《试卷》2018年普通高校招生全国卷 一（A） 【衡水金卷】高三信息卷 （四）理科数学试题（解析版）.doc

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1、 学子之家圆梦高考 客服QQ：2496342225【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三理科数学（四）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知函数的定义域为集合，集合，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题可知所以故选B.2. 已知复数为虚数单位），则的值为（ ）A. B. 5 C. D. 6【答案】C【解析】由复数得-5-i=a+bi，所以a=-5，b=-1，所以(a-i)b=(-5-i)（-1）=5+i，因此|(a-i)b|=|5+i|=故选C.3. 九章算术是

2、我国古代数学名著，其中有一道题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”其意思是说：今有蒲草第1日长高3尺，莞草第1日长高1尺，以后蒲草每日长高前一日的半数，而莞草从第2日起每日长高是前一日的2倍，问多少天蒲草、莞草的高度相等？现将问题改为：经过多少天蒲草与莞草的高度比为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】由题可知蒲草构成以3为首项为公比的等比数列，而莞草构成以1为首项2为公比的等比数列，设经过n天，蒲草的高度为，莞草的高度为，则有.故选C.4. 有一匀速转动的圆盘，其中有一个固定的小目标，甲、乙两人站在距离圆盘线外的2米处用小

3、圆环向圆盘中心抛掷，他们抛掷的圆环能套上小目标的概率分别为与，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次，则小目标被套上的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】小目标M被套上包括甲抛掷的套上、乙抛掷的没有套上；乙抛掷的套上、甲抛掷的没有套上；甲、乙抛掷的都套上，所以故选D.5. 设双曲线：的左、右焦点分别为，直线：与双曲线在第一、三象限的渐近线的交点为，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】B【解析】由题可知双曲线C在第一、三象限的渐近线方程为联立方程组设点O为坐标原点，由A可知化简得故选B.6. 已知函数的导函数在区间内单调递减，且实数，满足不等式

4、，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由可得因为a0，所以由在区间内单调递减，可知又实数a,b满足不等式，故实数满足不等式组在直角坐标系中作出上述不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示，又的几何意义是表示平面区域内的动点Q(a,b)与定点P(2,3)连线的斜率，数形结合易知最大，最小，由方程组所以的取值范围为，故选C.点睛：本题的难点在于能够数形结合，看到不等式要联想到二元一次不等式对应的平面区域，看到不等式要联想到二次不等式对应的曲线区域.如果这个地方不能想到数形结合，本题突破就不容易.数学的观察想象是数学能力的一个重要部分,在平时的学习中,要有意识的培养和运

5、用.7. 设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设：的解集为A，所以A=x|-2x0或0x2,设：的解集为B，所以B=x|mxm+1,由题知p是q的必要不充分条件，即得B是A的真子集，所以有综合得m，故选D.8. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由可知= 故选A.9. 在二项式的展开式中，所有项的系数之和记为，第项的系数记为，若，则的值为（ ）A. 2 B. C. 2或 D. 2或【答案】D【解析】在中，令x=1,所以又其通项公式为即所以因此依题有故选D.10. 一几何体的三视图

6、如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】该几何体是一四棱锥与一个半圆柱的组合体，其中半圆柱的底面半径r=1,高l=2,而正四棱锥是底面边长为2的正方形，侧棱长为2，且顶点在底面的射影为正方形的中心，所以半圆柱的表面积为正四棱锥的四个侧面积的和为所以该几何体的表面积为故选A.11. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线分别交抛物线于点，过点分别作抛物线的切线，两切线交于点，若过点且与轴垂直的直线恰为圆的一条切线，则的值为（ ）A. B. C. 2 D. 4【答案】C【解析】由题可知抛物线的焦点为 且过焦点F的直线斜率存在，所以可设直线，联立方程组设，则又由得所以

7、过A点的切线方程为.同理可知过点B的切线方程为联立方程组因此点过点M与y轴垂直的直线为，而圆与y轴负半轴交于点（0，-1），所以故选C.点睛：本题的思路比较自然，只要循序渐进，一步一步转化就可以了. 主要是计算有点复杂，在求出过点A的切线方程后，不必再重新求过点B的切线方程，只要利用对称性同理求出可以提高解题效率.12. 已知函数，若函数的图象与轴的交点个数不少于2个，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题可知函数的图象与轴的交点个数不少于2个，即为函数y=f(x)的图像与函数y=mx+m的图像的交点个数不少于2个，由于函数y=mx+m的图像过定点P（-1,0）

8、，且斜率为m,作出函数y=f(x)的图像如图所示，数形结合可知，当动直线过点A时有2个交点，当动直线为的切线时，即过点B时有两个交点，在这两种极限位置之间有3个交点，易知设直线y=mx+m与函数的图像相切，联立方程组由题可知又x1.所以过点（-1,0）作的切线，设切点坐标为，则此时，切线的斜率为故实数m的取值范围为.综上实数m的取值范围为.故选A.点睛：本题有两个难点,一个难点是要会通过数形结合分析出在什么情况下函数的图象与轴的交点个数不少于2个,找到三个极限位置.第二个难点是怎么利用导数和导数的几何意义求切线的斜率,要求对导数的知识比较熟练.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸

9、上）13. 如图所示的矩形中，分别为线段，的中点，则的值为_.【答案】【解析】由图可知所以故填-6.14. 如图所示的算法框图中，若输出的值为1，则输入的的值可能为_.【答案】2或【解析】由框图可知该程序表示的是分段函数，当x1时，令当x1时，令综合得x=2或x=-4.故填2或.15. 若函数具备以下两个条件：（1）至少有一条对称轴或一个对称中心；（2）至少有两个零点，则称这样的函数为“多元素”函数，下列函数中为“多元素”函数的是_. ；.【答案】【解析】对于，图像关于直线x=1对称，且-1,3为零点，符合条件；对于，由于f(2-x)=f(x)可得函数的图像关于直线x=1对称，当且仅当x=1取

10、得，故函数的最小值为2e-100，而f(-1)0，f(3)0，故在区间（-1,1），（1,3）上各有一个零点，符合题意；对于，是由奇函数右移一个单位得到，故函数的图像关于点（1,0）对称，又f(-1)0，f(0)0，可知在区间（-1，0）上存在一个零点，又f(1)=0,所以符合题意;对于，所以没有零点.故填.16. 对于数列，若对任意，都有成立，则称数列为“增差数列”.设，若存在正实数使数列（）是“增差数列”，则正实数的取值范围是_.【答案】【解析】存在正实数使数列（）是“增差数列”，得恒成立，整理得也就是因为n5，所以由于在区间内单调递减，所以综合可知故填.点睛：对于这类定义题，首先是理解定

11、义的完整内容和一些关键词，再利用定义解答. “增差数列”这个定义比较好理解，主要是后面的化简，由于含有指数式并且有分母，所以化简时要认真，化简得到后，要联想到分离参数求最值.三、解答题 （本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知函数.（1）求函数的单调区间及最值；（2）在锐角中，若，求锐角的面积.【答案】（1）最大值为2，最小值为，单调递增区间为，单调递减区间为.（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，先利用三角恒等变换的公式把原函数化简为,再求函数的最值和单调区间.(2)第（2）问，先利用已知和余弦定理求出bc的值，再求三角形的面积.试题解析：（1）由，

12、可知，所以的最大值为2，最小值为，令，化简得，令，化简得，故单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由题得，即 ，因为是锐角三角形，所以，所以，因此.又由余弦定理可知因为，所以.从而.18. 如图所示，直棱柱的底面是边长为4的菱形，且，侧棱长为6，点分别是线段的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，先证明 ,再证明平面 .(2)第（2）问，一般利用向量法求二面角的平面角的余弦值.试题解析：(1)由题知，为的中点，又侧棱与底面垂直,平面平面，且交线为，平面又平面， ，又，为d 中点，又，平面.(2)由题及（1）的证明可知两两垂直，以为

13、原点，分别以为轴的正半轴建立空间直角坐标系（如图所示），则分别为的中点，.，设平面的一个法向量为，则，即，取，得，由（1）的证明可知为平面的一个法向量，设二面角为，则易知为锐角，则有.二面角的余弦值为.19. 2017年10月18日，习近平同志在党的十九大上向世界郑重宣示中国进入新时代，在这一新形势下，某地政府出台了进入新时代的5年具体规划，现对其中的一项公益项目进行民意调研，并根据调研结果决定后继工作，调查人员随机在各地对市民进行问卷调查，其中调查结果均在内.将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，并规定调查对象意见互不影响；满分100分，评分在内需重新论证，评分在内认为可第二批立项实施，评分

14、在内认为可第一批立项实施.（1）用样本的频率代替概率，求被调查者认为可立项实施的概率； （2）若从该市的全体市民中随机抽取4人，试估计恰有3人认为该项目可第一批立项实施的概率（结果精确到0.001）； （3）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取12人以便了解个人看法，并从中选取3人担任督查员，记为督查员内老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望.（参考数据：，）【答案】（1）0.96（2）0.136（3）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般利用对立事件的概率公式求被调查者认为可立项实施的概率. (2)第（2）问，先根据频率分布直

15、方图求该项目可第一批立项实施的概率，再利用独立重复试验的概率求恰有3人认为该项目可第一批立项实施的概率.（3）第（3）问，先求这12人中，老年人有4人，非老年人有8人，再求出随机变量的分布列及其数学期望.试题解析：（1）根据题意：被调查者认为可立项实施的概率为评分在60分（含）以上的概率，由频率分布直方图易知.（2）认为该项目可第一批立项实施即得分在80分及以上的，根据频率分布直方图，可知其频率是.用样本的频率代替概率，故从中抽取4人恰有3人认为该项目可第一批立项实施的概率为.（3）因为评分低于60分的被调查者中，老年人占，所以这12人中，老年人有4人，非老年人有8人，随机变量的所有可能值为0

16、，1，2，3，的分布列为：0123的数学期望.20. 在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，且点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图所示，过椭圆的左焦点作直线（斜率存在且不为0）交椭圆于两点，过右焦点作直线交椭圆于两点，且，直线交轴于点，动点（异于）在椭圆上运动.证明：为常数；当时，利用上述结论求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，由两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形得到，再由点在椭圆上得到方程，最后解方程组即可得到椭圆的标准方程.(2)第（2）问第问，先求出，再利用已知条件化简得到为常数.第问

17、，先求出的三角函数表达式，再研究它的取值范围.试题解析：(1)由两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，可知，所以椭圆的方程为，又点在椭圆上，所以，故所求椭圆的标准方程为.（2）易知且不与轴垂直，设，由对称性可知，所以，从而，因为点，在椭圆上，所以 ，因此为常数.当时，可知，由 ，因此直线的方程为，令，所以，且已知，因此.设（其中为参数），由点到直线的距离公式可知（其中），因此， 当时，最大为，且此时点与不重合.无最小值.所以的取值范围是.点睛：求变量的取值范围常用的是函数的方法，本题就是利用了函数的方法，先求出的表达式，再利用三角函数的图像和性质求它的取值范围，函数的思想，是高中数学里重要

18、的数学思想，大家要理解掌握和灵活运用.21. 已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数的零点至少有两个，求实数的最小值.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为.（2）3【解析】（1）第（1）问，直接利用导数求函数的单调区间.(2)第（2）问，至少有两个根，再构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出函数的图像，数形结合得到实数a的最小值.试题解析：（1）当时，所以有，令所以当或时，单调递增；当时，单调递减.故的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）令，其在区间内至少有两个根，则至少有两个根，记，所以，记，所以，令（舍）所以当时，单调递减，时，单调递增，所以的最小值为，又，所以

19、时，又当时，因此必存在唯一的，使得，因此时，单调递增，单调递减，时，单调递增，画出的大致图象，如图所示，因此函数的极小值为，极大值为，又由于，因此当时，或时，数形结合易知函数有2个零点，当时，函数有3个零点.综合得函数的零点至少有两个时，实数的最小值为3.点睛：本题有两个解题常规技巧.一是对于参数的问题，分离参数是一种常用的技巧，本题分离参数得到至少有两个根，就把问题转化的比较简单.二是对于零点问题，最常用的是数形结合分析，本题就是先求出函数的性质再作出它的图像分析出实数a的取值范围的.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已

20、知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程； （2）设曲线与轴的两个交点分别为，与轴正半轴的交点为，求直线将分成的两部分的面积比.【答案】（1），（2）【解析】（1）第（1）问，直接利用坐标互化的公式求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程. (2)第（2）问，先分别求两部分的面积比.试题解析：（1）：中消去参数，得，所以直线的普通方程为.又可变形为，即得 ，因此曲线的直角坐标方程为.（2）设直线与轴的交点为，在方程中，令得，所以,又由（1）可知，所以直线：即：，设直线与直线交于点，联立方程组 ，所以

21、两直线交点为，所以，从而四边形的面积，所以.23. 选修4-5：不等式选讲已知，且都是正数.（1）求证：；（2）是否存在实数，使得关于的不等式对所有满足题设条件的正实数恒成立？如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）第（1）问，利用基本不等式证明. (2)第（2）问，由题得，再转化成恒成立，求出m的取值范围.试题解析：（1）因为，且都是正数，所以，当且仅当时，取等号，所以得证.（2）因为，所以，因此（当且仅当时，取等号），所以由题得恒成立，即得恒成立，因此 .故存在实数使不等式成立.售后更新QQ：2496342225 欢迎举报倒卖者，核实有奖！