高等数学学习方法(FIC)系列讲座9曲线、曲面积分.pdf

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1、哈尔滨工程大学理学院，卜长江高等数学学习方法高等数学学习方法(FIC)系列讲座系列讲座9:曲线、曲面积分计算方法曲线、曲面积分计算方法卜长江卜长江Email:Tel:82519384（O）哈尔滨工程大学理学院应用数学系）哈尔滨工程大学理学院应用数学系2009.5.15哈尔滨工程大学理学院，卜长江高等数学学习方法系列讲座高等数学学习方法系列讲座 序 号课程名称 时 间 地 点 序 号课程名称 时 间 地 点 1 多元函数微分法多元函数微分法 2009-3-27 第四周（周五）第四周（周五）18：3020：30 逸逸 04 2 多元微分典型习题解析多元微分典型习题解析 2009-3-31 第五周（

2、周二）第五周（周二）18:3020:30 逸逸 04 3 重积分计算方法探究重积分计算方法探究 2009-4-10 第六周（周五）第六周（周五）18:3020:30 逸逸 04 4 重积分典型习题解析重积分典型习题解析 2009-4-14 第七周（周二）第七周（周二）18:3020:30 逸逸 04 5 曲线与曲面积分技巧讲解曲线与曲面积分技巧讲解 2009-5-15 第十周（周五）第十周（周五）18:3020:30 逸逸 04 6 曲线与曲面积分习题精解曲线与曲面积分习题精解 2009-5-19 第十一周（周二）第十一周（周二）18:3020:30 逸逸 04 7 无穷级数知识点解析无穷级数

3、知识点解析 2009-5-29 第十三周（周五）第十三周（周五）18:3020:30 逸逸 04 8 无穷级数典型习题解析无穷级数典型习题解析 2009-6-2 第十四周（周二）第十四周（周二）18:3020:30 逸逸 04 9 微分方程求解方法微分方程求解方法 2009-6-26 第十七周（周五）第十七周（周五）18:3020:30 逸逸 04 10 微分方程典型习题解析微分方程典型习题解析 2009-6-30 第十八周（周二）第十八周（周二）18:3020:30 逸逸 04 11 高等数学期末复习方法高等数学期末复习方法 2009-7-10 第十九周（周五）第十九周（周五）18:3020

4、:30 逸逸 04 12 期末重点试题解析期末重点试题解析 2009-7-14 第二十周（周二）第二十周（周二）18：30-20：30 逸逸 04 哈尔滨工程大学理学院，卜长江高等数学高等数学FIC学习方法学习方法F：基础（基础知识，主要内容、问题）；I：思想（问题的核心、本质、体系）；C：分类解题（将数学问题分为若干类，研究每 一类问题的解法，对每一类问题用对应的方 法处理）。F：基础（基础知识，主要内容、问题）；I：思想（问题的核心、本质、体系）；C：分类解题（将数学问题分为若干类，研究每 一类问题的解法，对每一类问题用对应的方 法处理）。哈尔滨工程大学理学院，卜长江曲线积分 曲线积分 一

5、、第一型曲线积分一、第一型曲线积分Lfds 计算方法 1.用性质化简计算方法 1.用性质化简L对称性轮换性被积函数定义在曲线 的方程上对称性轮换性被积函数定义在曲线 的方程上 2.参数方程 2.参数方程:(),(),(),.L xx tyy tzz t t =(,)Lf x y z ds 222(),(),()()()()f x ty tz txtytzt dt =+=+哈尔滨工程大学理学院，卜长江例 例 2(21)LIxyds=+=+?,其中,其中22:1L xy+=解 方法 1：解 方法 1：22(41422)LIxyxyxy ds=+=+?由对称性：由对称性：4220LLLxydsxds

6、yds=?22(41)LIxyds=+=+?22(4)LLxy dsds=+=+?哈尔滨工程大学理学院，卜长江由轮换性：由轮换性：22LLx dsy ds=?222(4)5LLxy dsx ds+=+=?22155()22LLxy dsds=+=+=?22(41)LIxyds=+=+?57722LLLdsdsds=+=+=?方法 2 方法 2 2(21)LIxyds=+=+?22220(cos2sin1)(cos)(sin)7ttttdt =+=+=哈尔滨工程大学理学院，卜长江二、第二型曲线积分二、第二型曲线积分()LIPdxQdyRdz=+计算方法 计算方法 1.用性质化简：被积函数定义在曲

7、线 用性质化简：被积函数定义在曲线L L方程上 2.方程上 2.格林公式（只要简单）参数方程斯托克斯公式（为平面内闭曲线）其它：参数方程格林公式（只要简单）参数方程斯托克斯公式（为平面内闭曲线）其它：参数方程LLQPxyIPdxQdyLIPdxQdyRdz=+=+=+=+哈尔滨工程大学理学院，卜长江例 设例 设L为顺时针方向圆周为顺时针方向圆周222xy+=在第一象限中的 部 分，则 曲 线 积 分在第一象限中的 部 分，则 曲 线 积 分2Lxdyydx 的 值为 的 值为 。解:解:3QPxy=2Lxdyydx L BO OAOBOA+=+=+33002Ddxdy=+=+=哈尔滨工程大学理

8、学院，卜长江例 例()()()sincosxxLIeyb xydxeyax dy=+=+,其中,其中,0a b .常数,.常数,L为从点为从点()2,0Aa沿曲线 沿曲线 22yaxx=到点到点()0,0o的弧.解的弧.解 QPbaxy=()()sincosxxL OAIeyb xydxeyax dy+=+=+?()()()sincosxxOAeyb xydxeyax dy+()()20aDba dbxdx=+=+()()2222abaa b=+=+哈尔滨工程大学理学院，卜长江例 计 算 曲 线 积 分例 计 算 曲 线 积 分224LxdyydxIxy=+=+?,其 中,其 中222:(1)

9、(1)LxyRR+=+=逆时针方向.解:逆时针方向.解:(,)(0,0)PQx yyx=,在,在L所围区域内作小椭圆所围区域内作小椭圆222:4Cxy+=.22214CCxdyydxxdyydxxy=+=+?2211222Ddxdy =哈尔滨工程大学理学院，卜长江利用格林公式改变积分曲线 利用格林公式改变积分曲线 222222444LL CCxdyydxxdyydxxdyydxIxyxyxy+=+=+?2204CDxdyydxdxy =+=+?=哈尔滨工程大学理学院，卜长江例（哈尔滨工程大学第十五届数学竞赛）例（哈尔滨工程大学第十五届数学竞赛）已知已知L为为416yx=上从上从(2,0)A 到

10、到(2,0)B顺时针的一段，计算曲线积分顺时针的一段，计算曲线积分22(1)3(1)4LydxxdyIxy=+=+。解。解 2222 23(1)4(,)(1,0)3(1)4PQxyx yyxxy=+=+,令,令?222:3(1)4CDxy+=+=哈尔滨工程大学理学院，卜长江?2222(1)(1)3(1)43(1)4ACCDydxxdyydxxdyIxyxy=+=+22(1)3(1)4DBydxxdyxy+?22(1)003(1)4CDydxxdyxy =+?:1cos,sin23CD xt yt =+=+=02sincoscossin22332 3tdttdtI =哈尔滨工程大学理学院，卜长江

11、例（汉光杯”哈尔滨工程大学第十六届数学竞赛）计算曲线积分例（汉光杯”哈尔滨工程大学第十六届数学竞赛）计算曲线积分222()()()Lzx dxxz dyyx dz+?，其中，其中2221:0 xyzLxyz+=+=+=+=，从，从OX轴正向向负向看，轴正向向负向看，L是逆时针方向。是逆时针方向。哈尔滨工程大学理学院，卜长江解：coscoscosIdSxyzPQR =，哈尔滨工程大学理学院，卜长江 1,1,1cos,cos,cos 3n=?所以：所以：22211113IdSxyzzxxzyx=+=+121(12)(20)3yzxdS=+=+=244(2)333xyzdSdS+=+=哈尔滨工程大学

12、理学院，卜长江曲面积分 一、第一型曲面积分曲面积分 一、第一型曲面积分(),fx y z ds 计算方法 1.用性质化简计算方法 1.用性质化简对称性轮换性被积函数定义在曲面的方程上对称性轮换性被积函数定义在曲面的方程上 2.投影：2.投影：()()()22,1xyDxyfx y z dsfx y z x yzzd =+=+哈尔滨工程大学理学院，卜长江例例（“汉光杯”哈尔滨工程大学第十六届数学竞赛）计 算 曲 面 积 分（“汉光杯”哈尔滨工程大学第十六届数学竞赛）计 算 曲 面 积 分222222()xyzIdsabc=+=+，其 中，其 中22:1zxy=。解：设解：设2221:1xyz+=

13、+=，由对称性得，由对称性得 12222222222221()()2xyzxyzdsdsabcabc+=+=+由轮换性得：由轮换性得：12222222222221 1()2 3xyzxyzxyzIdsabc+=+=+12221 1111()2 3dsabc=+=+2222111()3abc=+=+哈尔滨工程大学理学院，卜长江 例（哈尔滨工程大学第十五届数学竞赛）已知封闭曲面例（哈尔滨工程大学第十五届数学竞赛）已知封闭曲面S的 方 程 为：的 方 程 为：|1xyz+=+=，其 面 密 度 函 数，其 面 密 度 函 数1|3xzz=+=+，求曲面，求曲面S的重心。的重心。哈尔滨工程大学理学院，

14、卜长江1()3z dSz xzz dS=+=+12211833z dSz dS=28(1)33Dxyd=239=，1()()3dSxzz dSxz dS=+=+=+=+228()3333xyz dSdS=+=+=。所以所以34z dSzdS=，重心坐标为，重心坐标为1(0,0,)12。哈尔滨工程大学理学院，卜长江 二、第二型曲面积分二、第二型曲面积分IPdydzQdxdzRdxdy=+=+计算方法 1.用性质化简：被积函数定义在曲面的方程上计算方法 1.用性质化简：被积函数定义在曲面的方程上 2.高斯公式 3.投影：2.高斯公式 3.投影：哈尔滨工程大学理学院，卜长江 sgncos(,),yz

15、yzDPdydzP x y zy z d =sgncos,(,),xzxzDQdxdzQ x y x z z d =sgncos,(,)xyxyDRdxdyR x y z x y d =哈尔滨工程大学理学院，卜长江例 计算例 计算222(coscoscos)Ixyzds =+=+,其中,其中 为曲面为曲面222,xyz+=(01)z ,cos,cos,cos 为为 外法线的方向余弦.解:设外法线的方向余弦.解:设1 为为221,1zxy=+=+的上侧,则由高斯公式得:的上侧,则由高斯公式得:哈尔滨工程大学理学院，卜长江222(coscoscos)Ixyzds =+=+222x dydzy dz

16、dxz dxdy=+=+1222x dydzy dzdxz dxdy+=+=+?1222x dydzy dzdxz dxdy+2()xyz dv=+=+1dxdy 2zdv=xyxyDd =21100222rddrrzdz =.哈尔滨工程大学理学院，卜长江例（2009 考研数学 1，10 分）计算例（2009 考研数学 1，10 分）计算3xdydzydzdxzdxdyIr+=+=?，其中，其中222rxyz=+，为为222224xyz+=+=的外侧。解 的外侧。解 哈尔滨工程大学理学院，卜长江设设1 为为2221xyz+=+=的外侧，则的外侧，则13xdydzydzdxzdxdyr+?1134xdydzydzdxzdxdydv=+=+=?.1133内内xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdyIrr+=+=+?()()()xyzxyzdvrrr=+=+4 0dv=+4=4 哈尔滨工程大学理学院，卜长江Thanks for your attentionThanks for your attention卜长江卜长江Email:Tel:82519384（O）哈尔滨工程大学理学院应用数学系）哈尔滨工程大学理学院应用数学系2009.05.15