(强推)立体几何题型与方法(理科.).doc

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1、 高三专题数学复习资料高三专题数学复习资料 高考热点内容备考高考热点内容备考高三理科数学重点热点难点总结高三理科数学重点热点难点总结立体几何题型与方法立体几何题型与方法( (理科理科) )1 1平面平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样可根据公理 2 证明这些点都在这两个平面的公共直线上。（2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。（3）.证共面问题一般

2、先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合2.2. 空间直线空间直线. .（1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点注：两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）直线在平面外，指的位置关系是平行或相交若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.在平面内射影是直线的图形一定是直线.（）（射影不一定只有直线，也可

3、以是其他图形）在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面.ba,ba ba,异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）. （直线与直线所成角）90,0（向量与向量所成角)180,0推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.

4、（3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.注：是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与21,ll21,ll21,ll距离相等的点在同一平面内. （或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面）21,ll1L2L1L2L3.3. 直线与平面平行、直线与平面垂直直线与平面平行、直线与平面垂直. .（1）. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行线面平行”）注：直线与平面内一条直线平行，则. （）（平面

5、外一条直线）aa直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （）（平面外一条直线）aa若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行. （）（不是任意一条直线，可aa利用平行的传递性证之）两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （）（可能在此平面内）平行于同一个平面的两直线平行.（）（两直线可能相交或者异面） 直线 与平面、所成角相等，则.（）（、可能相交）l（3）. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）（4）. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直

6、线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 若，得（三垂线定理），PAaAOaPO三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）.a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；垂线段比任何一条斜线段短.注

7、：垂线在平面的射影为一个点. 一条直线在平面内的射影是一条直线.（）b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。4.4. 平面平行与平面垂直平面平行与平面垂直. .（1）. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.（2）. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.注：一平面内的任一直线平行于另一平面.（3）. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面

8、平行线线平行”）（4）. 两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直判定二：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直面面垂直”）注：如果两个二面角的平面分别对应互相垂直，则两个二面角没有什么关系.（5）. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.PO AaP MABO推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.简证：如图，在平面内过 O 作 OA、OB 分别垂直于，21,ll因为则.所以结论成立 OBPMOAPM,OBPMOAPM,（6）.

9、两异面直线任意两点间的距离公式：（为锐角取减，cos2222mndnml为钝角取加，综上，都取减则必有）2, 0（1）. a.最小角定理：（为最小角，如图）21coscoscos1b.最小角定理的应用（PBN 为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有 4 条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有 2 条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有 3 条或者 2 条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有 1 条或者没有. 5.5. 棱柱棱柱. . 棱锥棱锥（1）. 棱柱.a.直棱柱侧面积：（为底面周长，是高）该公式是利用直棱柱的侧面展

10、开图为矩形ChS Ch得出的.斜棱住侧面积：（是斜棱柱直截面周长， 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱lCS11Cl的侧面展开图为平行四边形得出的.b.四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体.直四棱柱平行六面体=直平行六面体.四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体底面是 平行四边形侧棱垂直 底面底面是 矩形底面是 正方形侧面与 底面边长相等c.棱柱具有的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：

11、棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （）（直棱柱不能保证底面是矩形,可如图）图1 1 2 图2（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.d.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.注：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则 ,.1coscoscos222推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则,.2coscoscos222注：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（）（斜四棱柱的两个平行的平面可以为矩形）各侧面都是正方形的

12、棱柱一定是正棱柱.（）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）（2）. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.注：一个三棱锥四个面可以都为直角三角形.一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以.、3VShVa.正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形的中心.注：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是

13、各棱相等，而正三棱锥是底面为正三角形，侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.正棱锥的侧面积：（底面周长为，斜高为）Ch21S Ch棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为）cos底 侧SS附：以知 ，为二面角.clba cosbla则， 得.laS21 1blS21 2ba coscos底 侧SSlabc注：S 为任意多边形的面积（可分别求多个三角形面积和的方法）.b.棱锥具有的性质：正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.正棱锥的高、斜高和

14、斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.每个四面体都有外接球，球心 0 是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半

15、径；每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.I注：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三棱锥，两条相对棱互相垂直，则第三组相对棱必然垂直. 简证：ABCD，ACBD BCAD. 令bACcADaAB,得，已知cacbADBCcADabABACBC, 0, 0cabbca则.0cbca0 ADBCiii. 空间四边形 OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.简证：取 AC 中

16、点，则平面90易知 EFGHOACACOBACoo,FGHBOACBOO为平行四边形EFGH 为长方形.若对角线等，则为正方形.EFGHFGEF（3）. 球：a.球的截面是一个圆面.球的表面积公式：.球的体积公式：.24 RS3 34RVBCDAabcFEHGBCDAOOrb.纬度、经度：纬度：地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.PP经度：地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二BA,面角的度数，特别地，当经过点的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是点的经度.AB附：圆柱体积：（ 为半径，为高）hrV2rh圆锥体积：（ 为半径，为高）h

17、rV2 31rh锥体体积：（为底面积，为高） ShV31Sh（1）. 内切球：当四面体为正四面体时，设边长为 a，得ah362 43aS底2 43aS侧.RaRaaa222 43 31 43 36 43aaaR46342334/42注：球内切于四面体：。hSRS313RS31V、ACDB外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.6.6. 空间向量空间向量. .（1）. a.共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.注：若与共线，与 共线，则与 共线.（） 当时，不成立abbcac0b向量共面即它们所在直线共面.（） 可能异面cba,若，则存在小任一实数，使.

18、（）与不成立abba0b若为非零向量，则.（）这里用到之积仍为向量a00 a)0( bbb.共线向量定理：对空间任意两个向量， 的充要条件是存在实数（具有唯一性）)0(,bbaab，使.bac.共面向量：若向量使之平行于平面或在内，则与的关系是平行，记作.aaaad.共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对ba,Pba,x、y使.byaxP空间任一点 O 和不共线三点 A、B、C，则是PABC四点) 1(zyxOCzOByOAxOP共面的充要条件.OR（简证：P、A、B、C四点共面）ACzAByAPOCzOByOAzyOP)1 (注：是证明四点共面的常用方法.（

19、2）. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一cba,P的有序实数组x、y、z，使.czbyaxp推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使 (这里隐含 x+y+z1).OCzOByOAxOP注：设四面体 ABCD 的三条棱，其,dADcACbAB中 Q 是BCD 的重心，则向量用即证.)(31cbaAQMQAMAQ对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C，满足，OPxOAyOBzOC 则四点 P、A、B、C 是共面1xyz（3）.a.空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴

20、（对应为纵坐标），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.令=(a1,a2,a3),，则a),(321bbbb ， ，),(332211babababa)(,(321Raaaa332211babababa 。a)(,332211Rbababab 332211 ba ba ba。 0332211babababa(向量模与向量之间的转化：)222321aaaaaaaaaaaa2空间两个向量的夹角公式 2 32 22 12 32 22 1332211 |,cos bbbaaababababababa （a a，b b）。123(,)a a a123( ,)b b b空间两点的距离公式：.2 122 122 12

21、)()()(zzyyxxdb.法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果aa那么向量叫做平面的法向量. aac.向量的常用方法：OABCD利用法向量求点到面的距离定理：如图，设 n 是平面的法向量，AB 是平面的一条射线，其中，则点 B 到平面的距离为.A |nnAB.异面直线间的距离 (是两异面直线，其公垂向量为，分别是 nnCD d 12,l lnCD、上任一点，为间的距离).12,l ld12,l l.直线与平面所成角(为平面的法向量).ABsin|AB marcAB m m.利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则21,nnl,所成的角

22、就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则21,nn21,nn21,nn为其夹角）.二面角的平面角或（，为平面，的法l cos|m narcm n cos|m narcm n mn向量）.d.证直线和平面平行定理：已知直线平面，且 C、D、E 三点不共线，aDCaBA,则 a的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若,CECDABCECDAB,存在即证毕，若不存在，则直线 AB 与平面相交）.,nBCAn2n1CEDAB知识网络知识网络一、一、经典例题剖析经典例题剖析考点一考点一 空间向量及其运算空间向量及其运算1. 已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，, ,A B

23、 C122 555OPOAOBOC 试判断：点与是否一定共面？P, ,A B C解析：要判断点与是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对使P, ,A B C, x y或对空间任一点，有。APxAByAC OOPOAxAByAC 答案：由题意：，522OPOAOBOC ，()2()2()OPOAOBOPOCOP ，即，22APPBPC 22PAPBPC 所以，点与共面P, ,A B C点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算2. 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，ABCDADEFMNB

24、D上，且，求证：平面AE1 3BMBD1 3ANAE/MNCDE解析：要证明平面，只要证明向量可以用平面内的/MNCDENM CDE两个不共线的向量和线性表示DEDC答案:证明：如图，因为在上，且，所以MBD1 3BMBD同理，又111 333MBDBDAAB 11 33ANADDE，所以CDBAAB MNMBBAAN 又与不共线，1111()()3333DAABBAADDE 21 33BADE 21 33CDDE CD DE根据共面向量定理，可知，共面由于不在平面内，所以平面MN CD DEMNCDE/MN CDE点评：空间任意的两向量都是共面的与空间的任两条直线不一定共面要区别开.考点二考

25、点二 证明空间线面平行与垂直证明空间线面平行与垂直3. 如图, 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点 D 是 AB 的中点， （I）求证：ACBC1； （II）求证：AC 1/平面 CDB1；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.答案答案:解法一解法一：（I）直三棱柱 ABCA1B1C1，底面三边长 AC=3，BC=4AB=5， ACBC，且 BC1在平面 ABC 内的射影为 BC， ACBC1；（II）设 CB1与 C

26、1B 的交点为 E，连结 DE， D 是 AB 的中点，E 是 BC1的中点， DE/AC1， DE平面 CDB1，AC1平面 CDB1， AC1/平面 CDB1；解法二：解法二：直三棱柱 ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C 两两垂直，如图，以 C 为坐标ABCA1B1C1Exyz转化转化原点，直线 CA、CB、C1C 分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则 C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）23（1）（3,0，0），（0，4,0），0，ACBC1.AC1BCAC1BC

27、（2）设 CB1与 C1B 的交战为 E，则 E（0,2，2）.（，0,2），（3,0，4），DE231AC，DEAC1.121ACDE 点评：2平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理、4. （2007 武汉武汉 3 月月）如图所示，四棱锥 PABCD 中，ABAD，CDAD，PA底面 ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M 为 PC 的中点。(1)求证：BM平面 PAD；(2)在侧面 PAD 内找一点 N，使 MN平面 PBD；(3)求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦。解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考

28、查空间想象能力和推理论证能力.答案：（1）是的中点，取 PD 的中点，则MPCE，又MECD21ABCD21四边形为平行四边形ABME ，BMEAPADBM平面 PADEA平面（4 分）BMPAD平面（2）以为原点，以、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，AABADAPxyz 则，)0 , 0 , 1B0 , 2 , 2C0 , 2 , 0D2 , 0 , 0P1 , 1 , 1M1 , 1 , 0E在平面内设， PADzyN, 01, 1, 1 zyMN2, 0 , 1 PB0 , 2, 1 DB由 PBMN0221 zPBMN21z由 DBMN0221 yDBMN21y是的中点

29、，此时（8 分） 21,21, 0NNAEBDMNP平面（3）设直线与平面所成的角为PCPBD，设为2, 2 , 2 PC 21,21, 1MN MNPC,3226322cos MNPCMNPC32cossin故直线与平面所成角的正弦为（12 分）PCPBD32解法二：（1）是的中点，取 PD 的中点，则MPCE，又MECD21ABCD21四边形为平行四边形ABME ，BMEAPADBM平面 PADEA平面（4 分）BMPAD平面（2）由（1）知为平行四边形ABME ，又ABCDPA底面ABPA ADAB 同理，PADAB平面PADCD平面PAD平面AE为矩形 ，又AEAB ABMECDMEP

30、DCD AEPD PDMEABME平面PDPBDPD平面作故ABMEPBD平面平面EBMFPBD平面MF交于，在矩形内，MFAENABME1 MEAB2AE， 为的中点32MF22NENAE当点为的中点时，（8 分）NAEBDMNP平面（3）由（2）知为点到平面的距离，为直线与平面所成的角，设MFMPBDMPFPCPBD为，32sinMPMF直线与平面所成的角的正弦值为PCPBD32点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可

31、.这些从证法中都能十分明显地体现出来考点三考点三 求空间图形中的角与距离求空间图形中的角与距离 根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有 机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是 090，其方法是平移法和补形 法；直线与平面所成角的范围是 090，其解法是作垂线、找射影；二面角 0180， 其方法是：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 另外也可借 助空间向量求这三种角的大小.5. （四川省成都市 2007 届高中毕业班

32、第三次诊断性检测）如图，四棱锥中，侧面是边长为 2 的正三角形，且与底PABCDPDC面垂直，底面是的菱形，为的中点.ABCD60ADCMPB ()求与底面所成角的大小；PAABCD ()求证：平面；PACDM ()求二面角的余弦值. DMCB解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头

33、 答案：(I)取 DC 的中点 O，由 PDC 是正三角形，有 PODC又平面 PDC底面 ABCD，PO平面 ABCD 于 O 连结 OA，则 OA 是 PA 在底面上的射影PAO 就是 PA 与底面所成角 ADC=60，由已知 PCD 和 ACD 是全等的正三角形，从而求得 OA=OP=3PAO=45PA 与底面 ABCD 可成角的大小为 45 6 分 (II)由底面 ABCD 为菱形且ADC=60，DC=2，DO=1，有 OADC 建立空间直角坐标系如图，则, ( 3, 0, 0),(0, 0,3),(0,1, 0)APD( 3, 2, 0),(0,1, 0)BC由 M 为 PB 中点，

34、33(,1,)22M33(, 2,),( 3, 0,3),22DMPA (0, 2, 0)DC ，3332 0(3)022PA DM 032 00 (3)0PA DC PADM，PADC PA平面 DMC4 分(III)令平面 BMC 的法向量，33(, 0,),( 3,1, 0)22CMCB ( , )nx y z则，从而 x+z=0； , ，从而 0n CM 0n CB 30xy由、，取 x=1，则 可取3,1yz( 1,3,1)n 由(II)知平面 CDM 的法向量可取，( 3, 0,3)PA 所求二面角的余弦值为6 分2 310cos,5|56n PAn PAnPA 10 5法二：（）

35、方法同上 （）取的中点，连接，由（）知，在菱形中，由于，APNMNABCD60ADC则，又，则，即，AOCDPOCDCDAPO 平面CDPA又在中，中位线，则，PAB/MN1 2AB1/2COAB/MN CO则四边形为，所以，在中，OCMNA/MCONAPOAOPO 则，故而，ONAPAPMCMCCDC则PAMCD 平面（）由（）知，则为二面角的平面角，MCPAB 平面NMBDMCB在中，易得，RtPAB6,PA22226210PBPAAB，210cos510ABPBAPB故，所求二面角的余弦值为10coscos()5NMBPBA 10 5点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一

36、般求法，综合性较强头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.6. （2007河北省唐山市三模河北省唐山市三模）如图，在长方体中，1111ABCDABC D点在线段上.11,2,ADAAABEAB（）求异面直线与所成的角；1D E1AD（）若二面角的大小为，求1DECD45点到平面的距离.B1D EC解析：本题涉及立体几何线面关系的有关知识, 本题实质上求角度和距离,在求此类问题中，要将这些量归结到三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题的解

37、决，此外用向量也是一种比较好的方法.答案：解法一：（）连结。由已知，是正方形，有。1AD11AAD D11ADAD平面，是在平面内的射影。AB 11AAD D1AD1D E11AAD D根据三垂线定理，得，则异面直线与所成的角为。11ADD E1D E1AD90作，垂足为，连结，则DFCEF1D F1CED F1DABCDE1A1B1C所以为二面角的平面角，.1DFD1DECD145DFD于是111,2DFDDD F易得，所以，又，所以。RtRtBCECDF2CECD1BC 3BE 设点到平面的距离为.B1D ECh即， 1,B CEDD BCEVV111 11 1 3 23 2CE D F

38、hBE BC DD，即，.11CE D F hBE BC DD2 23h 6 4h 故点到平面的距离为。B1D EC6 4解法二：分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.1,DA DB DDxyz（）由，得1(1,0,1)A1(1,0,1)DA 设，又，则。(1, ,0)Ea1(0,0,1)D1(1, , 1)D Ea 111 0 10DA D E 11DAD E 则异面直线与所成的角为。1D E1AD90（）为面的法向量，设为面的法向量，则(0,0,1)mDEC( , , )x y zn1CED( , , )x y zn 222|2|cos,|cos45|2zxyz m nm nmn. 22

39、2zxy由，得，则，即(0,2,0)C1(0,2, 1)DC 1DC n10DC n 20yz由、，可取( 3,1,2)n又，所以点到平面的距离(1,0,0)CB B1D EC。|36 42 2CBd n |n|点评：立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量归结于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较容易写出来.考点四考点四 探索性问题探索性问题7. （2007 年 4 月济南市）如图所示：边长为 2 的正

40、方形 ABFC 和高为 2 的直角梯形 ADEF所在的平面互相垂直且 DE=，ED/AF 且DAF=90。2（1）求 BD 和面 BEF 所成的角的余弦；（2）线段 EF 上是否存在点 P 使过 P、A、C 三点的平面和直线 DB 垂直，若存在，求 EP 与 PF 的 比值；若不存在，说明理由。解析：1.先假设存在，再去推理，下结论： 2.运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。答案：（1）因为 AC、AD、AB 两两垂直，建立如图坐标系， 则 B（2，0，0），D（0，0，2）， E（1，1，2），F（2，2，0），则)0 , 2 , 0(),2 ,

41、 1 , 1(),0 , 0 , 2(BFBEDB设平面 BEF 的法向量xzyxn则),(，则可取，0, 02yzy)0 , 1 , 2(n向量所成角的余弦为) 1 , 0 , 2(nDB和。1010)2(21220222222 即 BD 和面 BEF 所成的角的余弦。1010（2）假设线段 EF 上存在点 P 使过 P、A、C 三点的平面和直线 DB 垂直，不妨设 EP 与 PF 的比值为 m，则 P 点坐标为),12,121,121(mmm mm 则向量，向量AP),12,121,121(mmm mm CP),12,11,121(mmmm 所以。21, 012)2(12101212mmm

42、m mm所以点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。8. (2007 安徽文) 如图，在三棱锥中，是的中点，VABCVCABC底面ACBCDAB且，ACBCa02VDC（I）求证：平面平面；VABVCD（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为BCVAB 6解析：本例可利用综合法证明求解，也可用向量法求解.答案:解法 1：（），是等腰三角形，又是的中点，ACBCaACBDAB ，又底面于是平面CDABVC ABCVCABAB VCD 又平面，平面平面AB VABVAB VCD （） 过点在平面内作于，则由（）知平面CVCDCHVDHCD VAB 连接，于是就是直线与平面所成的角BHCBHBCVAB依题意，所以 6CBH在中，；CHDRt2sin2CHa在中，BHCRtsin62aCHa2sin2A，02