化工系统工程讲座_六_.pdf

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1、?年化学工程第!期化 工系统工程讲座六#梁玉衡化工部化工机械研究院第四讲化工过程系统最优化的数学模型#%&典型化 工过程的数学模型仁,“一“。?#流体流动过程的数学 模型从广义来 说,流体流动 包括液体和气体的流动状态。液体和气体不同,前者是不可压缩流体,后者可则是 压缩 流体。流体流 动的数学模 型要描述包括 有输送、贮存,混合、分解等操作的流动 系统的特性,因此它将会涉及到泵、鼓风机、压缩机、输送管道、阀门等单元 设备的动态方程。但在推导流体流动过程的动态方程时,主要涉及物 料平衡关系。对于长输送管线构成 的流动系 统要用分布参数模型 描述它的特性,对于 其它的一些情 况则可用集中参数模型

2、表示。流体流动 过程的数学模型的具体形式按不同具体过程而异。现以化工中最 常见的多级过程流体流动系统为例,推导它的普遍 的数学 模型。如图%一所示,假定 流体流经 多级设备多级 设备可以是多级反应槽 或多级塔板,它是涉及反应、分离操作的一类典型设备#时有物流返混、物流短路,在每一级中物流分为两个部分(主 流体和相对于主 流体的局部滞 止 流体,并且在 主流体和局部滞止流体之 间有物质的 交换。)万万多多,军军军心心丸丸丸丸人人公公公公节节节协协蟹蟹蟹蟹蓬蓬蓬嘎嘎王王王王王王一飞飞变变,心残石石图%一?多级过程装 中的流体流动分别对?,+,各级作物料平 衡,经简化后得下述 描述物流在多级 过程装

3、量中流动特性的动态数学模型(小(.争小/0子123#2?23#日一?23#4日56。一243#2?23#日56,272356(2?23#甲56,),二?片3#日56,一?23#?一#日56。一?23#856了一9 一?年化学工程第!期化 工系统工程讲座六#梁玉衡化工部化工机械研究院第四讲化工过程系统最优化的数学模型#%&典型化 工过程的数学模型仁,“一“。?#流体流动过程的数学 模型从广义来 说,流体流动 包括液体和气体的流动状态。液体和气体不同,前者是不可压缩流体,后者可则是 压缩 流体。流体流 动的数学模 型要描述包括 有输送、贮存,混合、分解等操作的流动 系统的特性,因此它将会涉及到泵、

4、鼓风机、压缩机、输送管道、阀门等单元 设备的动态方程。但在推导流体流动过程的动态方程时,主要涉及物 料平衡关系。对于长输送管线构成 的流动系 统要用分布参数模型 描述它的特性,对于 其它的一些情 况则可用集中参数模型表示。流体流动 过程的数学模型的具体形式按不同具体过程而异。现以化工中最 常见的多级过程流体流动系统为例,推导它的普遍 的数学 模型。如图%一所示,假定 流体流经 多级设备多级 设备可以是多级反应槽 或多级塔板,它是涉及反应、分离操作的一类典型设备#时有物流返混、物流短路,在每一级中物流分为两个部分(主 流体和相对于主 流体的局部滞 止 流体,并且在 主流体和局部滞止流体之 间有物

5、质的 交换。)万万多多,军军军心心丸丸丸丸人人公公公公节节节协协蟹蟹蟹蟹蓬蓬蓬嘎嘎王王王王王王一飞飞变变,心残石石图%一?多级过程装 中的流体流动分别对?,+,各级作物料平 衡,经简化后得下述 描述物流在多级 过程装量中流动特性的动态数学模型(小(.争小/0子123#2?23#日一?23#4日56。一243#2?23#日56,272356(2?23#甲56,),二?片3#日56,一?23#?一#日56。一?23#856了一9 一能量平衡,分别求得管内流体,管壁的传热动态模 型(卫二2。卫二:;6?,一,#卫(?,6。(一,(#生卫里2趁?(:6%一%9#4(?,(,(一,(#了们,肖片越浑户/

6、泳少#换热艺微元体积图%一?!单管传热过程互5土!干:9(?:(6%一%9#式左侧第二项均为“2”时,则表示并流,第二式 的第二项为“一”时,则表示逆流。双程并 流一逆流逆流一并流#间接换热绝时,即 管内物流在 入口侧为并流,出口侧为逆流。为了简化计算,下文以英文字母=、?表示并、逆流的组合情况,令并流一逆流用=一?表示,逆流一并流用?一=表示。,(。一&#),(,一,&,#、?,(一?,(%#竺旦二、2卫丝1;96(一?(一&二,?(一,#2?,(一&(#、&?)月三程并流一逆流&?一并流=一?一=及?一=一?#间接换热时,2旺:6)?一?(一一?&,一&(#卫丝干卫二1:(一,(#%一%#

7、卫二丝士卫里丝&一,(#一一;五。十几二:6。?。,一,#,。、8,五仄衷匆万、,一不不&#厄万 丁、“一3四程=一?一=一?或?一=一?一=间接换热时,:,:,(:,?:6:,(6:,:6?+、(?,一(#(一,(#卫里,二十一兰竺一一,一“#?二%一%?#卫工达干卫丝二(,?;?;(一#(一(#2,(一(#2,一3#&2(一(#一一拟 ,一2尔盯 一为如果考虑到管 壁及 壳体热容量,或者有流体混合管内或壳方或两侧都有流体混合#的情祝,动态数学模型可按同样方法导出。利用这些模型,可讨论传热过程的静态特性、动态特性和控制性能。、王述式中(一。在式%一%?#,式%一%#中表示壳方的截面 积,&表

8、示管内的截面 积,+1+,!,%式%一%9#中的(表示壳方截面积,式%一%#表示壳方截面积,?二相应物料流 的比热,传热面积,传热 系数,相应物料流的流速。,相应物料流的温度,时间变量,6轴向距离。#传质过程的数学模型传质过程包括 了精馏、吸 收,萃取等单元操作。传质过程服从分子扩散定律,与热传导现象十分类似。以多组分非理想精馏操作为例 写出其动态数学模型。为此引入下述假定(?塔板上液相完全混合和不可压缩。?忽略塔板上的汽相滞留量。汽液两相处于热平 衡,莫夫里汽相效率用 于描述与平衡的偏离。第!块塔板上第 个组分的莫夫里汽相效率为#。,一梦一,一二葵止一%一&()%+云,奋一+五一玄式中+誉,

9、为第!块塔板上与液相组成.。相平衡的汽相组成协+。(%为离开第!块塔 板的实际汽相组成,+百一、,/为进 入 第!块塔板的实际汽相组成。精馏动态摸型包括塔板、冷凝器 和再 沸器 三部分的 动态 模型,如图一0 1 所 示。现介绍如下2凡凡 卜产产&3%第!块塔板图一01多组分非理想箱馏操作一40一。鉴鉴 兀兀若若岑岑双双,向向户户一、口口口牛牛封封封,卜卜矛矛矛矛丈丈丈丈垮垮、尽尽、生生生生生偏广妙#冷凝器系统图%一?多组分 非 理 想 精 绍 操作。第块塔板 的动态模 型总 的连续性方程为。乙,(一#再沸器系统/二一吕二二七/组分连 续性方程为。2,2含2了一(2.。(一.。一5。一二%一?

10、#/5八?;。/#15二2,6二十,2合6万一2万一(&0万,2.。,0。(,一.。0。一5。6(一。6。%一!#能量方程为/丽?.#15二十,。十,2合万2荟一)犷一(2.二一,二一,一.二。一5,。%一#相 平衡方程为0士+136。,热物理特性为。136+二二30。翌136育,忿130轰运 动方程式为液相(=。,。#&。,压力降系数。%一%#一户冷凝器钓动态模型工艺物料侧(.,152.%一#.,0,&,156,2.0,8二=,一3.、,0,#?二。?一 入。#,.,15。2.?2。0。并36。,=。,?#亡%一?#续一9#%一9?#%一9!#%一9#%一9%#、产,、少,乃皿 5。汽 相(

11、.二或写成式中(二3。,.。,6。%一9#、管材金属(3=。,=。(,0。,。#=。一,一=。杯几。,#冷却水侧(盛一9#一!一.8?万/(一几(#一2 一#13#。&回流液贮槽 的动态模型汽相(%一99#一;一。#%一?#%一9#蒸汽侧(./=/二一%一!#/答/。一、(#入%一#.一 _%一9#/,、二、,一石二气)90;#/七一.0。+一_0_%一9?#若_0.若=;3=_#%一#%一?#式中若为回流槽中 汽相 的克分子数.乙 为回流槽中汽相的体积。液相(/_/5一_5一%一!#/,、,气节/56?_“2#6_%一#/,飞二,气土竹#/一?5。一_“2#。_“3_#/&再佛 器的动态模型

12、工艺物料侧(%一%#%一#(一3,8。#%一%#=二3(8#%一#。一了=。一=。%一 9#上述各式中的符号,除个别注 明外,其他与一般化工原理 教 科书用 的符号湘同,在此不再作注释了。以 上是对不连续接触的传质 过程写出的动态 模型。对 于连续接触的传质过程的动态模型一也可用 同样方法写出,只是对连续接触部分 的动态 模型要用 偏 微分方程表示。%#化 学反应过程的数学模型化学反应 过程的数学模型亦随化学反应器的结构型如釜式、管式、床式固定床或流 化床等#和反应进行状态如等温,绝热,不等温等#有关,它涉及反应动力学、过程动力学等方面 问题。建立不等温槽式反应 器系统的数学模型,如图%一?%

13、所示,考察一个温度随时 间/5一.一%一 9#易杨;/,、二、,、(。一琴一。6#5(6一.0。一。,/%一#/,、二,、,、(,_,一生#(几一(#%一#0,36。,。,=#%一?#3#%一#管材金属(寿寿寿一一 卜 一 公口图%一拼不等温检式反应器系统一一变化的槽式反应器系统。在一个完全混合 的反应釜中进行不可逆放热反应,假定对反应物而言为阶反应,反应热为入,忽略热损失和假定密度为常数,其它符号如图所示。对于夹套内冷却水为完全混合,并且不考虑器壁金属的热惯性。工艺物料温度为#和冷却水温度为#之 间的传热方程式(1。一,#%一#饭中(传热量,。总的传热系数少传热面积。由于反应器 的传热面积

14、随反应器滞留量变化,反应系统的数学模型如下(反应器总 的连续性方程(反应器 夹套的能量方程式(、(。/,。,。、&=了丁与了一丁二一1=七叹?了。一+#2/2一#%一?#;2。二!入式%一?#的,则可得出(8.?/二8)?。一。二#2/.。一一1。一/%一#2一了人#%一?,#或者把夹套体积分成若干个完全混合的单元体积,分别列出每个单元体积 的能量方程(反应器组分的连续性方程(?(。/3,。一勺)8一一一一1七了8了,一/,(。、。万石、切少一。场 一七一6。一+#雀一?,一(#、。,7一七元。”8欠一顶至!%一巧,#反应 器的能量方程式(。/,、二。、。,一一,一#一;&一一#%一?#。)。

15、一,#几一?几一?/一/一,以内表面计算的传热面积以外表 面计算的传热面积,器壁温度。比很明显,上述动态模型中有一些是非线性方程,如式%一?#和%一?#,若采一%一用前述的线性化处理方法,不难导出一个简单的线性动态 模型(卫兰一 622%一。%#日十式中(6表示过程变量?,的状态向量表示过程可控变量,的控制向量表示过程不可控变量 的干扰向量,?由不同参数构成向量。比一顶寸 于 固定床反应器、流 化床反应器的动态模型,原则上可用 同样方法导出,由于基本的物理、化 学的假定的不同,这些过程通常 妥考虑径向、轴向的浓度和温度 的分布,其边界条件又 多属第二类或第三 类 边值 问题,它 的数学模型要复

16、杂得多,对于这一类反应器 的动态 模型的建立、简化及对其静态特性、动态特性和稳定性问题,文献已作了详细的讨论,在此从略。应该 指 出,用数学模型描述化工过程系统,在某些情 况下还存在不少问题和困难,且醚丝望些堂燮些些鲤里窦继咚燮,特别是当三茎些业进丝圭里些,旦程及设备革新之 后,数学模型随之也发生很天勤打面赢定与硒蔽舔爵爵丽数学模型乃是一件困难的工作。较准则,也就是过程系统最优化要达到的目标的数学表达 式,它是状态变量、操作变量的标量函数。用 最优化方法确定过程和设备的最优条件,首先要求在任意两组条件之 间可以比较优劣,而优劣的判别标准是由最优化所要达到 的目标决定的,人们在实际设计、操作中也

17、是以这些指标作基础,对实际过程或设备的运行状态作出改变控制的决策。目标函数的形式视过程系统的具体要求而定,它的函数结构没有统一的形式,一般由设计人员根据具体要求构造具体的函数结构形式。例如对 化工过程和设备的目标可以选用(?化工系统的原料、产品利用率 最高,?化工系统的产量最大,经济收益 最大(化工系统的操作尽可能减少空间及时间的 浪费,降低空转 消耗损失,减少 系统的能 量消耗,5在保证化工系统设备安全的条件下,最合理、最有效地发挥各单元过程和设备的效能,使过程处于最优状态下运行,使过程成本最低(6对 于一些大型装量,由于产量和产值都是一个很大的数值,所以确定目标函数时往往要综合分析工艺、能

18、耗指标,或者要求操作周期最长。在化工过程系统最优化设计中,有两种目标函数的基本形式。0。以过程系统或设备特性表示的目标函数它的一般形式如下#7一8#,盆,“,兰、最优化的目标函数9:,4,川最优化的 目标函数又 称性能 指标、评价函数、费用函数或代价函数。最优化的目标函数是指事先对过程或设备规定的最优化比一;,&一。)%,叮式杯.状态变量,?控 制变量(.、?的连续函数,或者称为消耗函数,它是一个标量函数。具体来说,目标函数又可表示为各种形式#砂,一4)一之?#使消耗函数3二,#在过程进行的整个时间 区间的 积分为最大值或最小值#,耳8,一(。“、,#,、二#,一(。“,#/、一#!#使消耗函

19、数3 6,#在过程进行的终止时 间的数值为最大值或最小值#,即、刀矛门了:口一住矛&、&口,&、&性&声136(#,(#一一36。#,。#一势 6+#或1?6#一6。#一6+#使过程的控制时间最小,即所谓最速作用。一(。“砷%一?#!&涉及过程系统经济收益的这一类目标函数在 过程系统最优化计算中经常遇到,它的一般形式如下(收益1收入一支出%田?#它的具体函数形式与过 程系统的物料衡算、能量衡算、设备计算、技术经济计算密切相关。一旦确定了 目标函数,就必 须把它与过程系统的工艺 和设备以及能耗等参数联系起来,&合理 地确定过程系统的 目标函数的形式是一件颇为麻烦的工作,一般来说,目标函数不是状态

20、变量和控制变量 的一个简单 的显函数式,而往往是某个函数的函数,即是一个求解泛函数的问题,求目标函数的 最大或最小#值实质上也就是求泛函数的极值问题。在确定过程系统的目标函数时应该注意下述几点(?一冷过程系统的不同目标之间不是孤立的。?当过程系统最 优化目标函数不止一个目标时,在大多数情况下,或者突出主要目标,或者设法把多个目标化为一个目标的问题。对于 相互矛盾的目标则只好放弃其中次要的目标或按两个目标的折中办法处理。目标函数与操作变量、状态变量有一定的内在联系,必须尽可能求得它们之间 的显函数的关系。有些目标函数可由数学模型直接求出,而有些 目标函数需要从技术经济指标进行综合 分析才能得到

21、结果。5目标函数中的自变量有些可能是连续的,有些可能是阶跃变化的。在选择 目标函数的变量时应尽可能减少变量,舍去对目标函数影响不大的变量 或者用 平均值代替某些变量 的数值,此外还要考虑到传统的习惯、实际的需要,这样就可以使目标函数比较直 观、简单、容易接受,以提高最优设计的计算速 度和质量。6尽可能将过程系统构成一个序贯的多级决策的过程。目标函数实质是一个经过 综合分析后确定的技术经济指标,因此与不同国家、不同的时期 的技术经济政策有关。例0反应装置的 目标函数反应装置的流程如图一0)所示。在管式反应器中进行吸热气相 催化反应。将原料裂解为产物和。催化剂随使用 时间的增长逐渐 失活。为达到某

22、个最优化指标,对反应器 的操作条件应 如何控制催化剂更换周期多长最经济乙&,一,蒸刹兰座兰幸坦里洲撑图一巧反应装置简图设反应器进料的转化率为.,未经 裂解的 循环物料&0一.%,从蒸馏塔底抽出裂声渡物,8反应其它符 号意义如下#物的新鲜进料量,一4:一#?,一。#26约束条件为(%二?#65裂解为及的转化率,裂解产物的量?一6#未反应的物料的循 环量输入反 应器的热量反应器的进料温 度,反应器的 出料温度反应产物的平均比热多裂解反应 热装入 新鲜催化剂后到计算时为止,经反应器 的累积流 量,也称催化剂寿命,用它表示系统的状 态,更换一次催 化剂的费用。反应转化率用多项 式表示(,一4一%一?#

23、6;+。6提6。二二。成簇二,二。镇簇,&二%二?%#式中的?、。为常数。一累积流量为(%一?#,艺+?一一由物料平衡得出6%一?!#由能量平衡得出目标函数用 单位时间内运转的收益函数表示(16.(一.(一.(一一?一6#.一.。%一?#式中.。分别为裂解产物、原料、燃料、蒸馏塔操作及 其他 固定费用 的价格。将式%一?#%一?%#代入式%?#,得出1)一(一#6欠.一.(一.(2.#一一?,一。#.一.一.。%一?9#以后在 动态 规划一节#将会着到,应用 动态 规 划的最优化原理,上述求收益函数最大的 问题可以转 化为一个序贯的多级决策过程,如果用3,#表示最大收益函数,可表示为(,#一界

24、 梦钾于釜一.4一?8一。#2.一?一6#.一.。23卜,2#一23,(#%?#上式大括号中上边一个式子表 示在第一个单位时间 为生产 操作时 的最大收益,下边一个式子表示在第一个单 位时间为更换催化剂时的最大收益,而最大收益函数3,#应取二者的最大值。式中,为决策 问题的级数。关于式%一?#的推导将在最优化方法动态 规划一节给出。例!氨合成塔的目标函数氨合成塔的收益函数主要由氨产值、原料气成本、合成塔成本等三部分构成为简化计算略去其它的成本因素#。当合成压力固定以 后,氨产值为原料气组成。和合成塔内的反应温度,的函数,用.,。,#表示,当合成压力和原料气组成一定时,原料气的成本为原料气进口温

25、度4的函数,用.(4#表示合成塔的成本为合成塔高 度(的 函数,用.#表示。由此,总的 收益函数用下式表示(.(。,6#一.(4#一.#%一?#分别将.(,.(,.(与有关的工艺参数关联,可得下述各函数式(一 一.;,入一#.(4#.。#1?。(。6(#一 空#,?二一卜一十(,。;#2!。;#一6。#,?1?,(3。4#一度#,?22?#苍_%千?#%一?#%?#式中(、#无因次变量其中度,(一石一氮气流量,犷式中(表示无 因次 长,4(,)?人一?。(;,?;(#(14(,)?人。1?8(。,?1一(?人勺,(22?,(。,(?3 宝#反应器顶部的总流量一工(。1?,(,(?3。二 _“(

26、,?,_成本计算系数?人氨的价格,?能量 的价格3换算系数。一育万砂%一?#%一#代入式%一?#并化 简得氨合成塔的目标函数(所谓约束条件是求目标函数最优解的限制 因素,它 是综 合考虑了当前技术水平及过程特性的各种制约关系以 后,对过程的每个限制 因素所作的折 中。在工程实践巾,可以看到每一个最优化的 目标都受 到各种条件的限制,超出了这些限制,不但不 能找出目标函数的最优解,甚至会破坏操作,造成极大损失。例如一个包括有热交换器 的反应装置,它的 目标函数可用下式表示(1=;(.;。9十=。6一;“2=;6一?%一?#厂贾角6表示反应物的转化率,.为反应器体积,为反应器 的操作温度,=;=。

27、(分别为反应器、换热 器、反应器的操作的成本系数。一如某伺题提理乏甚如不 不 选择刁丁.乒二,一2%#一(。#2;(#一一6(#一。十,6#告%一?!#的数值,以使反应装置的总成本最小,即求目标函数的最 小值,但是 在求今+时,/,.,6,受到一系列条件的限制,如一 一,、&厂,、长”=又一前#一笠“8又一及节夕43(/,6,#=/“6一忿崔?3(/,6,#=(,/一46一,2=,/一4成+3。/,.#=,(./一?3#一=)?3您6,#=9?62=。(一=6?3了6,#=。,6 2=。(一=。(6?放热反应#吸热反应#。.,#一8。(.一了(,#/一%二?%#式中的=二,分别表示各种条件的换

28、算系数。由上述例子可以着出,目标函数的约束条件具有以下特性(?目标函数的约束条件除了受过程和设备自身的特性限制以外,还往往受到与它相关的其他单元的特性限制。?目标函数的约束条件可用一个数值表示,也可用一个&或一组%函数式表示。有两种类型的约束条件。等式约束茶件(&义#,义,.。%&一0 0)%不等式约束条件0&.#,.,.。%奢&一00:%由于 目标函数受到不同的约束条件的限制,所以增加了求目标函数的最优解的困难。在进行最优化计算时,要求对目标函数的约束条件先作处理,然后再进行最优化计算。约束条件处理的一般原则有#将有等式约束条件的目标函数的最优化问题转换为无约束条件的目标函数的最优化问题(对有不等式约束条件的目标函数的最优化问题,首先要求将不等式约束条件转换为等式约束条件,其次再将有等式约束条件的目标函数的最优化问题转换为无 约束条件的 目标函数的最优化问题。处理约束条件的方法,可视具体情况采用直接消去法、拉格朗 日待定因子法、约束变分法、雅可比法、罚函数法、松驰变量法等。这些方法将在最优化方法有关章节中详细叙述。5约束条件不是固定不变的,随着技术水平提高,采用新工艺、新设备、新材料,有可能突破原有约束条件的限制。