1 2)25w ；点(2,2)到直线x+y-1=0 的距离为其到可行域内点的最小值，min|22 1|3

5、222w。四 点到直线的距离型 四 点到直线的距离型 例 4.已知实数 x、y 满足2221,42xyuxyx求y5的最小值。解析：目标函数222242(2)(1)uxyxyxy，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减 5。由实数 x、y 所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方）：点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线 2x+y=1 的距离，由点到直线的距离公式可求得|2(2)1 1|4 555d，故 21695555d 000 同步训练：已知实数 x、y 满足222433xyxyxy,则目标函数22zxy的最大值是_。答案：13；五 变换问题研究目标函数 五

6、变换问题研究目标函数(-2,1)1 12 O y x2x+y=1 用心 爱心 专心 3例 5.（山东潍坊 08 届高三）已知，且axyxxy2yxz 2的最大值是最小值的 3 倍，则a等于（）A31或 3 B31 C52或 2 D52 解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，准确画图找到可行域是关键.如图所示，Ayxz在 2 点和B点分别取得最小值和最大值.由),(?a?aAxyax得，由得 yxyx2B(1，1).a?z?z3,3minmax.由题意 得.31?故答案 B。a 六 综合导数、函数知识类 六 综合导数、函数知识类 例 6.（山东省日照市 2008 届高三第一次调研）已知函数

7、，部分对应值如下表，),2)(的定义域为xf)()(xfxf为的导函数，函数)(xfy的图象如右图所示.若两正数 a，b满足331)ab，则2(baf的取值范围是（）x 2 0 4 )(xf1 1 1 A)34,76(B),(3753 C)56,(D32)3,(31分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找到原函数的基本性质，将其与所给的函数性质联系起来。由导函数的图象可知，原函数在区间-2,0为单调递减函数，在区间（0，）为单调递增函数。结合题中提供的函数的数据可得422ba，另外注意到用心 爱心 专心 433ab的几何意义，转化为线性规划问题可求解。解析解析：由导函数的图象可知，原函数

8、在区间-2,0为单调递减函数，在区间（0，）为单调递增函数，又1)4(,1)0(,1)2(fff，故422ba，而均为正数，可得可行域如图，ba,用心 爱心 专心 533ab的几何意义是可行域内的点和（-3，-3）连线的斜率的取值范围，故最大为点（0，4），此时为373034，最小为点（2，0），此时为533230，所以答案 B.如果实数满足条件：，则,a b20101abbaa 22abab的最大值是_.补充：1.如果实数a满足条件：,b20101abbaa，则22abab的最大值是 2.已知 O 是坐标原点，AP满足(2,1),(,)x y043352510 xyxyx，求|cosOPAOP 的最大值。(-3,-3)4 2 Oyx