极限分析有限元法讲座Ⅲ——增量加载有限元法求解地基.pdf

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1、第 2 6 卷第 3 期 2 0 0 5 年 3月 岩 土 力 学 Ro c k a n d S o i l Me c h a n i c s V lo l-2 6 No 3 Ma r 2 0 0 5 文章编号：1 0 0 0-7 5 9 8 一(2 0 Ho 5)0 3 0 5 o o 一0 5 极限分析有限元法讲座 增量加载有限元法求解地基极限承载力 邓楚键，孔位学，郑颖人(后勤工程学院 土木_ I=程系，重庆 4 0 0 0 4 1)摘要：利用有限元法，通过增量加载的方式来求解地基极限承载力。随着荷载的逐渐增加，地基由初始的线性弹性状态逐 渐过渡到塑性流动的极限破坏状态，此时有限元的计算

2、将不收敛。它不但可以获得地基的极限荷载的值及荷载一 位移关系，而且还能得到经典极限分析法中所采用到的破坏机构。当采用关联流动法则或采用剪胀角为 2的非关联流动法则时，获得 的破坏机构与 P r a n d t l 的破坏机构一样。对 P r a n d t l 解的经典算例进行 了分析，结果表明：屈服准则的选用对计算结果 的影响 很大，选择与实际问题相匹配的屈服准则方能得到比较精确的结果。在求解平面应变 问题时，在关联流动法则条件下，采用 Mo h r C o u l o m b内切圆屈服准则，或在非关联流动法则下采用 Mo h r C o u l o m b匹配 D P准则所得结果与 P r

3、 a n d t l 精确解极为接 近，可望应用于实际工程分析中。关键词：地基极限承载力；有限元；增量加载；屈服准则；平面应变：关联流动法则：非关联流动法则 中图分类号：T u 4 l；T u 4 3 文献标识码：A Ana l y s i s o f u l t i m a t e b e a r i n g c a pa c i t y o f f o u nd a t i o ns b y e l a s t o p l a s t i c FEM t h r o ug h s t e p l o a d i ng D E N G C h u-j i a n，K O N G We i-x

4、 u e，Z H E N G Y i n g-r e n (De p a r t me n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g，L o g i s t i c E n g i n e e r i n g Un i v e r s i t y,C h o n g q i n g 4 0 0 0 4 1，Ch i n a)Abs t r a c t：Th e u l t i ma t e b e a tin g c a p a c i t y o f f o u n d a t i o n s i s a n a l y z e d b y e l a s

5、t o p l a s t i c F EM t h r o u g h s t e p l oa d i n g、As t h e l o a d s i n c r e a s e，t h e f o u n d a t i o n s t a t u s c ha n g e s f r o m e l a s t i c i t y t o p l a s t i c i t y g r a d u a l l y，a n d fi na l l y t h e n u me ric al n o n c o n v e r g e n c e o c c u r s Th e s o

6、 l u t i o n o f a c l a s s i c a l P r a n d t l e x a mp l e s h o ws t h a t d i ffe r e n t y i e l d c ri t e rio n s a ffe c t t h e r e s u l t s g r e a t l y；a n d o n l y t h e u s e o f t h e p r o p e r y i e l d c rit e ri o n c a n l e a d t o t h e p r e c i s e r e s u l t s Un d e

7、r p l a n e s t r a i n c on d i t i o n，t h e b e s t s o l u t i o n C a l l b e o b t a i n e d wh i l e M o h r Co u l o mb i n s i d e tan g e n t c i r c l e y i e l d c rit e rio n a n d a s s o c i a t e d flo w r u l e，o r M o h r Co u l o mb ma t c h e d D P y i e l d c ri t e rio n a n d

8、a s s o c i a t e d flo w rul e a r e u s e d；a n d i t c a n b e a p p l i e d t o t h e a n aly s i s o f p r a c t i c a l e n g i n e e rin g Ke y wo r ds：u l t i ma t e b e a r i n g c a p a c i t y o f f o u n d a t i o n s；s t e p l o a d i n g；F EM；y i e l d c rit e rio n；p l a n e s t r a i

9、 n；a s s o c i a t e d fl o w rul e；n o n a s s o c i a t e d flo w rul e l 引 言 地基极限承载力的求解是经典的土力学问题，目前，常用 的计算方法仍然是基于 P r a n d t l 解的各种 经验修正公式。对于边界条件、荷载条件 比较简单、材料均匀等比较理想的受力物体，这些常用的方法 能够获得 比较理想的结果。然而在实际工程中，边 界条件、荷载条件比较复杂，再加之材料的非均质 性等，依靠传统的计算方法很难得到可靠的解答。随着岩土理论、现代计算技术及计算机软、硬件的 飞速发展，有限元法的计算精度得到很大程度的改 善，

10、耗费的计算机时也大为缩减，有限元的计算软 件 日臻成熟。这些都为有限元法在地基极限分析中 的应用提供 了有力的支持。本文提 出了用增量加载 有限元法求解地基极限承载力的方法。2有限元模型的建立 2 1 增量加载 在工程实际中，岩土的破坏往往是一个渐进性 的破坏过程，岩土体是由初始的线性弹性状态逐渐 收稿日期：2 0 0 4-0 8，0 2 修改稿收到日期：2 0 0 4，0 9 1 2 作者简介：邓楚键，男，1 9 7 8年生，博士生，主要从事岩土工程稳 定性及其数值分析研究。E-ma i l：d e n g c h u j i a n 1 6 3 t o m 维普资讯 http:/ 第 3

11、期 邓楚键等：极限分析有限元法讲座I I I 增量加载有限元法求解地基极限承载力 5 0 1 过渡到塑性流动的极限破坏状态的。本文采用增量 加载的方式求解地基的极限承载力就是这一思路的 产物。随着荷载的逐步增加，岩土体 由弹性逐渐过 渡到塑性，最后达到极限状态，这时对应的荷载就 为所要求的极限荷载。在增量加载的过程中，还可 以追踪分析每一步加载后地基的状况。本文采用的 A NS Y S 有限元软件，通过 自动荷载步长(二分法)加载技术就可方便地实现这一加载求解过程。2 2 屈服准则的选用 极限承载力问题，实际上是强度问题，运用理 想弹塑性模型即可获得 比较精确的解答。但极限承 载力的大小与所选

12、用屈服准则密切相关。由于摩尔 库仑屈服准则可很好地描述大多数岩土材料的强度 特性，因此，本文与经典岩土极限分析法一样采用 摩尔 库仑屈服准则。即 F=，。s i n +(c o s 一 ，广-(1)1 s i n 0 s i n 0)4 J 2 一 c c o s 0=0 _j 式中，J，0 分别为应力张量的第一不变量、应力偏量的第二不变量和洛德(L o d e)角；C，分 别为岩土体的粘聚力和内摩擦角。由于莫尔 库仑准 则的屈服面为不规则的六角形截面的角锥体表面，存在尖顶和棱角，给有限元计算带来很大的不便。为此，前人对其做了大量的简化计算，其中基于广 义米赛斯准则的 D P 系列屈服准则包括

13、 以下几种(见图 1)：(1)Mo la r C o u l o mb外角点外接圆准则(DP 1)，(2)Mo la r C o u l o m b 内角点外接圆准则(D P 2)，(3)Mo la r-C o u l o m b内切圆准则(D P 3)，(4)Mo h r C o u l o m b等面积圆准则(D P 4)，(5)Mo h r C o u l o m b匹配 D P圆准则(DP 5)。由于它 们在 兀平面上是一系列的圆，这为数值计算提供了 极大方便，故在实际有限元计算中获得广泛的应用。其中 Mo h r C o u l o m b匹配 D P圆准则(D P 5)是在平 面应

14、变条件下，基于非关联流动法则推导出来的，而 Mo h r C o u l o mb内切圆准则(D P 3)是在平面应 变条件下基于关联流动法则推导出来的f2】，它们是 平面应变条件下精确匹配的 Mo h r C o u l o m b准则。本文中所用软件 A NS Y S采用的是广义米赛斯 准则，其通式为 _一 l+-，=k (2)式中，k为与C，有关的参数，不同的，k 在 兀平面上代表不同的圆(图 1)，变换，k 值就 可在有限元中实现 D P系列屈服准则，各准则的，k 见表 1。Mo h r-C o u l o m b 等面积 圆 DP4 Mo h r-Co u l o mb 准 则、M0

15、h r _ c0 u 1 0 mb ，外角点外接圆 DPl 一 一 ，、O 1 图 1 各屈服准则在 兀平面上的曲线 Fi g 1 Th e y i e l d s u r f a c e o n t he d e v i a t o r i c p l a n e 表 1 各准则参数换算表 Ta bl e 1 Co nv e r s i o n t a bl e o f c o m p u t i ng o a r a me t e r s f o r d i 置 jF e r e n t c r i t e r i a 3 算例分析 在 0 的情况下，有 q =(兀+2)c 光滑刚性条形地

16、基的极限承载力问题 的基本理 论基础源于 P r a n d l t 解，对一个承受均匀垂直荷载的 半无限、无重量地基，其极限承载力可以通过极限 分析求得其精确解为 吼=c c。t e xp tan tan c+詈 一 c3(4)这是一个典型的平面应变问题，考虑对称性，计算简图如图 2 所示。取 c=l O，=0。一 2 5。；lf，=0，(v，为膨胀角，当v，=时，为关联流动法则；v，时，为非关联流动法则)。采用三角形六节点二次单 元对计算区域进行 网格剖分(见图 3)。维普资讯 http:/ 5 0 2 岩 土 力 学 2 0 0 5钲 图2 计算简图 Fi g 2 Co mpu t a

17、t i o n mod e l 图 3有 限元剖分 Fi g 3 Fi ni t e e l e me n t me s h 3 1 极限荷载的求解 由图 1 及表 1 可知，屈服准则与有限元计算结 果是密切相关的。下面分别采用 Mo h r-C o u l o mb不 同简化准则(D P 1 D P 5)进行计算，其结果如表 2 和表 3所示。从上述两表中可 以看 出，Mo la r C o u l o mb不同 简化准则(DP 1 D P 5)对计算结果的影响是很大 的，其中采用 Mo h r-C o u l o m b外角点外接圆(D P 1)所得到结果误差最大，且随着 角的增大，结果失

18、 真得越严重；而在关联流动法则下，采用 Mo la r C o u l o mb 内切圆(DP 3)或在非关联流动法则下，采用 Mo h r C o u l o mb匹配 D P圆准则(D P 5)时，所 得结果最为精确。这是因为对于平面应变问题，在 关联流动法则下，Mo la r C o u l o mb 内切圆屈服准则(DP 3)与 Mo h r C o u l o m b精确匹配；在非关联流 动法则下，Mo h r C o u l o m b匹配 D P圆准则(D P 5)，与 Mo h r-C o u l o mb准则精确匹配l l j。特别是当：0。时，D P 1 的圆与 D P 2

19、的圆重合，D P 3的圆与 D P 5 的圆重合，因而它们此时的解也相 同。由上可见，求地基极限承载力时，对平面应变情况，只有采用 关联 流动 与非 关联 流动法 则(膨胀 角为零)的 Mo h r C o u l o mb匹配准则才能获得准确的计算结果。表 2 非关联流动法则下极限承载力计算结果(=O)T ab l e 2 The ul t i ma t e b e a r i n g c a pa c i t y un d e r n o n a s s o c i a t e d fl o w r u l e c o n d i t i o n(=0)注：P为相应 的 P r a n d

20、 t l 解，DP1 D P 5的计算结果是相对值。表 3 T a b l e 3 关联流动法则下极限承载力计算结果(=)Th e u l tima t e b e a r i n g c a p a c i t y u n d e r a s s oc i at e d fl o w r u l e c o n d i ti o n(=)3 2 地基破坏机构的分析求解 P r a n d t l 解是一个有着悠久历史的经典解，它根 据平衡条件与屈服条件求出了极限荷载，其破坏机 构如图 4 所示。根据应力边界条件和运动趋势基础(宽度为 B 0)以下的塑性区可以分为主动区、过渡 区和被动区三部分

21、。塑性区范围随着 内摩擦角 的 变化而变化，其主要几何特征参数如表 4所示。下 面分别应用 Mo la r C o u l o m b内切圆屈服准则(D P 3)与 Mo h r C o u l o m b匹配 D P圆准则(D P 5)对其破坏 机构进行求解。E 主动+霉、一 二 4 2 、被动 区4 2 I 、4-过渡区 A 、c 图 4 P r a n d t l破坏机构图 Fi g 4 P r a n d t l s ol u t i o n 维普资讯 http:/ 第 3期 邓楚键等：极限分析有限元法讲座T T I 增量加载有 限元法求解地基极限承载力 5 0 3 表 4 P r a

22、 n d t l破坏机构分析 Ta b l e 4 The a n a l y s i s o f Pr a n d fl s c l ut i o n 注：表中是以地基宽度为一个单位。当=0。时，Mo h r C o u l o m b 内切圆屈服准则(D P 3)与 Mo h r C o u l o mb匹配 D P圆准则(D P 5)是一致的。图5为=0。时求得的极限状态时地基 附近的破坏滑动面。图 6为相对应时的地基附近的 位移速度矢量图。此时所求得的地基底部塑性区深 度大致为 0 4 9 B o，竖向塑性区深度大致为 0 7 0 B o，水平向塑性区宽度大致为 0 9 8 B。，这些

23、与表 4的理 论解结果非常相近。表 5为不同 时应用 D P 3 准则 在关联流动法则下求得的破坏机构的某些特征参 数。表 6为不同 时应用 D P 5准则在非关联流动法 则(=0。)下求得的破坏机构的某些特征参数。图5 极限状态时地基附近的破坏滑动面 Fi g 5 The s l i p s u r f a c e u n de r l i mi t s t a t us 图6 极限状态时地基附近的位移矢量图 F i g 6 Th e d i s p l a c e me n t v e c t o r u nd e r l i mi t s tat u s 表 5 D P 3 准则在关联流

24、动法则下求得的破坏机构分析 T a b l e 5 T h e s o l u t i o n g o t u n d e r a s s o n a t e d fl o w r u l e(DP 3)注：表中以地基 宽度为一个单位。表 6 D P 5 准则在非关联流动法则下 求得的破坏机构分析(1；，=O)T ab l e 6 The s o l ut i o n u nd e r n o n a s s o n a t e d fl o w r u l e(DP 5)(=O)注：表中是以地 基宽度为一个单位。通过表 5、表 6与表 4的对 比可以看出：DP 3 准则在关联流动法则下求得

25、的破坏机构与 P r a n d t l 理论解的破坏机构非常一致。而 DP 5准则在非关联 流动法则下求得的破坏机构与 P r a n d t l理论解的破 坏机构相 比，竖向塑性区深度基本一致，水平塑性 区的宽度偏小，这是因为表 6中采用了膨胀角为零 的非关联流动法则，它要求速度矢量线与滑移线一 致而产生。文献【4】指 出，真实岩土位移速度矢量线 必与滑移线成 角，即膨胀角为，且此时体变为 Z 2 零。由此得到的破坏机构也与 P r a n d t l 理论解的破坏 机构一致。从图6 可以看 出，在=0。时，无论采用关联流 动法则或非关联流动法则，其被动区的位移矢量与 水平面的夹角为4 5

26、。，这一点与理论分析一致。表7 为采用关联与非关联流动法则情况下算得的被动区 速度矢量方 向夹角的有限元数值解(位移速度矢量 与水平面的夹角)。在关联流动法则下，被动区速度 矢量的方向随着 的变化而变化，其值为4 5。-I-，2 这是因为在关联流动法则情况下，滑移线与水平面 夹角为4 5。一 ，而滑移线与速度矢量成 角，这与 Z 采用关联流动法则情况下的 P r a n d t l 理论解一致。但 在非关联流动法则下，被动区速度场的方向不变，与水平面的夹角始终成 4 5。这与非关联流动法则 情况下的 P r a n d t l 理论解一致4】。显然，上述两种计 算结果不同，将会引起地基变形计算

27、的不同。表 7 P r a n d t l 破坏机构被动区速度场方向夹角的 有限元数值解 T a bl e 7 Th e F EM s o l u t i o n a n g l e o f Pr a n dt l 维普资讯 http:/ 岩 土 力 学 2 0 0 5笠 3-3 地基的荷载 位移响应曲线 在地基的增量加载过程中，随着荷载的逐渐施 加，地基顶部的位移也逐渐增大。当地基局部进入 塑性状态后，位移增大得越来越快。当地基处于极 限塑性状态时，位移将发生突变。表 8 为=0。时 用 Mo h r C o u l o m b 内切圆屈服准则(D P 3)求得的 地基顶部 中心 点处在增量

28、加载过程中的荷载 位移 关系。整个增量加载过程共 1 1 步，荷载增量的大小 是由 A N S Y S程序本身利用二分法选取的，当然这 也可以人为的定义。从表 8可以看出，随着荷载步 的增加，每步的荷载增量逐渐减小，特别是地基快 接近极限塑性状态时，荷载增量很小，然而位移的 增量越来越大。当地基处于极限塑性状态时(荷载 步第 1 0步后)，非常小的荷载增量(荷载步第 1 1 步)引起的位移增量却是急剧突变，位移突变标志 着地基土体 已呈流动状态向地面挤 出。图 7非常形 象地说明了在增量加载全过程中地基的荷载 位移 响应。计算表明，位移突变发生在计算不收敛时，由此可推断，位移突变与计算不收敛均

29、可作地基失 稳破坏的判据。表 8 地基在增量加载过程中的荷载 位移关系 T a b l e 8 Re l a t i o n s be t we e n l o a d s a n d di s p l a c e me n t s wh i l e t he l o a d s i n c r e a s e d 注：表中的位移值及荷载值均 为相对值。0 荷载 0 1 0 2 0 3 0 40 5 0 6 0 地基在增量加载全过程中的荷载 位移响应 Th e d i s p l a c e me n ts r e s p o n s e d u r i n g s t e p l o a d

30、i n g 4 结 语 在有限元法中采用增量加载的方式求解地基极 限承载力有着严格的理论依据，而且实施比较方便。它不但可 以获得地基 的极限荷载值及荷载 位移关 系全过程，而且还能得到经典极限分析法所能得到 的破坏机构。但值得注意的是，在计算过程中对于 屈服准则的选用要慎重，屈服准则的选择对计算结 果的影响很大，选择与实际问题相匹配的屈服准则 方能得到比较精确的结果。在求解平面应变 问题时，在关联流动法则条件下，采用 Mo h r C o u l o m b内切 圆 屈 服 准 则，或 在 非 关 联 流 动 法 则 下，采 用 Mo la r C o u l o m b匹配 D P准则所得结

31、果与 P r a n d t l 精 确解极为接近，可望应用于实际工程分析中。参 考 文 献 1】张鲁渝，时卫民，郑颖人 平面应变条件下土坡稳定有 限元分析 J】岩土工程学报，2 0 0 2，2 4(4)：4 8 7-4 9 0 ZHANG L u y u，S HI We i mi n，Z HENG Yi n g Fen Th e s l o p e s t a b i l i t y a n a l y s i s b y F E M u n d e r p l a n e s t r a i n c o n d i t i o n s J Ch i n e s e J o u r n a

32、l o f Ge t e e h n i e a l E n g i n e e r i n g，2 0 0 2，2 4(4)：48 7-4 9 0 2】郑颖人，沈珠江，龚晓南 广义塑性力学岩土塑性 力学原理 M】北京：中国建筑工业 出版社，2 0 0 2 3】赵 尚毅，郑颖人，时卫民等 用有 限元强度折减法求边 坡稳定安全系数 J】岩土工程学报，2 0 0 2，2 4(3)：3 4 3-3 4 6 ZHAO S h a n g y i，ZHENG Yi n g F e n，SHI We i mi n，e t a 1 An a l y s i s o n s a f e ty f a c t

33、o r o f s l o p e b y s t r e n g t h r e d u c t i o n F E M J Ch i n e s e J o u rna l of Ge o t e e h n i e a l E n g i n e e r i n g，2 0 0 2，2 4(3)：3 4 3-3 4 6 4】郑颖人，王敬林，朱小康 关于岩土材料滑移线理论中 速度解 的讨论 J】水利学报，2 0 0 1，(6)：l 一7 ZHENG Yi n g Fen，WANG J i n g l i n，ZHU Xi a o k a n g Di s c u s s i o n o n v e l o c i t y s o l ut i o n o f s l i p l i n e t h e o r y f o r g e o t e c h n i c a l ma t e r i a l s J J o u rn a l of Hy d r a u l i c En g i n e e rin g，2 0 0 1，(6)：1-7 5 0 5 7 图 廿 F 维普资讯 http:/